第十一章北航材料力学全部课件习题答案.pdf

1 第十一章 压杆稳定问题 11-1 图示两端铰支刚杆蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹 簧产生单位转角所需之力偶矩。 题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为2， 由右段刚杆的力矩平衡方程 0) 2 ()2( l Fc 得 l c F 4 cr 图 11-1 11-2 图示刚杆弹簧系统， 图中的 c， c1与 c2均为弹簧常数， 试求系统的临界载荷。 题 11-2 图 (a) 解：设系统微偏转如图 11-2a(1)所示，铰链 C 的铅垂位移用表示,于是得杆 BC(连带 铰链 C)的受力如图 11-2a(2)所示，由平衡方程 0 2 , 0 Fl c MC 得系统的临界载荷为 2 cr cl F 2 图 11-2a （b）解：设系统微偏转如图 11-2b(1)所示，铰链 A 与 B 的铅垂位移分别用与表示,于 是得杆 AB 的受力如图 11-2b(2)所示，杆的平衡方程为 0 , 0 1122 ccFy (a) 0)( , 0 2122 FlcMA (b) 由式（b）得 21 22 lc F (c) 由式（a）得 2 11 2 c c 代入式（c） ，于是得系统的临界载荷为 21 21 cr cc lcc F 图 11-2b 11-3 图示结构，AB 为刚性杆，BC 为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为 EI。在刚性杆 顶端承受铅垂载荷 F 作用，试求其临界值。 3 题 11-3 图 解：结构的临界状态示如图 11-3。 图 11-3 使梁B端截面产生转角 B 的力矩应为 B l EI M 3 e 而 )( e aFM B 由此得 al EI F 3 即 al EI F 3 cr 11-4 图示刚性杆 AB，下端与圆截面钢轴 BC 相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保 持稳定平衡，试确定轴 BC 的直径 d。已知 F = 42 kN，切变模量 G = 79 GPa。 4 题 11-4 图 解：刚性杆AB在微偏斜（设偏斜角为，见图 11-4）状态下处于平衡，此时加给轴BC 的扭力矩为 FaMB 而 p GI Tl 注意到 B MT ，于是得 al GI F p 即 al Gd al GI F 32 4 p cr 由此得（题中给出F=42kN） mm 30m 0.030m 1079 1042300. 0500. 032 32 44 9 3 cr G alF d 图 11-4 5 11-6 图示细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，试按11-2 所述方法确定杆的临界载荷。 题 11-6 图 解：设自由端的挠度为，则 )()(wFxM 挠曲轴近似微分方程为 FFwwEI 或 kkww 式中， EI F k 2 (a) 上述微分方程的通解为 kxDkxCwsincos (b) 位移边界条件为 0 0 wx时，当； 0 0 wx时，当； wlx 时，当 由式(b)与上述边界条件，得 0D C 0coskl 由上式得 ), 2 , 1 , 0( 2 n n kl (c) 将式(c)代入式(a)，得 ), 2 , 1 , 0( 4 2 22 cr n l EIn F 由上式并取 n=1，即得压杆的临界载荷为 2 2 cr 4 l EI F 11-7 试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。 题 11-7 图 (a)解:相当长度为 6 al eq 临界载荷为 2 2 cr a EI F (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 图 11-7b 半个正弦波的长度为 a，即 al eq 由此得临界载荷为 2 2 cr a EI F 11-8 图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为 EI，且均为细长杆。试问当载荷 F 为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷 F 的方向改为向内， 则使杆件失稳的载荷 F 又为何值？ 题 11-8 图 解：1.当F向外时 竖向杆CD受压，其余四根杆受拉。 设杆CD编号为 5，则有 FF N5 由此得 2 2 2 2 cr 2 )2( l EI l EI F 2.当F向内时 此时杆 5 受拉，其余各杆（编号 1，2，3，4）受压。且 7 2 N4N3N2N1 F FFFF 由此得 2 2 2 2 cr 2 ) (2 l EI l EI F 11-9图 a 所示细长压杆， 弯曲刚度 EI 为常数， 试证明压杆的临界载荷满足下述方程： 0)cos2(sinsinklklklkl 式中，k2=F/(EI)。 题 11-9 图 解：在临界载荷作用下，压杆可在图 b 所示微弯状态保持平衡。 