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随机过程随机过程期末复习期末复习题库题库（2015） 一、填空题一、填空题 1. 对于具有常数均值的二阶矩过程 ， 为宽平稳过程当且仅当二元函 数 只与 有关, 而与 和 无关。 2. 对于具有常数均值的二阶矩过程 ， 为宽平稳过程当且仅当二元函 数 只与 有关, 而与 和 无关。 3. 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 2 . 4. 已知随机变量 的二阶矩存在， 且 的矩母函数为 ， 则 . 5. 已知随机变量 的二阶矩存在，且 的特征函数为 ，则 . 6. 设 是平稳序列，其协方差函数为 ，请给出 的均值具有遍 历性的一个充分条件： 7. 设 是平稳过程，其协方差函数为 ，请给出 的均值具有遍历性 的一个充分条件： 8. 已知平稳过程 的均值 ，协方差函数为 ，则该过程的自相关函数 9. 设 为两个随机事件， ，则 0.6 10. 设 为二随机变量， ，则 2 11. 已知随机变量 的矩母函数为 ，则 服从的分布是 参数为 的 泊松分布 12. 是二维正态分布，即 ， 13. 设随机变量 的数学期望均存在，则 14. 为 随 机 事 件 ， 随 机 变 量 的 数 学 期 望 存 在 ， 则 15. 在强度为 的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均 值为 的同一指数分布. 16. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻， 则 的分布函 数为 . 17. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻， 则 18. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻，则 解解 由定理 3.2.3， 在已知 的条件下，事件发生的 个时刻 的条件联 合分布函数与 个在区间 上相互独立同均匀分布的随机变量 的顺序统计量 的联合分布函数相同故对 ，有 从而， 19. 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件与第 个事件发 生的时间间隔.则 . 解题思路：解题思路：注意到 与 独立，且同服从参数为 的指数分布即得 20. 设 ， 是 速 率 为 的 泊 松 过 程 . 则 对 于 ， . 21. 设 ， 是 速 率 为 的 泊 松 过 程 . 对 于 ， . 解解 对于 ，有 增量 与 独立 22. 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件与第 个事件发 生的时间间隔.则对 ， . 解题思路：解题思路：注意到 与 独立，且同服从参数为 的指数分布即得 23. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件与第 个事件发 生的时间间隔，则 . 24. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻，则 . 25. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻， 则 服从 参 数为 和 的 分布. 26. 非齐次泊松过程 ，其强度函数为 ，则 . 解解 对于 ，有 27. 设 是一个强度函数为 的非齐次泊松过程， 为过程均值函数的反 函数，则随机过程 是一个强度为 1 的泊松过程 28. 事件 的发生形成强度为 的泊松过程 ，如果每次事件发生时能够以概率 被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立如以 表示到 时刻 被记录下来的事件总数，则 是一个强度为 的泊松过程 29. 事件 的发生形成强度为 的泊松过程 ，如果每次事件发生时能够以概率 被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立如以 表示到 时刻 被记录下来的事件总数，则 的均值函数 30. 事件 的发生形成强度为 的泊松过程 ，设事件 在 时刻发生被记录到的概 率是 ，若以 表示到 时刻记录的事件数，则计数过程 是 非时齐的 泊 松 过 程 ， 的 分 布 ， 31. 设 是一个速率为 的泊松过程， 并且假设在时间 发生的一个事件独立于 前发生的事件，并以概率 计数以 记直到时间 为止被计数的事件个数，则 计数过程 是一个强度函数为 的非时齐的泊松过程 32. 设 是一个速率为 的泊松过程， 并且假设在时间 发生的一个事件独立于 前发生的事件，并以概率 计数以 记直到时间 为止被计数的事件个数，则 计数过程 的均值函数 33. 设 和 是独立的泊松过程，分别具有强度 和 ，则 是具有强度 的泊松过程. 34. 设 和 是独立的泊松过程，分别具有强度 和 如果过程 在时间 发生一个事件，则这个在时间 发生的事件以概率 来自 过程 35. 设 和 是独立的非时齐的泊松过程， 分别具有强度函数 和 ，则 是具有强度函数 的非时齐泊松过程. 36. 