微积分B2第7次习题课参考答案第二型曲线积分、Green公式、平面向量场.pdf

微积分B(2)第7次习题课 1 / 14 微积分 B（2）第 7 次习题课 参考答案 1 （曲线积分计算：化为定积分） 设有向曲线L为抛物线 2 yx=上的一段，起点为(1,1)A，终点为(2,4)B，计算曲线积分 ( ) 22 ()( 2)d(2)d B L A Ixxyxxyyy=+ 解： 22 2334 11 41 (2)d(2)2 d 30 Ixxxxxx x=+= 2 （曲线积分计算） 设有向折线段L由线段AB和BC构成， 方向为 (,) 22 A (,) 2 2 B (,) 2 2 C， 计算 曲线积分 22 cosdsind L Iy xx y= 解法 1：化为定积分计算 因为线段AB的方程为 2 x=，A对应 2 y= ，B对应 2 y=； 线段BC的方程为 2 y=， B对应 2 x=，C对应 2 x= ，所以 22 cosdsind L Iy xx y= 2222 cosdsindcosdsind ABBC y xx yy xx y=+ 22 22 22 ( sin)dcosd 22 yx =+= 解法 2：利用格林公式 取 1 L为线段CA，其方程为yx= ，起点C对应 2 x= ，终点A对应 2 x= 因为 22 cosdsind L Iy xx y= 11 2222 cosdsindcosdsind L LL y xx yy xx y + = ? ， 且 1 22 cosdsind L L y xx y + ? ( 2sin cos2sincos )d d0 ABC xxyyx y =+= ， 1 22 cosdsind L y xx y D2 D1 O y x CB A 微积分B(2)第7次习题课 2 / 14 22 22 22 cos ()dsind()dxxxxx = ， 所以I= 3 （曲线积分计算：概念、格林公式） 设正向闭曲线C的方程为21xy+=，计算曲线积分 d4 d 22 C xx y xy + + ? 解：设D是曲线C围成的棱形区域，则 d4 d114 d4 d4d d 22333 CCD xx y Ixx yx y xy + =+= + ? 4 （曲线积分计算：概念、化为定积分、牛顿莱布尼兹公式） 设函数( , )f x y具有一阶连续偏导数，曲线:( , )1L f x y =过第象限内的点 11 ( ,)A x y和第 象限内的点 22 (,)B xy，有向曲线C为L上从点A到点B的一段，长度为m，求下列积分 的值： （1）( , )d C f x yx ； （2）( , )d C f x yy ； （3）( , )d C f x yl ； （4）( , )d( , )d xy C fx yxfx yy+ 解： （1） 2 1 21 ( , )d1d x Cx f x yxxxx= （2） 2 1 21 ( , )d1d y Cy f x yyyyy= （3）( , )d1d CC f x yllm= （4） 2211 ( , )d( , )d(,)( ,)1 10 xy C fx yxfx yyf xyf x y+= = 5 （曲线积分计算：格林公式） 设, a b为正常数，有向曲线L沿圆弧 2 2yaxx=从点(2 ,0)Aa到点(0,0)O计算曲线 积分e sin()d(e cos)d xx L Iyb xyxyaxy=+ 解：取有向曲线 1: 0Ly=，起点为O，终点为A，D为L与 1 L围成的半圆盘 因为 11 e sin()d(e cos)de sin()d(e cos)d xxxx L LL Iyb xyxyaxyyb xyxyaxy + =+ ， 且 C O y x -1 2 -1 1 2 1 微积分B(2)第7次习题课 3 / 14 1 e sin()d(e cos)d xx L L yb xyxyaxy + + (e cos)(e cos)d d xx D yaybx y= 2 ()d d() 2 D a bax yba= ， 1 e sin()d(e cos)d xx L yb xyxyaxy+ 2 2 0 ()d2 a bxxa b= ， 所以 2 2 ()2 2 a Ibaa b=+ 6 （曲线积分计算：格林公式） 设有向曲线L与曲线1(0,0)xyxy=的交点为 1 (4, ) 4 A和(1,1)B， 两曲线所围区域的面 积为常A，计算曲线积分 ( ) 2 ()e de (1)d B xyxy L A Iyxxyxy=+ 解：设 1: 1Lxy =，起点为B，终点为A，D为L与 1 L围成的有界闭域 当 1 LL+是D的正向边界线时， 11 22 ede (1)dede (1)d xyxyxyxy L LL Iyxxyxyyxxyxy + =+ ， 其中 1 2 ede (1)d xyxy L L yxxyxy + + ( e (2)1(2)e d d xyxy D yxyy xyx y=+ + d d D x yA= ， 1 2 ede (1)d xyxy L yxxyxy+ 1 4 4 2 11 e13e d(2e)d2ln2 4 xy xy =+= ， 所以 3e 2ln2 4 IA=+ 当 1 LL+是D的负向边界线时，同理可以求得 3e 2ln2 4 IA= + 7.（曲线积分计算） 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 22 2+=xyx到点(2,0)， 再沿圆周 22 4+=xy到点 微积分B(2)第7次习题课 4 / 14 (0,2)的曲线段，计算曲线积分 23 3d(2 )d=+ L Ix y xxxyy 解法 1：格林公式 取有向线段 1 L的方程为0=x，起点对应2=y、终点对应0=y由L与 1 L围成的平面 区域记为D 23 3d(2 )d=+ L Ix y xxxyy 11 2323 3d(2 )d3d(2 )d + =+ L LL x y xxxyyx y xxxyy 根据格林公式，得 1 23 3d(2 )d + + L L x y xxxyy 32 (2 )(3) d d =+ D xxyx yx y xy 1d d 2 = D x y 又因为 1 0 23 2 3d(2 )d( 2 )d4+= L x y xxxyyyy， 所以 4 2 =I 解法 2：化为定积分 设 1 L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 22 2+=xyx到点(2,0)的半圆周， 2 L是第一象限中从点 (2,0)沿圆周 22 4+=xy到点(0,2)的四分之一圆周 令 1 1cos , : sin , = + = xt L yt 起点对应=t，终点对应0=t，则 1 23 3d(2 )d+ L x y xxxyy () 0 23 3(1cos ) sin( sin )(1cos )(1cos )2sincosd =+ + tttttttt () 2234 0 3sin4cos2sin coscos9cos4cosd=+ tttttttt 由于 () 3 0 4cos2sin cos9cosd0+= ttttt， () 224 0 3sincos4cosd tttt 微积分B(2)第7次习题课 5 / 14 0 31cos21cos4 (1cos2 )(12cos2 )d 2222 + =+= tt ttt， 所以 1 23 3d(2 )d0 22 += L x y xxxyy 令 2 2cos , : 2sin , = = xt L yt 起点对应0=t，终点对应 2 =t，则 1 23 3d(2 )d0 22 += L x y xxxyy () 23 2 0 3(2cos ) 2sin( 2sin )(2cos )(2cos )4sin2cosd = + tttttttt () 42 2 0 64cos44cos8sin cosd= ttttt 3 644444 164 = 所以 =I 1 23 3d(2 )d+ L x y xxxyy 1 23 3d(2 )d+ L x y xxxyy 4 2 = 8 （曲线积分计算：概念、格林公式） 设L为简单光滑的平面封闭曲线，n为L的外向单位法向量，求证：cos()d0 L l = ? n, j， 其中()n, j是n与y轴正向的夹角 证：记()=n, j，设L的正向单位切向量为 ，则( , )=i ，所以 cos()cos( , )= n, ji 从而 cos()dcos( , )dd LLL llx= = ? n, ji 根据格林公式，得d0d d0 L LD xx y= ? ，所以cos()d0 L l = ? n, j 9 （曲线积分计算：概念、格林公式、性质） 设 222 ( , ),0 t Dx yxytt=+, 2 ( , )() t f x yCD 且在 t D上满足方程 22 22 ( , )( , )1 ( , ) 2 f x yf x y f x y xy += ， 设n为 t D的外向单位法向量，求极限 0 1( , ) limd 1cos t t D f x y l tn ? 