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1 数学物理方法习题集 数学物理方法习题集 第一章 复数与复变函数 习题 习题 1，计算： （1） ，( 21)(12)ii。 （2） ， i i i i 5 2 43 21 。 （3） ， 5 (1)(2)(3)iii 。 （4） ， 4 (1) i。 （5） ，bia 。 2，求下列复数的实部u与虚部v，模r与幅角： （1） ， i i i i 5 2 43 21 。 （2） ， 13 () 2 n i , 4 , 3 , 2n。 （3） ，i1。 （4） ， 3 ( 3) i 。 （5） ， 2 31i 。 3，设 2 1 1 i z ，iz3 2 ，试用三角形表示 21z z及 2 1 z z 。 4，若2 1 Z zcos，证明2 1 m m z zmcos。 5，求下列复数z的主幅角zarg： （1） ， i z 31 2 。 （2） ， 6 ( 3)zi。 6，用指数形式证明： （1） ，(13)( 3)22 3iiii。 （2） ，i i i 21 2 5 。 （ 3 ） ， 7 ( 1)8(1)ii 。 （ 4 ） ， 1011 (13 )2( 13 )ii 。 7，试解方程 44 0(0)zaa。 2 8，证明： （1） ， 1212 Re()Re( )Re()zzzz ；一般 1 212 Re()Re( )Re()z zzz。 （2） ， 1212 Im()Im( )Im()zzzz ；一般 1 212 Im()Im( )Im()z zzz。 （3） ， 2121 zzzz ；一般 2121 zzzz。 9，证明： （1） ， 2121 zzzz。 （2） ， 2121 zzzz。 （ 3 ）， 11 22 () zz zz （0 2 z）。 （ 4 ）， 121 21212 2Re()2Re()z zz zz zz z。 （5） ， zz Re ， zz Im。 （6） ， 212121 2zzzzzz。 （7） ， 2 22 121212 ()()zzzzzz。 （8） ，若 22 ( )zz，则z为实数或纯虚数。 10，证明 2222 121212 2()zzzzzz，并说明其几何意义。 提示：利用公式zzz 2 。 11，设 1 z， 2 z， 3 z三点适合条件 0 321 zzz 及 1 321 zzz， 试证明 1 z， 2 z， 3 z是一个内接于单位圆1z的正三角形的顶点。 12，下列关系表示的 z 点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1） ， 1212 ()zzzzzz。 （2） ，4 zz。 （3） ，1 1 1 z z 。 （4） ， 4 ) 1arg(0 z且3Re2z。 （5） ，1z且0Imz。 （6） ， 21 Imyzy。 （7） ，2z且13 z。 （8） ， 2 1 2 i z且 2 1 2 3 iz。 （9） ，1Imz且2z。 （10） ，2z且 3 4 arg0 z。 13，证明复平面上的直线方程可以写成czz(0是复常数，c是实常数)。 14，证明复平面上圆周可以写成 0CzzzAz。 其中A，C为实数，为复数，且AC 2 。 15，试证zzargarg在负实轴上(包括原点)不连续。 提示：考察z沿上、下半平面而趋于负实轴上的点的极限。 16，一个复数列(1,2,) nnn zxiy n以 000 zxiy为极限的充要条件为实数列 (1,2,) n x n及(1,2,) n y n分别以 00 yx及为极限。 17，证明：三角形三内角和等于。 4 第二章第二章 解析函数解析函数 习题习题 1, 证明下列函数在 z 平面上处处不可导。 (1) z。 (2) yx 。 (3) zRe。 (4) z/1。 2, 试证 (1) 33 )(iyxzf仅在原点有导数。 (2) 2 ( )f zz仅在原点有导数。 3, 设 2233 22 () ,0 ( ) 00 xyi xy z f zxy z ， 证明( )f z在原点满足CR条件， 但不可 微。 4, 若函数( )f z在区域D上解析，并满足下列条件之一，证明( )f z必为常数。 (1) ( )0()fzzD。 (2)(zf在D上解析。 (3) ( )f z在D上是一常数。 (4)Re( )f z在D上是一常数。 5, 试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数。 (1)( cossin )( cossin ) xx exyyyieyyxy。 (2)cos chsin shxyixy。 (3)sin chcos shxyixy。 6, 试证下列函数，在复平面不解析。 (1) 2 z。 (2) z e。 (3)sinz。 (4)cosz。 7, 设( )( , )( , )f zu riv r, i rez, 若( , )u r及( , )v r在( , )r点是可微的，并满足 条件 v rr u1 ， 1 (0) vu r rr ， 证明( )f z在z点是可微的，并且 1 ( )() i uv fzi err 。 8, 由下列条件求解析函数( )f zuiv。 (1), 22 xyyxu ( )1f ii 。 (2) ,3 32 yyxu ( )1f i 。 (3) 2(1)uxy,(2)fi 。 9, 证明 2 xy不能成为z的一个解析函数的实部。 5 10, 22 2()xyi xy是否为z的一个解析函数？ 11, 证明( )f z与( )f z必同时为解析函数或不是解析函数。 12, 设w是z的解析函数，证明 v y u x ， u y v x ， (,)wuiv zxiy。 13, 定义sh 2 zz ee z 和ch 2 zz ee z 分别为双曲正弦函数及双曲余弦函数，试证 (1)sin( )sh ,iziz coschizz。 (2) 22 chsh1zz。 (3) 121212 ch()ch chsh shzzzzzz。 14, 若,iyxz试证 (1)sinsin chcos shzxyixy。 (2)coscos chsin shzxyixy。 (3) 2 22 sinsinshzxy。 (4) 2 22 coscosshzxy。 15, 证明zsin与zcos是以2为周期的函数，而 x e，shz，chz是以i2为周期的函数。 16, 证明 3 zw的三个单值分支在割破的z平面上的任一区域上都是解析的。 17, 设 3 zw确定在沿负实轴割破了的z平面上，并且( )w ii ，求()wi。 18, 试解方程 (1)31ie z 。 (2) 2 ln i z。 19, 设 i rez， i ez1试证 2 1 Reln(1)ln(12 cos ) 2 zrr。 20, 计算(1)ii， i 3， i i， i e 2 及Ln(1)i。 21, 如果函数( )f z和( ) z在 0 z解析， 00 ()()0f zz， 0 ()0z则 0 0 0 ()( ) lim ( )() z fzf z zz 。 22, 求证1 sin lim 0 z z z 。 23, 讨论函数 z ew将 z 平面上的带形区域20y变成w平面上的什么图形。 提示：先讨论直线 00 (02 )yyy的象曲线。 6 24, 计算 zi e 2 ， 2 z e及 1 Re() z e。 7 第三章 哥西定理 哥西积分 习题习题 1, 计算积分dzixyx t )( 2 1 0 ，积分路径是直线段。 2, 计算积分 i i z dz ，其中的积分路径是：(1)直线；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。 3, 按定义直接计算 Czdz ，其中积分路径C的起点为，终点为。 4, 利用积分估值，证明 （1）2)( 22 i i dziyx，积分路径是连接i到i直线段。 （2） i i dziyx)( 22 ，积分路径是从i到i的右半圆周。 （3）证明2 2 2 z dz i i ，积分路径是连接i到i2直线段。 5, 不用计算，证明下列积分之值均为 0，其中C均为单位圆周。 （1） C z dz cos 。 （2） C zz dz 22 2 。 （3） C z zz e 65 2 。 6, 计算 1 , z z dz 1 , z z dz 1 , z z dz 1z z dz 。 7, 由积分 Cz dz 2 之值，证明 0 0 cos45 cos21 d，其中 C 为单位圆周1z。 