例析圆中的最值问题.doc

例析圆中的最值问题介志刚 在解圆中的最值问题时，涉及到二元函数变量的取值范围，直接涉及到不等式的有关性质，如果不注意合理使用不等式的性质，就会造成错解，下面分析一例。 例：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆上的一点，试求的最大值与最小值，并求相应的P点坐标。 错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得，设点P的坐标为，则 点P（）在已知圆上， 同理， ，即。 的最大值为116，最小值为4。 错解2：设点P的坐标为（），则 当时等号成立，把代入圆的方程化简，得，解得，取较小值得，这时。 的最小值为，而无最大值。 错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把看成相互独立的，能同时达到最大值、最小值的量。实际上作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受的约束，这个约束条件表示了与的最大取值区间。但是，当、成为没有联系的独立变量后，就不一定同时满足约束条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。例如当取得最大值5时，只能等于4，不能取得最大值6；当取得最大值6时，只能等于3，不能取得最大值5。同样也不能同时取得最小值。 在不等式的性质中，若“”，但反之，由“”，也就是说，的充分不必要条件。 错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集，比如：设，可以得到： 然而，由却得不出，只能得出。这是因为中的不是独立的，而是相互制约的，从而扩大了所求S的取值范围。 比如，但是是不成立的，因为，这也是由于与都受条件约束，当与离开约束条件以后，的范围明显发生了改变，即扩大了取值范围。 错因分析2：在错解2中，利用不等式求最值，不等式的一边必须为定值，若乘积为定值m，则当时，平方和的最小值为；若平方和为定值n，则当时，乘积的最大值为。但因错解2中乘积不是定值，因而不能应用这一方法求最值。 正解：把已知圆的一般方程化为标准方程得，设点P的坐标为，则 点P在已知圆上， 的最大值是100，这时点P的坐标是。S的最小值是20，这时点P的坐标是（）。 印象文华： 不等式的性质是解题的理论基础，要深刻理解与正确应用不等式的性质，不仅要弄清每一个性质的条件和结论各是什么，还需要弄清条件和结论之间是“单向”的（如就是单向的，即条件是结论的充分不必要条件；还有，但等也是单向的）、不可逆的，还是“双向”的（如的充分必要条件，即）。在解题时若被忽视，就容易产生错误。 “同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形，这样，每应用一次这一性质，就会使所求范围扩大。 在使用重要不等式定理求最值时，必须具备三个条件：在所求最值的代数式中，各变数均应是正数（如不是，则进行变号转换）；各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值（如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数）；各变数有相等的可能。若这三个条件缺少任何一个，使用此定理解题都是错误的，也就是平常所说的“一正、二定、三相等”。 圆上点的坐标（x,y）可以设成，由此可将相关的二元问题化为一元问题，有利于问题的求解。年级高中学科数学版本期数内容标题例析圆中的最值