考研数学一试题及答案解析.pdf

2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学一一一一试题试题试题试题 一一一一、选择题选择题选择题选择题: : : :1 1 1 1 8 8 8 8 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 4 4 4 4 分分分分, , , ,共共共共 32323232 分分分分. . . .下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中, , , ,只有一个选项符合题只有一个选项符合题只有一个选项符合题只有一个选项符合题 目要求的目要求的目要求的目要求的, , , ,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . (1)已知 0 -arctan lim= k x xx c x ，其中, k c为常数，且0c，则 （ ） (A) 1 =2, 2 kc = (B) 1 =2, = 2 kc (C) 1 =3, 3 kc = (D) 1 =3, = 3 kc 【答案】D 【解析】因为0c 22 2 3 1121 00000 1 1- arctan1 1+ limlimlimlimlim (1) k kkkk xxxxx xxxx x cx xkxkxxkxk = + 洛 11 30,3, 3 kkc k =所以故选D (2) 曲面 2 cos()0xxyyzx+=在点()0,1, 1的切平面方程为 （ ） （A)2xyz+= (B)0xyz+= (C) 23xyz+= (D)0xyz= 【答案】A 【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为 (0,1,-1) =(,) xyz nF F F (0,1,-1) =(2 - sin()+1,- sin()+ , )x yxyxxyz y=(1,-1,1) 故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为 1 ( -0)-( -1)+( +1)=0,xyz 即 2xyz+= ，选 A (3) 设 1 0 1 ( ),2( )sin(1,2,) 2 n f xxbf xn xdx n= L. 令 1 ( )sin n n s xbn x = = , 则 9 () 4 s= （ ） (A) 3 4 (B) 1 4 (C) 1 4 (D) 3 4 【答案】C 【解析】 11 - ,0, 221 ( )=-= 211 -,1 22 xx f xx xx 将( )f x作奇延拓，得周期函数( )F x，周期T=2 则( )F x在点 9 4 x = 处连续，从而 991111 ()= ()()=()=f()= 444444 SFFF= 故选 C (4) 设 22222222 1234 :1,:2,:22,:22LxyLxyLxyLxy+=+=+=+=为四条逆时针方向 的 平 面 曲 线 ， 记 33 ()(2)(1,2,3,4) 63 i i L yx Iydxxdy i=+= ? . 则 1234 max,I III= （ ） （A） 1 I （B） 2 I （C） 3 I (D) 4 I 【答案】D 【解析】记 33 +, =2 63 yx PyQx=，则 22 22 21=1+ 22 QPyy xx xy = ， 332 2 =+ 2=1+ 632 iii i LDD yxQPy Iydxxdydxdyxdxdy xy ? . 用Di表示Li所围区域，则有 12344132 513 22 =,=, =,=,. 8282 IIIIIIII 故选 D (5)设, ,A B C均为n阶矩阵， 若ABC=,且B可逆， 则 （ ） (A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】B 【解析】将,A C按列分块， 11 (,.,),( ,.,) nn AC= 由于ABC=,故 111 11 1 . (,.,).( ,.,) . n nn nnn bb bb = 即 1111111 .,.,. nnnnnnn bbbb=+=+ 即C的列向量组可由A的列向量线性表示 由于B可逆，故 1 ACB=，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选 B (6) 矩阵 11 11 a aba a 与 200 00 000 b 相似的充要条件为 （ ） (A) 0,2ab= (B) 0,ab=为任意常数 (C) 2,0ab= (D) 2,ab=为任意常数 【答案】B 【解析】令 11 11 a Aaba a = ， 200 00 000 Bb =， 因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2, ,0b A的特征方程 111 0 111 aa EAababa aa = 1 0 01 a ba a = =()() 2 22ba ， 因为2=是A的特征值，所以20EA= 所以 2 20a=，即0a=. 当0a=时，()()2EAb =， A的特征值分别为2, ,0b所以b为任意常数即可. 故选 B. (7) 设 123 ,XXX是随机变量，且 1 (0,1)XN, 2 2 (0,2 )XN, 2 3 (5,3 )XN， 22 (1,2,3) ii pPXi= =,则 （ ） (A) 123 ppp (B) 213 ppp (C) 312 ppp (D) 132 ppp 【答案】A 【解析】 11 2 22 3 33 22(2)( 2)2(2) 1, 02020 22(1)( 1)2 (1) 1, 222 5252577 22( 1)(1), 33333 pPX X pPXP X pPXP = = = = = = = = = 由下图可知， 123 ppp,选 A. (8) 设随机变量 ( )Xt n，(1, )YFn，给定(00.5)=， 则 2 P Yc=（ ） (A) (B) 1 (C) 2 (D)12 【答案】C 【解析】 ( )Xt n，则 2 (1, )XFn 222 22P YcP XcP XcP XcP Xc=+=,选 C. 二二二二、填空题填空题填空题填空题：9 9 9 9?14141414 小题小题小题小题, , , ,每小题每小题每小题每小题 4 4 4 4 分分分分, , , ,共共共共 24242424 分分分分. . . .