8, 计算 （1）dz z zz C 1 12 2 )2:(ZC。 （2） 2 2 21 (1) C zz dz z (2:zC)。 9, 计算 C dz z z 1 4 sin 2 ，其中积分路径C为： （1） ， 2 1 1z； （2） ， 2 1 1z； （3） ，2z。 10, 设 C d z zf 173 ，其中积分路径C为圆周3 22 yx，求(1)fi。 11, 求积分 C z zCdz z e 1:，进而证明 cos 0 cos(sin )ed 。 12, 设 4 6 2 z z zF，证明( ) c F z dz 当C是圆1 22 yx时等于 0，当C是圆 22 (2)1xy时等于i4，当 C 是圆12 2 2 yx时等于i2。 8 13, 利用函数 2 ( )f zz，验证哥西积分公式 1( ) ( ) 2() C fd f z iz ，以及哥西求导公式 1 !( ) ( ) 2() n n C nfd fz iz 。 提示：把( )f写成 2 2 2zzzz。 14, 设积分路径C：1aaz，求积分： （1） ， C dz z z 5 ) 1( cos ； （2） ， C z dz z e 22 ) 1( 。 15, 证明 2 1 () !2! nnz n c zz ed nin ，其中 C 是围绕原点的一条简单闭曲线。 16, 设C：( )()zz t at 为区域G内的光滑曲线，( )f z于区域G内单叶解析且 ( )0fz ，如果函数( )wf z将C映成曲线。求证亦为光滑曲线。 提示： 光滑曲线 C 的特点是： C 是约当曲线，( )0fz 且连续于t 。 现要证： ( )wf z t亦具有类似的性质。 17, 同前题的假设， 证明换元公式( ) ( ) ( ) C df zfz dz ， 其中( ) 沿连续。 提示：将两端之积分表示成实积分之形式即知。 18, 设流体平面流的水平及垂直分速分别为ky和kx（0k为常数） ，试求其复位势并画出 等势线及流线。 19, 试研究以下列函数为复位势的平面稳定流： （1） 1 ( )w zz z ； （2） 2 1 ( )w z z 。 9 第四章第四章 解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示 习题习题 1， 定下列幕级数的收敛半径，对（3） ， （4） ， （5）讨论幕级数在收敛圆周上的收敛情况： (1) 1 1 n n n z n 。 (2) 1n nnz n。 (3) n n z n 1 1 。 (4) 0n nk zn (0k为常数)。 (5) 1 2 2 1 n z n 。 2，将下列函数展为含z的幕级数，并指明展式成立的范围： (1) baz 1 (ba,为复数，0b)。 (2) z z dze 0 2 。 (3) z dz z z 0 sin 。 (4)z 2 cos。 (5)z 2 sin。 (6) 2 1 (1) z 。 3，试求下列幕级数的收敛半径： (1) 0 2 n nn zq，1q。 (2) 0 ! n n z。 (3) 0 3( 1) n nn n z 。 (4) 0 ! n n n z n n 。 4，将ln(1) z ez展开成 n z的幕级数，至少到含 5 z项。 5，将下列函数展开成(1)nz 的幕级数，并指出收敛范围： (1)zcos。 (2)zsin。 (3) 2z z 。 (4) 52 2 zz z 。 6，设 0 2 1 1 n n nz c zz ，证明 21 nnn ccc (2n)，求出该级数展开式的前 5 项， 并指出收敛范围。 7，如果函数 zf在解析区域D内一点a的值为零，则称a为该解析函数( )f z的零点，如 (1) ( )( )( )0 m f afafa ，但 ()( ) 0 m fa (1m)，则称a为( )f z的m阶 零点。现请指出下列级数在零点0z的阶： (1) 2 2( 1) z ze。 (2) 336 6sin(6)zzz。 10 8，如az是函数( )f z的m阶零点，又是( )g z的n阶零点。az是下列函数什么点？ (1)( )( )f zg z。 (2)( ) ( )f z g z。 (3) ( ) ( ) f z g z 。 9，将下列函数在指定的环域内展开成罗朗级数： (1) 2 1 (1) z zz ，10z，z1。 (2) 2 2 25 (2)(1) zz zz ，21z。 (3) 2 (1) z e z z ，10z。 (4) 5 1 (1)(3)zz ，30z。 (5) 1 sin z z ，110z。 10，将下列各函数在指定点的无心领域内展开成罗朗级数，并指出成立的范围： (1) 22 1 (1)z ，iz。 (2) 1 2 1 (1) z ze ，1z。 11，把 z zf 1 1 展成下列级数： (1)在1z上展成z的泰勒级数。 (2)在1z上展成z的罗朗级数。 (3)在21z上展成1z的泰勒级数。 (4)在21z上展成1z的罗朗级数。 12，把 1 ( ) (1) f z zz 展成在下列区域收敛的罗朗(或泰勒)级数： (1)10z。 (2)1z。 (3)110z。 (4)11z。 (5)11z。 (6)211z。 (7)21z。 13，确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型(对于极点，要指出它们的阶) 对于无穷远点也要加以讨论： (1) 22 1 (1) z z z 。 (2) 22 1 ()zi 。 (3) 3 cos1 z z 。 (4) 1 cos ()zi 。 (5) m z z e1 (m为自然数)。 (6) 1 z z e e 。 (7) zzcossin 1 。 (8) z z e e 1 1 。 (9) 2 2 3 (32)zz。 11 (10)tgz。 (11) z1 1 sin。 (12) 1 1 1 z z e e 。 14， az 是( )f z的解析点或极点，而是( ) z以为本性奇点，且( )0f z。证明az 是 ( )( )zf z，( ) ( )z f z， ( ) ( ) z f z 的本性奇点。 15，讨论下列函数在无穷远点的性质： (1) 2 z。 (2) 1z z 。 (3) 1 2 (1) z。 (4) z z 1 sin。 16，证明原点为 1 ( ) chz f z shzz 的单极点。 12 第五章 残数及其应用 第五章 残数及其应用 习题习题 1 求下列函数在指定点处的残数。 （1） ， 2 (1)(1) z zz 在, 1z。 （2） ， zsin 1 在nz（, 2, 1, 0n） （3） ， 4 2 1 z e z 在, 0z。 （4） ， 1 1 z e 在, 1z。 2 求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的残线（m是自然数） 。 （1） ， z z m 1 sin。 （2） ， m m z z 1 2 。 （3） ， 1 () () m zz ()。 （4） ， 2 (1) z e z 。 （5） ， coz z 1 。 （6） ， z e z 3 sin 1 。 （7） ， z z e 1 。 （8） ， 1 () 2 z z e 。 （9） ， z z cos 。 （10） ， 2 (1) m m z z 。 3 计算下述各积分 （1） ， 1 sin z zz dz 。 （2） ， 22 (1) (1) C dz zz ，)(2: 22 yxyxC。 （3） ， 1( ) () nn z dz zazb ， 其中1a，1b，ba，n为自然数。 （4） ， 2 2 2 12 1 z z dz z e 。 （5） ， 7 cos1 1 z dz z z 。 （6） ， 2 1 3 1 z zdz e z z 。 4 求下列各积分值 （1） ， 2 0 cosa d (1a)。 （2） ， 2 0 2 cos1 d 。 （3） ， 2 0 2 sin a d (0a)。 （4） ， 0 ()tgia d ， （a为不等于 0 的实数） 。 5 求下列各积分值 （1） ， 2 22 0 (1)(4) x dx xx 。 （2） ， 2 222 () x dx xa 。 （3） ， 22 cos (1)(9) x dx xx 。 （4） ， 0 44 sin dx ax mxx (0, 0am)。 13 （5） ， 1 4 x dx 。 （6） ， 0 2 22 1 dx x xx r qp ，rqp,为非负数且rqrp,。 