设横截面 C 的挠度为，则由平衡方程求得支座 A 与 B 的支反力为 l F FF ByAy 杆段 AB 与 BC 的弯矩方程分别为 111) (Fwx l F xM )()( 22 wFxM 相应的挠曲轴近似微分方程分别为 11 “ 1 x l F FwEIw FFwEIw 2 “ 2 上述微分方程的通解分别为 111111 cossinx l kxBkxAw (a) 22222 cossinkxBkxAw (b) 式中，除参数 k 外，积分常数 A1，A2，B1，B2与端点挠度也均为未知。 压杆的位移边界条件与连续条件为： 0 , 0 11 wx处在 (1) 22 , 0 wx处在 (2) 0 , 11 wlx处在 (3) 8 2121 , wwlxx处在 (4) 2121 , wwlxx处在 (5) 由式(a)，(b)与条件(1)，(2)可知， 0 21 BB 由式(a)，(b)与条件(3)，(4)，(5)，得 klA sin 1 0sinsin 21 klAklA l klkAklkA coscos 21 可见，A1，A2与存在非零解的条件为 0 1/ cos cos 0 sin- sin 1 0 sin lklkklk klkl kl 由此得 0cos2sinsinklklklkl 上述方程有两组可能的解，即： 0sinkl 0cos2sinklklkl 由上述二方程的最小非零正根，分别得 2 2 1cr l EI F ， 2 2cr 359. 1 l EI F ， 显然，压杆的临界载荷为 2 2crcr 359. 1 l EI FF ， 11-10 图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的 弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程： 0 2 cos 4 1 22 sin 2 sin 2 kl cl EIkklklkl 式中，)/(EIFk。 9 题 11-10 图 解：该细长压杆的微弯状态如图 11-10 所示。 图 11-10 按图中所取坐标，左、右段压杆得弯矩方程分别为 222111 2 )( 2 )(Fwx F xMFwx F xM cc ， 于是得挠曲轴微分方程分别为 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 xk F F wkwxk F F wkw cc ， 式中， EI F k 2 上述微分方程的通解分别为 111111 2 cossinx F F kxBkxAw c 222222 2 cossinx F F kxBkxAw c 位移边界条件为 00 ; 00 2211 wxwx，当，当 由此得 00 21 BB， 位移连续条件为 当 212121 ; ; : 2 ww c F w c F w l xx cc 代入通解后，得 F Fkl kA F Fkl kA c F F lFkl A c F F lFkl A cc cc cc 22 cos 22 cos 42 sin 42 sin 21 2 1 重排后，得 10 0 1 ) 2 cos() 2 cos( 0) 1 4 () 2 (sin0 0) 1 4 (0) 2 (sin 21 2 1 c c c F F A kl kA kl k F cF l A kl F cF l A kl 可见， c FAA和 21, 存在非零解的条件为 0 1 2 cos 2 cos 1 4 2 sin 0 1 4 0 2 sin F kl k kl k cF lkl cF lkl 展开上列行列式，并注意到 2 EIkF，得 0 2 )cos 2 2 ( 2 sin 2 sin 1 2 2 kl c EIkl k klkl EIk 由此得 0 2 )cos 4 1 ( 22 sin 2 sin 2 kl cl EIkklklkl 11-11 图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程： 1 2 21 tantan k k lklk 式中：)/(; )/( 2211 EIFkEIFk。 题 11-11 图 解:该压杆的微弯状态如图 11-11 所示。 图 11-11 弯矩方程为 )()( )()( 2211 wFxMwFxM， 进而可得 (1) (2) (3) 11 kwkwkwkw 2 22 2 22 2 11 2 11 ， 式中， 2 2 2 1 2 1 EI F k EI F k， 以上二微分方程的通解为 xkBxkAw xkBxkAw 2222222 1111111 cossin cossin 位移边界与连续条件为 wlx wwwwxlx wwx 22 212121 111 0 00 0 时，当 ，时，与当 ，时，当 由上述条件依次得 B 1 0 1 A lkB 12 cos (a) lk k k A 1 2 1 2 sin (b) 0cossin 2222 lkBlkA (c) 将式(a)和(b)代入式(c)，于是得 1 2 21 tantan k k lklk 11-13 图示结构， 由横梁 AC 与立柱 BD 组成， 试问当载荷集度 q =20 N/mm 与 q =26 N/mm 时，截面 B 的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量 E = 200 GPa， 比例极限 p =200 MPa。 12 题 11-13 图 解：1.求立柱的临界载荷 给立柱和梁编号分别为1和2，我们有 3 .99 10200 10200 6 9 p p E 0.010mmm10 4 1 1 d A I i p 200 010. 