同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(37).doc

习题 10-2 1. 设L为xOy面内直线x=a上的一段, 证明: . 证明 设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是 . 2. 设L为xOy面内x轴上从点(a, 0)到(b, 0)的一段直线, 证明. 证明L: x=x, y=0, t从a变到b, 所以 . 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1), 其中L是抛物线y=x2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧; 解 L: y=x2, x从0变到2, 所以 . (2), 其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t从0变到p, L2: x=x, y=0, x从0变到2a, 因此 . (3), 其中L为圆周x=Rcost, y=Rsint上对应t从0到的一段弧; 解 . (4), 其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); 解 圆周的参数方程为: x=acos t, y=asin t, t从0变到2p, 所以 . (5), 其中G为曲线x=kq, y=acosq, z=asinq上对应q从0到p的一段弧; 解 . (6), 其中G是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线; 解 G的参数方程为x=1+t, y=1+2t, z=1+3t, t从0变到1. . (7), 其中G为有向闭折线ABCA , 这里的A, B, C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 G=AB+BC+CA, 其中 AB: x=x, y=1-x, z=0, x从1变到0, BC: x=0, y=1-z, z=z, z从0变到1, CA: x=x, y=0, z=1-x, x从0变到1,故 . (8), 其中L是抛物线y=x2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧. 解 L: x=x, y=x2, x从-1变到1, 故 4. 计算, 其中L是: (1)抛物线y=x2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L: x=y2, y=y, y从1变到2, 故 . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L: x=3y-2, y=y, y从1变到2, 故 (3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=1, y=y, y从1变到2, L2: x=x, y=2, x从1变到4,故 . (4)沿曲线x=2t2+t+1, y=t2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L: x=2t2+t+1, y=t2+1, t从0变到1, 故 . 5. 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成, 试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功. 解 已知场力为F=(|F|, 0), 曲线L的参数方程为 x=R cos q, y=R sin q, q从0变到, 于是场力所作的功为 . 6. 设z轴与力方向一致, 求质量为m的质点从位置(x1, y1, z1)沿直线移到(x2, y2, z2)时重力作的功. 解 已知F=(0, 0, mg). 设G为从(x1, y1, z1)到(x2, y2, z2)的直线, 则重力所作的功为 . 7. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分, 其中L为: (1)在xOy面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L的方向余弦, 故 . (2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1); 解 曲线L上点(x, y)处的切向量为t=(1, 2x), 单位切向量为 , 故 . (3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1). 解 L的方程为, 其上任一点的切向量为 , 单位切向量为 , 故 . 8. 设G为曲线x=t , y=t2, z=t3上相