6 仿照例 14 的方法计算下列积分 （1） ， 22 0 sin (1) x dx x x 。 （2） ， 22 0 sin () x dx x xa (0a)。 7 从 C iz dz z e 出发，其中C是如图 5.10 所示的围线，证明 00 2 sincos dx x x dx x x 。 图 5.10 8 从 2 ln (1) C zz dz z 出发，其中C如图 5.11 所示的围线，证明 2 0 ln (1) xx dx x ， 2 0 (1)2 x dx x 。 设C为一围线，( )f z适合条件（1）( )f z在C内除有限个 图 5.11 极点外解析， （2）( )f z沿C解析且不为 0。试证： （1） ， 1( ) 2( ) C fz dzNp if z ，其中N是( )f z在C内零点的个数，p是( )f z在C内极 点的个数。 （2） ， ( ) 2 CArgf z Np ， 其中( ) CArgf z 为z沿C正向绕行一周后( )Argf z的改变值。 9 设( )f z沿圆弧 i r reazs:( 21 ，r充分小)上连续且 0 lim() ( ) r za f z 在 r S上一致成立，试证 21 0 lim( )() r Sr f z dzi 。 10 证明 2 0 11 () 22 rp p er dr 。 11 令)(ln)(z dz d z(函数对数的导数)，试证明 )( 1 ) 1(z z z， zzzcot)()1 (。 14 12 证明 2 0 11 ()() 22 (cos ) (sin ) 2(1) 2 pq pq d pq ， )1Re(, 1)Re(qp。 15 第七章第七章 一维波动方程的分离变量法解一维波动方程的分离变量法解 习题习题 1 有一两端固定的弦，作自由振动。初速度为 0，初位移为 )21 ()2( ) 10( )( xxk xkx x， 其中k为已知常数，试求其付氏解。 2 将前题之初位移改为 (1)( 10) ( ) (1)(01) hxx x hxx ，求其付氏解。 3 两端0x与lx固定的弦，作自由振动。它的初位移为 0，初速度为 ( ,) ( ) 0( ,) cx x x ， 其中c为已知常数，l0，求其付氏解。 4 两端0x与lx固定的弦，在开始的一瞬间，它的形状 是一条以过 2 l x 点的铅垂线为对称轴的抛物线(如图)， 其顶点的纵坐标为h。假定没有初速度，试用付氏方法求 弦的振动情况。 提示：先求抛物线的方程。 5 求解混合问题 2 (0, )0, ( , )0(0) ( ,0)sin,( ,0)sin(0) ttxx t ua u utu l tt xx u xu xxl ll 。 6 求解混合问题 2 (0, )0, ( , )0(0) 3 ( ,0)sin,( ,0)()(0) ttxx t ua u utu l tt x u xu xx lxxl l 。 7 今有偏微分方程 xxxtt buuau 2 ，其中b为已知常数，作代换veu x ，问取何 值时可消去方程中的一阶导数项？ 8 今有偏微分方程 txxtt cuuau 2 ，其中c为已知常数。作代换veu t ，为何值时 可消去方程中的一阶导数项？ 9 化简偏微分方程 ducubuuau txxxtt 2 ，其中dcb,为已知常数。 16 提示：令veu xt 。 10 用分离变量求解混合问题 (0, ), (1, )0(0) ( ,0)0,( ,0)0(01) ttxx t uu utE utt u xu xx ， 其中E为已知常数。 11试用分离变量法求解混合问题 2 sh (0, )0, ( , )0(0) ( ,0)0,( ,0)0(0) ttxx t ua ubx utu l tt u xu xxl ，其中b为已知 常数。 12试用分离变量法求解混合问题 2 2 (0, )0, ( , )0(0), ( ,0)( ),( ,0)( )(0) ttxxt t ua uhu utu l tt u xx u xxxl ，其中h 是一个充分小的正数，( )x及( )x为充分光滑的已知函数。 13试用分离变量法求解混合问题 2 (0, )0, ( , )0(0) ( ,0)( ),( ,0)( )(0) ttxx x t ua u utu l tt u xx u xxxl ，其中 ( )x及( )x为充分光滑的已知函数。 