解： 00 1( , )1 limdlimgrad ( , )d 1cos1cos tt tt DD f x y lf x yl tnt = ? n 微积分B(2)第7次习题课 6 / 14 22 0 1( , )( , ) lim()d d 1cos t t D f x yf x y x y txy =+ 0 11 lim( , )d d 1cos2 t t D f x yx y t = 22 000 11 lim( , )limlim( , ) 21cos21cos ttt tt ff tt = (0,0)f= 10 （曲线积分计算：化为定积分、格林公式、性质） 已知平面区域( , ) 0,0Dx yxy= ，求证： （1） sinsinsinsin edededed yxyx DD xyyxxyyx = ? ； （2） sinsin2 eded2 yx D xyyx ? 证法 1： （1）因为 sinsin eded yx D xyyx ? 00 sinsinsinsin 00 ( 0 e)ded( e)d0 ed xyxy xyxy = + + sinsin 00 eded yx yx =+ sinsin 0 (e+e)d xx x = ， sinsin eded yx D xyyx ? 00 sinsinsinsin 00 ( 0 e)ded( e)d0 ed xyxy xyxy = + + sinsin 00 eded yx yx =+ sinsin 0 (e+e)d xx x = ， 所以 sinsinsinsin edededed yxyx DD xyyxxyyx = ? （2）由（1）知 sinsin eded yx D xyyx ? sinsin 0 (e+e)d xx x = 因为 sinsin ee2 xx +，所以 sinsin2 00 (e+e)d2d2 xx xx = ， 即 sinsin2 eded2 yx D xyyx ? 证法 2： （1） 根据格林公式，得 微积分B(2)第7次习题课 7 / 14 sinsinsinsin eded(e+e)d d yxyx DD xyyxx y = ? ， sinsinsinsin eded(e+e)d d yxyx DD xyyxx y = ? 因为区域D关于直线yx=对称，所以 sinsinsinsin (e+e)d d(e+e)d d yxyx DD x yx y = ， 故 sinsinsinsin edededed yxyx DD xyyxxyyx = ? （2）由（1）知 sinsinsinsin eded(e+e)d d yxyx DD xyyxx y = ? 因为 sinsin ed ded d yx DD x yx y= ，且 sinsin ee2 xx +，所以 sinsinsinsin2 eded(e+e)d d2d d2 yxxx DDD xyyxx yx y = ? 11 （曲线积分计算） 设L是曲线 22 1, 24 xy zx += =+ 在第一卦限中的部分,方向是从点(0,1,4)到点(1,0,6)，计算曲线 积分 222 d()d L Iy xxyzz=+ 解法 1：直接化为参数方程 以x为参数，则L的参数方程为 2 , 1, 24, xx yx zx = = =+ 起点对应0x =，终点对应1x =，所以 222 d()d L Iy xxyzz=+ 1 22 0 1 (1(24) ) 2dxxx=+ 1 2 0 2(41617)d 4 xxx=+ 158 43 = 解法 2：将空间曲线与平面曲线联系起来 设L的参数方程为 cos , sin , 2cos4, x y z = = =+ 起点对应 = 2 ，终点对应0=，所以 222 d()d L Iy xxyzz=+ 微积分B(2)第7次习题课 8 / 14 0 2 2 sin( sin )(1(2cos4) ) ( 2sin )d= + 22 22 00 sind24cos16cos17( sin )d =+ 158 43 = 12 （曲线积分计算） 设C是平面2xyz+=与柱面 22 1xy+=交线，从z轴正方向看去，C为顺时针方向， 计算曲线积分()d()d()d C Izyxxzyxyz=+ ? 