达朗贝尔公式-定解问题).ppt

7.47.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题 在常微分方程中，先不考虑任何的 附加条件，从方程本身 求出通解，通解一般含有任意常数，然后利用附加条件确定这 些常数，偏微方程能否也如此呢？ （一）达朗贝尔公式 均匀弦的横振动，均匀秆的纵振动，理想传输线方程都有 以下形式： 即： （1）通解 （1） 对方程（1）我们作代换：（2） 在这个代换下： 问题的提出： 1 1 则方程（1）变为： 我们把代换（2）写成： 即 在这代换下原方程化为： 对于这个方程，就很容易求解了！ 先对积分：其中f是任意函数！ 再对积分得到通解： 其中是任意函数. (3) (4) (5) 2 2 方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常微分方程 不同的是通解中出现任意函数，而不是任意常数！ 通解（5）的物理意义：对于函数f2 (x-at)来说，改用以速度 a沿x轴正向移动的动坐标轴X,则新旧坐标和时间之间的关系 此时有： 与时间T无关，即函数图像在动坐标系中保持不变，是随着动坐 标系以速度a沿x正方向移动的行波！ 同理，f1(x+at)是以速度 a沿负方向移动的行波。 上述通解中的函数可以用定解条件确定。 假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。 （2）函数 与 的确定 波形的具体形 状的确定 3 3 初始条件是： 把初始条件代入通解得到： 即 解方程得 代入通解方程即得满足初始条件的特解： （6） 达朗贝尔达朗贝尔公式这是偏微分方程的定解 4 4 作为例子：（i）设初速度为零，即初始位移 只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0 如图所示： 达朗贝尔公式给出初始位移 分为两半，分别向左右两方，以速度a移动（虚线），这两 个行波的和所给出各个时刻的波形（实线）。 如下图所示： 5 5 x t=0 x t1 x t2 x t3 x t4 x t5 6 6 （ii）设初始位移为零,即且初速度只在区间 （x1,x2）上不为零 此时达朗贝尔公式给出： 这里指的是 作出 两个图形，让他们以速度a分别向左右两方 移动，虚线所描述，他们的和（实线）就描画出各个时刻波形： x2x1 x 7 7 t0 x t1 x t2 x t3 x t4 x t5 x t6 x t7 x t8 x x1 x2 8 8 在上图中，波已通过的地方，虽然振动消失，但偏离了 原平衡位置！ （二）端点的反射 半无限长的弦具有一个端点，先考察端点固定的情况，即： 初始条件里必须 才有意义，因为xx/a）达朗贝尔公式里 失去意义，不能应用！ 我们可以把半无限长弦当作某根无限长弦的一部分，而此无 限长弦的振动过程中，x=0必须保持不动！即无限长弦的位移 9 9 u(x,t)应当是奇函数，而无限长弦的初始位移 和初始速度都应该是奇函数： 这样我们就把从半无界区域奇延拓到整个无界区间 现在就可以利用达朗贝尔公式来求解无限长弦的自由振动，且 的部分就是我们所考察的半无限长弦！ 初始条件代入上面的式子可以得到方程的解: 1010 为了阐明上式的物理意义，描画了只有初始位移而 没有初始速度的情况，最下一图右半边实线描出分别向左右 两方移动的波，左半边用虚线描出奇延拓，奇延拓的波也分 别向左右两方运动。此时，端点没有影响，各图按时间顺序 描述了波的传播情况，x=0保持不动，端点的影响反映为 反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反，此所谓 半波损失。 1111 u x O t=0 x t1 x t2 x t3 x t4 x t5 x t6 x t7 x t8 x 开始反射 1212 下面考察半无限长杆的自由振动，端点自由，描述如下： 同样可以把这根半无限长杆当做某无限长杆的的部分。 此无限长杆在振动过程中，x0的相对伸长ux=0,即无限长 杆的位移u(x,t)应当是偶函数，则无限长杆的初始位移和初始 速度都是偶函数： 把两个函数偶延拓到整个无限区间，可以应用公式！ 1313 应用达朗贝尔公式可得： 把初始条件代入上式可得： 这也是一种反射波，不同的是反射波的相位跟入射波相同， 没有半波损失！ 1414 （三）定解问题是一个整体 从偏微分方程求出达朗贝尔公式的过程，与常微分方程的 求解过程是类似的，但绝大多数的偏微分方程很难求出通解， 用定解条件确定待定函数更加困难！ 从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下 求解数学物理方程。但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从 数学的角度来讲，不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解 必条件，须同时考虑方程本身和定解条件方程本身和定解条件来求解！ （和常微分方程不同!） 不管是从物理的角度，还是数学的角度，定解问题都是 一个整体整体！而不能割裂开。 1515 （四）定解问题的适定性 定解问题是从实际中来的，结果也要回到实际中去，则必须： (1)定解问题有解 (2)解是唯一的 (3)解是稳定的 对于稳定来说，就是如果定解条件的数值有很小的改变，解的 数值也只有很小的改变，处在可控可控的范围。 因为实际测量中，不可能绝对精确，来自实际问题的定解条件 也不可避免的有误差，如果解不稳定，则可能理论分析与实际 情况相差很远，没有实用价值！ 定解问题满足这三个条件，称为适定适定的！ 1616 以达朗贝尔公式的推导过程为例，如果 （具有连续二阶导数的函数类）可以验证公式 本身确实满足方程，即解存在！ 而在公式推导过程中，没有任何限定，则满足偏微分方程的 解最后都可写成达朗贝尔公式，即解唯一！ 下面来看达朗贝尔解的稳定性： 设有两组初始条件： 则相应的两个解u1和u2相差： 1717 也就是说，两解的差是很小的，如果不加说明，我们所研究的 定解问题都是适定的，不再一一说明,以后我们将把泛定方程和 定解条件作为整体来一起处理！ 1818 由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题 来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题 的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到 不适定的问题。 例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的 温度分布，那么