14试用分离变量法求解混合问题 2 (0, )0,( , )0(0) ( ,0)0,( ,0)0(0) ttxx x t ua ug utu l tt u xu xxl ，其中g为已知 常数。 15设弹簧的一端固定，另一端在外力作用下作周期震动，此时归结为混合问题 2 (0, )0, ( , )sin(0) ( ,0)0,( ,0)0(0) ttxx t ua u utu l tAtt u xu xxl ， 其中A，为已知常数，试求其解。 16试用分离变量法求解混合问题 2 0 (0, )0, ( , )0,(0, )0,( , )0(0) ( ,0)( ),( ,0)( )(0) ttxxxx xxxx t ub u utu l tutul tt u xx u xxxl ， 其中b为已知常数，( )x及( )x为充分光滑的已知函数。 17 第八章第八章 热传导方程的分离变量法解热传导方程的分离变量法解 习题习题 1，证明函数 22 2 ()() 4() 2 1 ( , , ; , , ) 4() xy at u z y te at 对于变量(tyx,)，满足方程 2( ) txxyy ua uu，对于变量(,)，满足方程 2( )0ua uu 。 2，证明如果 1( , ) u x t， 2( , ) uy t分别是下述两个定解问题 2 11 11 ( ,0)( ) txx ua u u xx 和 )()0 ,( 22 2 2 2 xyu uau yyt 的解，则),(),(),( 21 tyutxutyxu，是定解问题 )()()0 ,( )( 21 2 yxyxu uuau yyxxt 的解。 3，一根长为l的枢轴，它的初温为常温 0 u，其两端的温度保持为 0，试求在枢轴上温度的 分布情况。 4，求解混合问题 22 (0, )0, ( , )0(0) ( ,0)( )(0) txx ua ub u utu l tt u xxxl ，其中b为已知常数，)(x为已知的连 续函数。 提示：令),() 0 , ( 2 txVexu tb 。 5，有一两端无界的枢轴，其初始温度为 ) 1(0 ) 1(, 1 )0 ,( x x xu, 试求在枢轴上的温度分 布为 22 0 2sin ( , )cos() at u x tx ed 。 6，利用前题的结果，证明重要定积分 0 2 sin dx x x 。 7，试求半导体的预定积扩散问题 )(0 )(/ ) 0 , ( hx hxhQ xu Duu xxt 的解，并证明当0h时， 解的极限为 Dt x e tD Q 4 2 ，其中hQ,均为已知常数。 18 8，求解初值问题 0)0 ,( ),( 2 xu txfuau xxt ，)(x，其中),(txf为已知的连续函数。 9，求解混合问题 )0() 0 , ( )0(),(, 0), 0( 0 0 2 lxx l u xu tutlutu uau x xxt ，其中 0 u均为已知常数。 10，求解混合问题 )0(0) 0 , ( )0(0),(,sin), 0( 2 lxxu ttlutAtu uau xxt ，其中和为已知正常数。 11，求解混合问题 22 0,1 (0, )( , )(0) ( ,0)( )(0) txx ua ub u utu u l tut u xxxl ，其中buu, 10 为已知常数，( )x为 已知的连续函数。 12，求解混合问题 2 (0, )0,( , )( , )0(0) ( ,0)( )(0) txx x ua u utu l thu l tt u xxxl ，其中h为已知正常数， ( )x为已知的连续函数。 19 第九章第九章 Laplce 方程的圆的方程的圆的 Dirichlet 问题的分离变量法解问题的分离变量法解 习题习题 1 试证拉普拉斯方程0 yyxx uu在极坐标下的形式为 0 11 2 u r u r u rrr 。 2 求解狄利克雷问题 2 11 0 , (1, )() 0, rrr uuu rr A u ，其中A和为已知常数。 3 求解狄利克雷问题 2 11 0 (1, )cos() rrr uuu rr uA ，其中A为已知常数。 