解法 1：利用投影曲线写出参数方程 取曲线 22 1, 2 xy C xyz += += ： 的参数方程为： cos , sin , 2cossin , xt yt ztt = = =+ 起点对应2t =，终点对应 0t =，则 ()d()d()d C Izyxxzyxyz=+ ? 0 2(2 cos ) ( sin )+tt= (2cossin2)cos(cossin ) (cossin )dtttttttt+ 22 222 00 (3cossin)d2cosd2tttt t= = = 解法 2：将空间曲线积分化为平面曲线积分 设 22 ( , )1Dx yxy=+，则 ()d()d()d C Izyxxzyxyz=+ ? (2)d(22)d()( dd ) D xxxyyxyxy =+ ? (22)d(322 )d D xyxxyy =+ ? (31)d d2 D x y= = 13 （曲线积分计算） 设L是平面2xyz+=与柱面1xy+=的交线，从z轴正向看去为逆时针方向计算 曲线积分 222222 ()d(2)d(3)d L Iyzxzxyxyz=+ ? 解法 1：化为定积分计算 微积分B(2)第7次习题课 9 / 14 记 1234 ,L LLL分别为L在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，则 222222 I()d(2)d(3)d L yzxzxyxyz=+ ? 1 222222 ()d(2)d(3)d L yzxzxyxyz=+ 2 222222 ()d(2)d(3)d L yzxzxyxyz+ 3 222222 ()d(2)d(3)d L yzxzxyxyz+ 4 222222 +()d(2)d(3)d L yzxzxyxyz+ （化为定积分） 01 22222 10 (1)3 d3(1)(12 )7dxxxxxxx =+ 01 22222 10 (1)27 d3(1)(32 )7dxxxxxxx + 779 3324 33 =+= 解法 2：将空间曲线积分化为平面曲线积分 记L为L在xOy平面上的投影，则 222222 I(2) d2(2)d3( dd ) L yxyxxyxyxyxy=+ ? （空间曲线积分化为平面曲线积分 222222 2(2)3d2(2)4d L yxyxxxyxyy=+ ? （Green 公式） 1 2(6)d d24 xy xyx y + = += 14 （平面向量场） 设( , ),( , )P x yQ x y具有一阶连续偏导数以下哪些命题要求区域D是单连通域? （1） ( , )( , ) ( , )d( , )d()d D D Q x yP x y P x yxQ x yy xy += ? ； （2） “( , )d( , )d0 L P x yxQ x yy+= ? ，L为D内任一闭曲线” 与“曲线积分( , )d( , )d L P x yxQ x yy+ ? 在D内与路径无关”等价； （3） “曲线积分( , )d( , )d L P x yxQ x yy+ ? 在D内与路径无关”与“存在可微函数( , )x y，使 得d ( , )( , )d( , )dx yP x yxQ x yy=+在D内成立”等价； 微积分B(2)第7次习题课 10 / 14 （4） “曲线积分( , )d( , )d L P x yxQ x yy+ ? 在D内与路径无关”与“ ( , )( , )Q x yP x y xy = 在D内 成立”等价 答案：命题（4）要求区域D是单连通域 15 （平面向量场） 已知函数( )f x具有连续导数，且(0)0f=若曲线积分 2d ( )d L xyxyf xy+ 与路径无关， 求 (1,1) 2 (0,0) d( )dxyxyf xy+ 的值 解法 1：因为曲线积分 2d ( )d L xyxyf xy+ 与路径无关，取L为从点(0,0)A到点(0,1)B再到点 (1,1)C的折线段，则 (1,1)(0,1)(1,1) 222 (0,0)(0,0)(0,1) d( )dd( )dd( )dxyxyf xyxyxyf xyxyxyf xy+=+ 11 00 1 (0)dd 2 yfyx x=+= 解法 2：因为曲线积分 2d ( )d