轨迹方程的求法(自己的).ppt

x y o (1)建系: 建立直角坐标系； (2)设点: 设所求动点P(x,y); (4)化简: 化简方程； (5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。 (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; 求动点轨迹方程的基本步骤是什么？ 复习回顾 题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平 面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的 解析式. 一、直接法 【例题1】 它表示何种曲线呢？它表示何种曲线呢？ 2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是_. y2=8x(x0)或y=0(x0) 1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是_. P A Bx y o 解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得 即 -4x+y2=4|x| 得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0) 【练习】 二、待定系数法 题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程, 然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p 满足的 等式,求得其值,再代入所设方程. 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且 经过点P（-6，-3），则抛物线方程为_ 【练习2】 三、定义法 分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程. 已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）. 【例题3】 【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据 条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点 到A的距离等于P点到直线x=2的距离. 【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， 即|PA|+|PB|=64=|AB|，故P点的轨迹是椭圆， 且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= ， 因此其方程为 （y0）. （2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r， 因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支， 且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ， 因此其方程为 （3）依题意，知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4. 方程为y2=-8x. 1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2， 则P点的轨迹方程是_. 2. 3. 【练习3】 【练习3】第3题 【练习3】第3题-变式 16 16 【练习3】第3题-变式 四、代入法（相关点法） 当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲 线上的动点Q的运动时，可利用代入法，其关键是 找出两动点的坐标的关系。 设所求动点 P坐标 (x,y)，再设与P相关的已知 点坐标为Q(x0,y0)，找出P.Q之间的坐标关系，并 表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点Q的运动规律得出 关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中 ,即得所求轨迹方程. 此法实际上是利用中间 变量x0,y0求轨迹方程 【例题4】 【练习4】 五、参数法 如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一 个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数 法中常选角、斜率等为参数. 【例题5】 解：设动直线方程为：y=x+b， 和椭圆方程联立得： x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0 设中点M（x，y），则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与联立消去参数b， 得：x+4y-2=0 （椭圆内的一段） 倾斜角为450的直线与椭圆 交于A、B两 点，求AB中点的轨迹方程。 x y o A B 【练习5】 1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹方程。 2. 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C： x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形 OBPC，求点P的轨迹。 A ox y B C P o x y M A 【练习5】 解：设OA斜率为k（kR）， 由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（1+4k2）x2-4x=0 设中点M（x，y），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2） k=y/x 消参数得： x2+4y2-2x=0 1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点 的轨迹方程。 o x y M A 2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于 A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。 A o x y B C P G 解法一：利用韦达定理 解法二：点差法 连PO交CB于G. 设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则 x12+2y12=4 x22+2y22=4 作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0 即x0+y0k=0 又k= 解得， x0= y0= x= y= 因此 消去k,得(x+3)2+y2=9 故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆. ? 【练习5】 直接法 当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时, 可用直接法. 待定系数法 已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定 系数法求解. 定义法 分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨 迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程. 代入法 (相关点法) 当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的 动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点 的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件. 参数法 如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个 或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法 中常选角、斜