请将答案写在请将答案写在请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . . (9) 设函数( )yf x=由方程 (1)xy yxe =确定，则 1 lim( ) 1 n n f n = _ 【答案】1 【解析】 0x =时，1y = 方程两边对x求导得 (1) 1(1) xy yeyxy =所以(0)1 y = y x 1 2 7/3 ( )yx= O 1 ( )(0) 1 lim( ) 1lim(0)1 1 nn ff n n ff n n = （10）已知 3222 123 , xxxxx yexeyexeyxe= 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解y=_ 【答案】 32 12 () xxxx yc eec exe=+ 【解析】 3 1223 , xxx yyeeyye= 对应齐次微分方程的通解 23 12 () xxx yc eec e=+ 非齐次微分方程的通解 32 12 () xxxx yc eec exe=+ (11) 设 sin sincos xt yttt = =+ （t为常数） ，则 2 2 d y dx 4 t = =_ 【答案】 2 【解析】 1sincossin cos dydytttt t dx dxdtt dt + =， 22 22 4 111 ,2 cos cos 4 t dy d d ydtd ydx dx dxdtdxt dx dt = = (12) 2 1 ln (1) x dx x + = + . 【答案】ln2 【解析】 11 2 11 lnln lnln2 (1)(1)(1)(1) xxdxx dx xxxxx + + = += + (13) 设() ij Aa=是 3 阶非零矩阵，A为A的行列式， ij A为 ij a的代数余子式，若 0( ,1,2,3) ijij aAi j+= 则A=_ 【答案】1. 【解析】方法一：取矩阵 100 01 0 001 A = ，满足题设条件，1.A = 方法二： *T AA= ，则 *T AA= ，整理得到 3 1 3 ( 1)AA = ，即1A = 或者0A =. () 222 112233123 0 iiiiiiiii Aa Aa Aa Aaaa=+= + 又因为AO，所以至少有一个0 ij a ，所以 () 222 112233123 0 iiiiiiiii Aa Aa Aa Aaaa=+= +=_. 【答案】 1 1 e 【解析】 0 ( ) 0 0 y ey f y y = ， ， 1 (1) ( ) ,1 1 11 ( ) a aa a a a f y dy P Ya Ya ee P YaYa eeP Ya f y dy + + + + += 三三三三、解答题解答题解答题解答题：1515151523232323 小题小题小题小题, , , ,共共共共 94949494 分分分分. . . .请将解答写在请将解答写在请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸答题纸答题纸 指定位置上指定位置上指定位置上指定位置上. . . .解答应写出文字说明解答应写出文字说明解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证证证证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤明过程或演算步骤明过程或演算步骤. . . . (15)(本题满分 10 分) 计算 1 0 ( )f x dx x ，其中 1 ln(1) ( ) x t f xdt t + = 【解析】 1 ln(1) ( ) x t f xdt t + =，则 ln(1) ( ) x fx x + =,(1)0f= 111 1 0 000 ( ) 2( )2( )2( ) f x dxf x dxf xxx fx dx x = 111 000 ln(1)ln(1) 2 (1)224ln(1) xx fxdxdxxdx xx + = = + 11 1 0 00 4 ln(1)4ln24 11 xx xxdxdx xx = += + + 其中 2 2 11111 222 00000 2 1 .2222 1111 = x t x t dxtdt xtt dxtdtdtdtdt xttt = = = = + 1 0 2arctan2(1) 4 tt = 所以原式4ln28(1) 4 = +824ln2= (16)(本题满分 10 分) 设数列 n a满足条件： 012 3,1,(1)0(2), nn aaan nan =( )S x是幂级数 0 n n n a x = 的和函数 (I)证明：( )( )0SxS x= (II)求( )S x的表达式 【解析】 1 01 ( ),( ), nn nn nn S xa xS xna x = = 2 2 20 ( )(1)(2)(1) nn nn nn Sxn na xnnax + = =+ 2 0 ( )( )(2)(1) n nn n SxS xnnaax + = =+ 因为 2 (1)0,2 nn n naan =，所以 2 (2)(1)0(0). nn nnaan + += 所以 0 1 ( )( )0, (0)3, (0)1. SxS x Sa Sa = = = （II） 2 12 10,1,1 = ，所以 12 ( )= xx S xC eC e +. 又(0)3,(0)1S S =，所以 12 1,2CC=,( )=2. xx S xee + (17)(本题满分 10 分) 求函数 3 ( , )() 3 x y x f x yye + =+的极值 【解析】令 3 2 ()0 3 x y x x fexy + = +=， 3 (1)0 3 x y y x fey + = += 解得 1 4 3 x y = = 或 1 2 3 x y = = 3 2 (22) 3 x y xx x fexxy + = + 3 2 (1) 3 x y xy x fexy + = + 3 (2) 3 x y yy x fey + = + 1 3 4 1, 3 3 xx Afe = ， 1 3 4 1, 3 xy Bfe = ， 1 3 4 1, 3 yy Cfe = 222 2 333 320ACBeee = 又0A 所以 4 1, 3 为( , )f x y的极小值点，极小值为 1 3 4 1, 3 fe = 5 3 2 1, 3 xx Afe = ， 5 3 2 1, 3 xy Bfe =， 5 3 2 1, 3 yy Cfe = 因为 2 0ACB = 其他 其 中为 未 知 参 数 且 大 于 零 ， 12 , n XXX为来自总体X的简单随机样本 (I)求的矩估计量； (II)求的最大似然估计量. 【解析】 (I) 22 32 000 ()( ; ) x xx E Xxf xdxxedxedxe d xxx + = 令()XE