L xyxyf xy+ 与路径无关，所以 2 ( )()yf xxy xy = ， 即得 ( )2yfxxy= 考虑到(0)0f=，得 2 ( )f xx= 从而 (1,1)(1,1) 222 (0,0)(0,0) d( )dddxyxyf xyxyxyxy+=+ 22(1,1) (0,0) 11 () 22 x y= 16 （平面向量场） 沿任一条不与坐标轴相交的曲线，计算曲线积分 2 (2,) 2 (1,) 1cosdsincosd yyyyy xy xxxxx + 解法 1：因为 2 23 2 cossin XyyyyY yxxxxx = += ，所以曲线积分 2 2 1cosdsincosd L yyyyy xy xxxxx + 在第一象限中与路径无关，所以 微积分B(2)第7次习题课 11 / 14 2 (2,) 2 (1,) 1cossincosd yyyyy y xxxxx + 2 2 2 2 1 1 (1cos)d(sin)1xx xxx =+= + 解法 2：因为 2 23 2 cossin XyyyyY yxxxxx = += ，且 2 2 1cosdsincosd yyyyy xy xxxxx + 2 1 dcosddsind yyy xyxyy xxxx =+ + dcosdsind yyy xyy xxx =+ dd sinsinddsin yyy xyyxy xxx =+=+ ， 所以 2 (2,) 2 (1,) 1cosdsincosd yyyyy xy xxxxx + (2,) (1,) sin1 y xy x =+=+ 17 （平面向量场） 设函数( , )u x y在有界闭域D上具有二阶连续偏导数，且满足 22 22 ( , )( , ) 0 u x yu x y xy += ，( , )x yD，( , ), ( , )u x yAx yD 记D的外向单位法向量为n （1）求曲线积分 ( , ) ( , )d D u x y u x yl n ? 的值； （2）求证 ( , ), ( , )u x yAx yD 解： （1） ( , )( , ) ( , )dd DD u x yu x y u x ylAl nn = ? ( , )d D Au x yl = ? n ( , )( , )d d0 xxyy D Aux yux yx y=+= （2）由于 ( , ) 0( , )d ( , )( , )d DD u x y u x ylu x yu x yl n = ? n 微积分B(2)第7次习题课 12 / 14 2 2 22 22 ( , )( , )( , )( , ) ( , )d dd d DD ux yux yu x yu x y u x yx yx y xyxy =+ 2 2 ( , )( , ) d d D u x yu x y x y xy =+ ， 且函数( , )u x y的一阶偏导数连续，所以 ( , )( , ) 0,0, ( , ) u x yu x y x yD xy = ， 从而 ( , ), ( , )u x yCx yD 因为( , ), ( , )u x yAx yD，且函数( , )u x y连续，所以( , ), ( , )u x yAx yD 18 （平面向量场） 已知函数( )f x具有一阶连续导数，且(1)1f=设L是绕原点一周的任意正向闭曲线， 若 2 dd ( ) L x yy x A f xy = + ? ，试求( )f x及A的值 解：设C是任意一条不包围原点的封闭曲线，由题设可知 2 dd 0 ( ) C x yy x f xy = + ? 所以 22 ( )( ) xy xf xyyf xy = + ， 从而 2 ( )( )0f xxfx=， 故 2 ( ) 0 f x x = ， 考虑到 (1)1f=，得 2 ( )f xx= 取L为 22 1xy+=，得 222 dddd dd ( ) LLL x yy xx yy x Ax yy x f xyxy = + ? 22 1 (1 1)d d2 xy x y + =+= 19 （平面向量场）设函数( , )f x y在平面 2 R上存在连续偏导数，且只有唯一零点)0 , 0(O， 微积分B(2)第7次习题课 13 / 14 对任何包围)0 , 0(O的光滑正向闭曲线C , 曲线积分 dd ( , ) C x yy x m f x y = ? , m