0 00. 21 i l 立柱BD为大柔度杆，其临界载荷为 kN013.62N102013. 6N 64 0.040 00. 2 10200 4 4 2 92 2 1 1 2 cr l EI F 2.计算 cr q 这里的 cr q系指使立柱刚刚到达 cr F时的q值，立柱BD还处在直线平衡状态。B处的变形 协调条件为 1 lwB 引入物理关系 1 1cr 1 2 3 2cr 2 4 2cr 48384 5 EA lF l EI lF EI lq wB， 并代入相关数据及 2322 1 454 2 m102566. 1m040. 0 4 m10500. 2cm2500 AI， 得 N/mm55.25N/m10555. 2 4 cr q 3.计算N/mm20q时的挠度 由于 cr qq，立柱中 crN FF ，直线平衡状态是稳定的。 由变形协调条件 1 lwB 得 1 1N 2 3 2N 2 4 2 48384 5 EA lF EI lF EI ql 代入已知数据后，得 13 kN554.48N108554. 4 4 N F 进而可得截面B的挠度为 mm386. 0m1086. 3 4 1 1N 1 EA lF lwB 4.计算N/mm26q时的挠度 此时 cr qq，立柱处于微弯状态， crN FF ，截面B的挠度由梁变形确定，即 mm797. 0m1097. 7 10500. 21020048 m00. 462013 10500. 210200384 m00. 41060. 25 48384 5 4 59 3 59 44 2 3 2cr 2 4 2 EI lF EI ql wB 11-15 图示矩形截面压杆， 有三种支持方式。 杆长 l = 300 mm， 截面宽度 b =20 mm， 高度 h =12 mm，弹性模量 E = 70 GPa，p=50，0=0，中柔度杆的临界应力公式为 cr=382MPa-(2.18MPa) 试计算它们的临界载荷，并进行比较。 题 11-15 图 (a)解： 494 33 min m1088. 2m 12 012. 0020. 0 12 bh I m103.464m 12 012. 0 12 3 h A I i p 3 2 .173 10464. 3 300. 02 i l 此杆为大柔度杆，其临界载荷为 kN53. 5N1053. 5N )300. 02( 1088. 21070 )2( 3 2 992 2 2 cr l EI F (b)解： 14 p 3 6 .86 10464. 3 300. 01 i l 此杆为大柔度杆，其临界载荷为 kN1 .22N102.21N 300. 0 1088. 21070 4 2 992 2 2 cr l EI F (c)解： 3 .43 10464. 3 300. 05 . 0 3 i l p0 ，为中柔度杆。 MPa6 .287)MPa3 .4318. 2382()MPa18. 2382( cr 于是得 kN0 .69N1090. 6)N012. 0020. 0(106 .287 46 crcr AF 11-18 图示压杆，横截面为 bh 的矩形，试从稳定性方面考虑，h/b 为何值最佳。 当压杆在 x- z 平面内失稳时，可取长度因数7 . 0 y 。 题 11-18 图 解：由 12 12 33 bh I hb I zy ， 和 bhA 得 12 12 h i b A I i z y y ， 从稳定性方面考虑，bh/的最佳值应使 zy 即 h l b l i l i l z z y y12127 . 0 ， 15 由此得 429. 1 7 . 0 1 b h 11-19 试检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量 F =120 kN，丝杠 内径 d = 52 mm，丝杠总长 l = 600 mm，衬套高度 h = 100 mm，稳定安全因数 n st = 4，丝杠用 Q235 钢制成，中柔度杆的临界应力公式为 cr =235MPa - (0.006 69 MPa)2 (123) 题 11-19 图 解：该千斤顶丝杠的 1239 .76 013. 0 500. 02 m013. 0m 4 052. 0 464 m10124. 2m052. 0 4 4 m500. 0)m100. 0600. 0( p 1 4 2322 2 1 i l d A I i d I d A hll ， 它属于中柔度杆，故有 kN7 .103N100371N 4 104 .19510124. 2 MPa4 .1959 .76MPa)00669. 0(MPa235 5 63 st cr st cr st 2 cr . n A n F F F比 st F大 15.7，该千斤顶丝杠稳定性不够。 11-20 图示桁架，承受变向载荷 F 作用，方位角的变化范围为 900。已知 杆 1 与杆 2 的直径分别为 d1=20 mm 与 d2=30 mm，二杆材料相同，屈服应力s = 240 MPa， 比例极限p = 196 MPa， 弹性模量 E = 200 GPa， 强度安全因数 ns = 2.0， 稳定安全因数 nst = 2.5， 试求载荷 F 的许用值。 16 题 11-20 图 解：1. 