4 求解定解问题 2 11 0 ( ,0)0, ( , )0(0) ( , )( )(0) rrr uuu rr u ru rrl u lf ，其中( )f为已知的连续函数， 而2。 5 求解矩形平板(ax0，by0)内，由定解问题 0 (0, )0,( , )0 ( ,0)( ),( , )0 xxyy uu uyu a y u xf xu x b 确定的温度场分布，其中( )f x为已知的连续函数。 6 求解定解问题 0 (0, )0,( , )0(0) ( ,0)(1),lim ( , )0(0) xxyy y uu uyu l yy x u xAu x yxl l ， 其中A为已知常 数。 7 求解泊松方程求解问题 222 4 0 xxyy xya uu u 。 8 求解泊松方程求解问题 222 0 xxyy xya uuxy u 。 20 9 求解泊松方程求解问题 0 2 D yyxx u uu ， 其中矩形区域D：ax0， 22 b y b 。 10求解定解问题 0 (0, ),( , )(0) ( ,0)0,( , )0(0) xxyy x yy uu uyA u a yAyyb uxux bxa ，其中A为已知常数。 11求解定解问题 )0(, 0 0 , )0(, 0 0 axBbxuxu byAyauAyu uu yy x yyxx ，其中A，B为已知常数。 21 第十章第十章 波动方程无界问题的达朗贝尔解波动方程无界问题的达朗贝尔解 习题习题 1，试求满足以下两个方程的公共解： xxtt uau 2 ， 2 2 2 xt uau。 ，验证 3 2 ( , )()()u x ttg xatxat满足波动方程 xxtt uau 2 。 ，验证( , )(3)()u x yxyxy是偏微分方程 032 xyxyxx uuu的解，其中 和是充分光滑的任意函数。 ，试求出方程 02 22 yxyyxyxx yuxuuyxyuux的通解为 ( , )()ln()u x yxyxxy，其中和为充分光滑的任意函数。 提示：作变换xy，x。 5，试求出方程 2 22 22 1 (1)(1) xuxu xhxaht 的通解为 12 ()()f xatfxat u hx ， 其中h为已知常数， 1 f和 2 f为充分光滑的任意函数。 提示：令( , )() ( , )v x yhx u x t。 6，试求满足前题方程和下列初始条件的解： ( ,0)( )() ( ,0)( )() t u xxx u xxx ，其中( )x 和( )x分别为充分光滑的已知函数。 7，一根无限长的弦与x轴正半轴重合，并处于平衡状态中，弦的左端位于原点。0t当时 左端点做微小振动tAsin，试证弦的振动规律为 0() ( , ) sin()() x t a u x t xx Att aa ， 其中A，为已知常数。 8， 求解弦振动方程的古尔沙问题 ( ,)( )() ( , )( )() ttxx uu u xxxx u x xxx ， 其中( )x和( )x为 充分光滑的已知曲线。且(0)(0)。 22 9，求解定解问题 2 2 () ( ,0)( )() ( ,0)( )() ttxxx t ua uu x u xxx u xxx ，其中( ) x和( )x为充分光滑的已 知函数。 提示：令( , )( , )v x txu x t。 10，求解定解问题 2 2cossinsin0 ( ,sin )( )() ( ,sin )( )() xxxyyyy y ux ux ux u u xxxx uxxxx ，其中( )x和( )x为充 分光滑的已知函数。 提示：令yxxsin，yxxsin。 11，求解初值问题 2 22 2 (1) ( ,0)0() 1 ( ,0)() 1 ttxx t x ua u x u xx u xx x 。 12，球面波自原点发出，向各个方向传播，则波函数( , , , )u x y z t之值在同一球面上保持不 变，写出波动方程并求其通解。 13，验证 ( , , , )()u x y z tfxyzat，满足方程 2( ) ttxxyyzz ua uuu。 其中f为充分光滑的已知函数，1 222 。并说明函数( , , , )u x y z t在此时代 表一个平面波。 14，利用二维泊松公式求解定解问题 2 2 () ( , ,0)()(,) ( , ,0)0(,) ttxxyy t ua uu u x yxxyx y u x yx y 。 