设 和 是独立的非时齐的泊松过程， 分别具有强度函数 和 如果过程 在时间 发生一个事件，则这个在时间 发生的 事件以概率 来自 过程 37. 保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程 ，每次要求赔付的金额 都相 互独立，且有相同分布 ，每次的索赔数额与它发生的时刻无关， 表示 时间内保 险公司需要赔付的总金额，则随机过程 是一个复合泊松过程 38. 在保险的索赔模型中， 设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司 每 次赔付服从均值为 10000 元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额是 240000 元 解题思路：解题思路：索赔次数为一速率为 （次 月）泊松过程 ，每次的赔付金额 ,总索赔金额为一复合泊松过程 ，故一年中保险公司的平均 赔付额为 39. 设顾客以每分钟 6 人的平均速率进入某商场，这一过程可以用泊松过程来描述又设 表示进入该商场的第 位顾客在该商场所花费的金额 （单位： 元） ， 且有 ， 且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关则该商场一天（12 小 时）的平均营业额为 432000 元 解题思路：解题思路：到达顾客数为一速率为 （人 小时）泊松过程 ， 每个顾客的消费金额 ,商场营业金额为一复合泊松过程 ，故该 商场一天（12 小时）的平均营业额为 40. 假设家庭以每星期 的泊松速率移民到一个地区如果每个家庭的人数是独立的， 而且分别以概率 取值 1，2，3，4，那么在固定的 5 个星期中移民到这个地区的 平均人数为 25 解题思路：解题思路：移民家庭数为一速率为 （户 星期）泊松过程 ，每个家庭的 平均人数为 移民人数为一复合泊松过程 ，故在固定的 5 个星期中移民到这个地区的平均 人数为 41. 设 是复合泊松过程， 存在，则 42. 设 是复合泊松过程， ，则 43. 在任意给定的一天，加里的心情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是一般的(so-so， S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率 0.5，0.4， 0.1 是 C， S， G 如果今天他感觉一般， 则明天他分别以概率 0.3， 0.4， 0.3 为 C， S， G 如 果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率 0.2，0.3，0.5 为 C，S，G 以 记加里在 第 天的心情，则马尔可夫链 的状态空间 ， ， ，一步转 移概率矩阵 . . 44. 假设明天下雨的机会只依赖于前一天的天气条件， 即今天是否下雨， 而不依赖过去的天 气条件再假设如果今天下雨，那么明天下雨的概率为 ；如果今天没有下雨，那么明 天下雨的概率为 以 记第 天的天气情况，则马尔可夫链 的状态空间 下雨，不下雨 ，一步转移概率矩阵 . 45. 的概率解释是：为从 出发经 步首次到达 的概率. 46. 的概率解释是：从 出发，经有限步首次到达 的概率. 47. 设系统有三种可能状态 . “1” 表示系统运行良好， “2” 表示运行正常， “3” 表示系统失效. 以 表示系统在时刻 的状态，并设 是一马尔可夫链. 在 没有维修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为 则系统初始处于运行良好状态，在 内运行的概率为 . 解题思路：解题思路：系统初始处于运行良好状态，在时刻 1 失效的概率为： 系统初始处于运行良好状态，在时刻 2 失效的概率为： 故系统在 内运行的概率为 48. 设系统有三种可能状态 . “1” 表示系统运行良好， “2” 表示运行正常， “3” 表示系统失效. 以 表示系统在时刻 的状态，并设 是一马尔可夫链. 在 没有维修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为 则系统初始处于运行正常状态，在 内运行的概率为 . 解题思路：解题思路：系统初始处于运行正常状态，在时刻 1 失效的概率为： 系统初始处于运行正常状态，在时刻 2 失效的概率为： 故系统在 内运行的概率为 49. 如果 ，则 0 ；反之亦然. 50. 如果 ，则 0 ；反之亦然. 51. 如果 ，则对 ，有 0 . 52. 状态 是周期的， 且周期为 ， 则对 ， 当 不能被 整除时， 使 0 . 53. 如果状态 是常返的，则 0 . 54. 如果状态 是零常返的，则从 出发再回到 的平均回转时间 . 55. 如果状态 是正常返的，则从 出发再回到 的平均回转时间 . 56. 马尔可夫链 从 出发到达 的平均次数为 . 57. 状态 是常返的充要条件是 . 58. 状态 是非常返的充要条件是 . 59. 为从状态 出发经有限步返回 的概率 如果 ， 则 . 60. 设马氏链的一步转移概率矩阵 ， 步转移概率矩阵 ，二者之间的 关系为 . 61. 设 为马尔可夫链，状态空间 ，初始分布为 ， 的概率分布为 = = ( = ), ， 步转移概率矩阵 ( )= ，三者之 间的关系为 . 二、单选题二、单选题 1.1. 