轴力分析 设杆 1 与杆 2 的轴力均为拉力，则由节点 B 的平衡方程，得 F Fsin3cos 2 N1 (a) F Fcos3sin 2 N2 (b) 由式（a）,并令0/dd N1 F，得 1N F的极值为 FF minN1, （压力） 经分析，在 900范围内， 2N F无极值。 由式（a）与（b）求得，当=0时， FF F F 2 3 2 2N1N ， 当=90时， 22 3 2N1N F FFF， 根据上述分析，得 FF maxcN1, )( (c) 2 )( maxcN2, F F (d) 2 )( maxN2,t F F (e) 2许用载荷计算 杆 1 的柔度为 200 020. 0 000. 1144 1 1 1 1 1 d l i l 而 17 4 .100 10196 10200 6 9 p p E 由于 p1 ，故杆 1 的临界载荷为 kN50.15N10550. 1(N) 64 0.020 000. 1 10200 4 4 2 92 2 1 1 2 cr, 1 l EI F 由式（c）得载荷 F 的相应许用值为 kN 20. 6 5 . 2 kN50.15 st cr, 1 1 n F F 杆 2 的柔度为 p 2 2 2 2 2 231 030. 0 732. 1144 d l i l 临界载荷为 N1062. 2(N) 64 0.030 732. 1 10200 4 4 2 92 2 2 2 2 cr, 2 l EI F 由式（d）得载荷 F 的相应许用值为 kN 9 .20 5 . 2 N1062. 22 2 4 st cr2, 2 n F F 杆 2 的许用轴力为 N1048. 8)N( 24 )10240(.0300 4 4 62 s s 2 2 N2 n d F 由式（e）得载荷 F 的相应许用值为 kN 6 .169N1048. 82 2 4 N23 FF 于是得结构的许用载荷为 kN 206 1 .FF 11-21 横截面如图所示之立柱，由四根 80mm80mm6mm 的角钢所组成，柱长 l = 6m。立柱两端为铰支，承受轴向压力 F = 450kN 作用。立柱用 Q235 钢制成，许用压应力 =160MPa，试确定横截面的边宽 a。 18 题 11-21 图 解：1.查角钢的有关数据 由书中附录F表 1 查得（参看图 11-21） 图 11-21 m0219. 0cm19. 2 m10735. 5cm35.57 m10397. 9cm397. 9 0 474 1 242 1 y I A 2.计算惯性矩及横截面面积 2324 1 46524 42472 011 m10759. 3m10397. 944 m10097. 410232. 8103979 m)0219. 0 2 ()10397. 9(10735. 54) 2 ( 4 AA aa. a y a AIIz (a) 3.计算折减系数 748. 0 1016010759. 3 10450 63 3 A F 4.查值 根据值及所给材料，由图查到79。 5确定边宽a 依据柔度算式IAl/，可得 45 2 423 2 2 m10168. 2 79 m)61 (10759. 3)( lA I (b) 注意到式(b)与式(a)相等，由此得 56524 10168. 2)10097. 410232. 810397. 9( aa 19 化简后成为 010871. 11076. 8 222 aa m 2 2873. 00876. 0 m 2 10871. 14)1076. 8(1076. 8 2222 a 舍去增根，得 mm4187m18740a。 11-23 图示压柱，由两根槽钢焊接而成，在其中点横截面 C 处，开有一直径为 d = 60 mm 的圆孔，立柱用低碳钢 Q275 制成，许用压应力=180 MPa，轴向压力 F = 400 kN。 试选择槽钢型号。 题 11-23 图 解：1第一次试算 设取5 . 0 1 ，得 23 6 3 m10444. 4 Pa)101805 . 0 N10400 （ F A 单根槽钢的横截面面积为 A=2.22210-3m2。从书中附录 F 型钢表中查得16 槽钢横截面的有 关数据为 m1075. 1cm75. 1 m105 . 6mm65,m1034. 8cm4 .83 m1035. 9cm935,m105162. 2cm162.25 2 0 2474 464232 z bI IA y z 由此可得立柱横截面的有关几何量为 m10087. 5m 10032. 5 10302. 1 m10302. 1m101.75)(6.5105162. 21034. 82 m1087. 1m1035. 92 m10032. 5m105162. 22 2 3 5 min 4544237 4546 2323 i II I A zy z 于是有 97.58 10087. 5 65 . 0 2 min i l 79.5MPaPa1095. 7 m10032. 5 N10400 7 23 3 A F 20 从图中查得822. 0 1 ，由此得 148.0MPaPa)10180(822. 0 6 1st 稳定许用应力超过工作应力甚多，故需再算。 2第二次试算 设取 661. 0)822. 05 . 0( 2 1 2 由此可得 23 6 3 m1036. 3 )Pa10180(661. 0 N10400 A 单根槽钢的横截面面积为 23m 1068. 1 A。 从型钢表中查得14a 槽钢横截面的有关数据为 464232 m1064. 5cm564,m108516. 1cm516.18 z IA m105