15，利用三维泊松公式求解定解问题 2 32 () ( , ,0)(, ,) ( , ,0)0(, ,) ttxxyyzz t ua uuu u x yxy zx y z u x yx y z 。 23 16，求解定解问题 2 2 ()2 ( , , ,0)0(, ,) ( , ,0)(, ,) ttxxyyzz t ua uuuyt u x y zx y z u x yxyzx y z 。 17， 求解定解问题 22 () ( , ,0)( , )(,) ( , ,0)( , )(,) ttxxyy t ua uuc u u x yx yx y u x yx yx y ， 其中c为已知常数，( )x和 ( )x为充分光滑的已知函数。 提示：在三维波动方程中令( , , , )( , , ) ct a u x y z tev x y t 。 18，试在条件CRGL与任意初始条件下，解电报方程（7.13） 。 提示：作变换( , )( , ) t I x teu x t 并适当选择因子，使得在方程中不含 t u 。 24 第十一章第十一章 函数及其在求解数理方程中的应用函数及其在求解数理方程中的应用 习题：习题： 1 在某一时刻，细长杆的一点 0 x受到冲量I的作用。试写出作用于此杆的冲量密度。 2 写出三维空间中电量为Q的电荷密度（用三维函数表示） 。 3 证明一维的麦克斯韦速度分布函数可作为函数的辅助函数： kt mv e kt m tv 2 2 2 ),( ， 式中m为粒子质量，T为温度，k为玻耳兹曼常数，而 ),(lim)0( 0 Tvv T 。 4 设x的定义域为,x，试证 2 2 )sinsincos(cos21 1 2 1 ),( xx x，), 10( 可作为函数的辅助函数，而 ),(lim)( 0 xx。 5 证明 )( )cos(22 1 lim 22 22 弱 rRrR rR Rr 。 6 证明 )( sin limx x kx k 弱 。 7 证明函数的导数是奇数。 8 写出用函数表示电偶极矩的表示式。 9 函数在区间 1 , 1上按勒让德多项式)(xPl展开，归一的本征函数为 )2 , 1 , 0()( 2 12 )( lxP l x ll 。 证明函数按勒让德多项式)(xPl的广义傅立叶级数展开式为 0 00 )()( 2 12 )( l ll xPxP l xx。 10证明 25 ),( )cos(sinsincoscos21 sin 4 1 lim 00 2 000 0 2 1 弱 rr r r ， ）（2,0 ;,0 00 。 11证明 0 sin ( ) weak N Nx x x 。 提示：利用微分中的狄利克雷积分 0 sin lim( )(0) N Nx f xdxf x 。 11证明 22 0 1 ( ) weak a a x ax 。 26 第十二章第十二章 非齐次的波动方程和热传导方程的冲量定理解非齐次的波动方程和热传导方程的冲量定理解 习题习题 1 求解定解问题 0, 0 0, 0 sincos 00 0 2 t t t lx x x x xxtt uu uu t l x Auau 。 2 求解定解问题 0 0, 0 sin 0 0 2 t lx x x x xxt u uu tAuau 。 3 两端固定的弦在线密度为txtxfsin)(),(的横向力作用下振动。求解其振动情 况。研究共振的可能性，并求共振时的解。 4 两端固定弦在点 0 x受谐振变力tftxfsin),( 0 作用而振动，求解振动情况。 27 第十三章第十三章 数理方程的数理方程的 Green 函数解函数解 习题习题: 1 验证函数 r zyxu 1 ),(，其中 2 0 2 0 2 0 )()()(zzyyxxr，在三维空间中 除点),( 0000 zyxP点外的任一点处都满足拉普拉斯方程。 2 验证函数 r yxu 1 ln),(， 其中 2 0 2 0 )()(yyxxr， 在二维空间中除),( 000 yxP 点外的任一点处都满足拉普拉斯方程。并证明 ),() 1 ln 2 1 ( 00 yyxx r 。 3 求解定解问题 0lim 6)(4 )(222 222 u ezyxu r zyx ，其中 222 zyxr。 提