下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（ A ） A. 严平稳过程 B. 宽平稳过程 C. 正态过程 D. 泊松过程 2.2. 设 与 分别是事件 与 是否发生的示性函数，即 若 发生 若 不发生 ， 若 发生 若 不发生 如果 ，则（ C ）是不正确的. A. B. C. D. 解题思路：解题思路：注意到： ， ； ， ， 以及 即 得. 3.3. 设 与 分别是事件 与 是否发生的示性函数，即 若 发生 若 不发生 ， 若 发生 若 不发生 如果 ，则（ C ）是不正确的. A. B. C. D. 4.4. 对于任意两个随机变量 和 ，若 ，则( B ). A、 B、 C、 和 独立 D、 和 不独立 5.5. 已知标准正态分布随机变量的矩母函数为 ，则 的矩母函数 （ A ）. A. B. C. D. 6.6. 已知参数为 的泊松随机变量的矩母函数为 ，设 与 分别是以 和 为参数的独立的泊松随机变量，则 的矩母函数 ( B ). A. B. C. D. 7.7. 已知 是维纳过程，则下面错误的是( B ). A. 是独立增量过程 B. 是平稳过程 C. 是平稳增量过程 D. 是正态过程 8.8. ( A )的有限维分布关于时间是平移不变的. A. 严平稳过程 B. 宽平稳过程 C. 平稳增量过程 D. 独立增量过程 9.9. 设 是泊松过程，下述结论不正确的是（ B ）. A. 是平稳独立增量过程 B. 宽平稳过程 C. 是独立增量过程 D. 二阶矩过程 10.10. 设 是泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻， 则下面正确的是( B ). A. B. C. D. 11.11. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件与第 个事件发 生的时间间隔， 表示第 个事件发生的时刻， ，则下面正确的是 ( B ). 12.12. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件与第 个事件发 生的时间间隔， 表示第 个事件发生的时刻， ，则下面错误的是 ( D ). 解解题思路题思路 注意到在 条件下，对 ，有 且在 条件下， 服从 上的均匀分布，故有 13.13. 设 是强度函数为 的非齐次泊松过程，则下面错误的是 ( D ). 服从参数为 的泊松分布 14.14. 设 是强度函数为 的非齐次泊松过程，则下面错误的是 ( B ). 是独立增量过程； 是平稳增量过程； 是一个泊松随机变量 15.15. 设 和 是独立的非时齐的泊松过程， 分别具有强度函数 和 如果过程 在时间 发生一个事件，则这个在时间 发生的 事件是来自 过程的概率为( A ). 16.16. 设 是复合泊松过程， ，则下面说法错误的 是( B ). A. B. C. D. 17.17. 设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法一定正确的是( D ). A. 所有状态都是遍历状态 B. 所有状态都是非常返状态 C. 所有状态都是正常返状态 D. 没有零常返状态 18.18. 设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法一定正确的是( C ). A. 所有状态都是遍历状态 B. 所有状态都是非常返状态 C. 一定存在常返状态 D. 所有状态都是正常返状态 19.19. 设马尔可夫链的状态 满足 ， 表示从状态 出发再回到状态 的平均回转时间， 若 ，称 为( C ). A. 遍历状态 B. 非常返状态 C. 正常返状态 D. 零常返状态 20.20. 设 Markov 链的状态空间为 ，转移概率矩阵为： 按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类( B ) A. 和 B. ， 和 C. ， 和 D. ， 和 21.21. 设 Markov 链的状态空间为 ，转移概率矩阵为： 则该链的状态分类为( A ) A. 1 和 2 都是遍历状态，3 和 4 是非常返状态； B. 1 和 2 都是遍历状态，3 和 4 是零返状态 ； C. 1 和 2 都是零常返状态，3 和 4 是正常返状态； D. 1 和 2 都是非常返状态，3 和 4 是遍历状态 三、三、判断题判断题 1.1. 设 与 为二随机变量，且 与 独立，则 . ( ) 2.2. 设 与 为二随机变量，且 与 独立，则 . ( ) 3.3. 设 与 为二随机变量，则 关于 的条件期望 是 的函数. ( ) 4.4. 严平稳过程一定是宽平稳过程 ( ) 5.5. 二阶矩存在的严平稳过程一定是宽平稳过程 ( ) 6.6. 平稳增量过程是平稳过程 ( ) 7.7. 宽平稳过程是平稳增量过程 ( ) 8.8. 严平稳过程是平稳增量过程 ( ) 9.9. 设 是平稳序列，其协方差函数为 ，若 ， 则 的均值具有遍历性 ( ) 10.10. 设 是平稳过程，其协方差函数为 ，若 ，则 的均值具有遍历性 ( ) 11.11. 平稳过程的均值具有遍历性 ( ) 12.12. 平稳过程的均值函数和方差函数均为常数 ( ) 13.13. 对于严平稳过程而言，有限维分布关于时间是平移不变的 ( ) 14.14. 平稳独立增量过程的均值函数一定是时间 的线性函数 ( ) 15.15. 随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述 ( ) 16.16. 设 是一计数过程， 表示第 个事件与第 个事件发生的时 间间隔. 如果 是独立且参数同为 的指数随机变量， 则 是强 度为 的泊松过程. ( ) 17.17. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻. 在 的条件下， 的条件分布函数与 个在 上相互独立同均匀分布 的顺序统计量的分布函数相同. ( ) 18.18. 设 是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻. 则在 的条件下， 服从 上的均匀分布. ( ) 19.19. 时齐泊松过程是独立平稳增量过程. ( ) 20.20. 时齐泊松过程是平稳过程. ( ) 21.21. 非时齐泊松过程是独立平稳增量过程. ( ) 22.22. 非时齐泊松过程是独立增量过程. ( ) 23.23. 设 为非齐次泊松过程，则 的分布与 无关. ( ) 24.24. 设 为非齐次泊松过程，则 的分布与 无关. ( ) 25.25. 由时齐泊松过程的时间的抽样可生成一个非时齐的泊松过程. ( ) 26.26. 一个强度函数为有界的非时齐泊松过程可以由一个时齐泊松过程的时间的抽样生 成 ( ) 27.27. 复合泊松过程是独立增量过程. ( ) 28.28. 复合泊松过程是计数过程. ( ) 29.29. 如果 ，则对 ，必有 . ( ) 30.30. 令 为不可约、 非周期 Markov 链的转移概率矩阵， 则必存在 ， 使得当 时 步 转移概率矩阵 的所有元素都非零. ( ) 31.31. 令 为不可约、 非周期、 有限状态Markov链的转移概率矩阵， 则必存在 ， 使得当 时 步转移概率矩阵 的所有元素都大于零. ( ) 32.32. 如果 为零常返状态，且 ，则必有 . ( ) 33.33. 如果 为遍历状态，且 ，则必有 . ( ) 34.34. 如果 为常返状态，且 ，则必有 ( ) 35.35. 为非周期的有限状态 Markov 链的 步转移概率矩阵， 则极限 一定存在，且极限与状态 无关. ( ) 36.36. 为非周期的 Markov 链的 步转移概率矩阵， 则极限 一定存在， 且极限与状态 无关. ( ) 37.37. 为不可约非周期的有限状态 Markov 链的 步转移概率矩阵，则极限 一定存在，且极限与状态 无关. ( ) 38.38. 为有限状态 Markov 链的 步转移概率矩阵， 则极限 一定存在. ( ) 39.39. 为非周期的 Markov 链的 步转移概率矩阵， 则极限 一定存在. ( ) 40.40. 对任何 Markov 链，极限 一定存在. ( ) 41.41. 对任何 Markov 链，极限 一定存在. ( ) 42.42. 马尔可夫链的初始分布是平稳分布，则该马尔可夫过程是严平稳过程. ( ) 43.43. 马尔可夫链是严平稳过程，则该马尔可夫链的初始分布必是平稳分布. ( ) 44.44. 不可约非周期的有限状态 Markov 链一定存在平稳分布. ( ) 45.45. 不可约非周期正常返的 Markov 链一定存在唯一的平稳分布. ( ) 46.46. 如果状态 是零常返的，从 出发再回到 的平均回转时间是有限的. ( ) 47.47. 如果状态 是遍历状态，从 出发再回到 的平均回转时间是有限的. ( ) 48.48. 如果状态 是零常返的，则从 出发访问 的期望次数是有限的. ( ) 49.49. 如果状态 是非常返的，则从 出发访问 的期望次数是有限的. ( ) 50.50. 如果状态 可达状态 ，则状态 具有与状态 相同的状态分类性质. ( ) 51.51. 如果状态 与状态 互通，则状态 与状态 具有相同的状态分类性质. ( ) 52.52. 若状态 是常返的，则必有 ( ) 53.53. 如果 为常返状态，且 ，则 必为常返状态，且 . ( ) 四四、计算题、计算题 1.1. 设随机过程 ，其中 相互独立，同服从 ，试求 的均值函 数和协方差函数. 解 据题意 ，于是 2.2. 设 为维纳过程，试求 的均值函数和协方差函数，并讨论其平稳性 解解 因 为维纳过程，故满足： (1) ； (2) 有平稳独立增量； (3) 对每个 ， 服从正态分布 于是， 的均值函数和协方差函数为 增量独立性 ， 由于协方差函数与 有关，故维纳过程不是宽平稳的 3.3. 设 ， 是参数为 的泊松过程， ，计算 . 解解 4.4. 设 ， 是速率为 的泊松过程. 对于 ，求 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解解 (1) ； (2) (3) (4)首先，在 的条件下， 服从参数为 二项分布. 事实上 故， 5.5. 设 是 一 个 强 度 为 泊 松 过 程 记 . 计 算 . 解解： 的均值函数为： 又， ，有 不妨设 当 时，区间 与 不相交，故由独立增量性， 与 独 立从而 当 时， 6.6. 设 和 是强度分别为 与 的泊松过程，且两个泊 松过程独立试求 (1) 的概率分布； (2) 的数学期望与方差； (3) 在 的任一相邻事件发生的时间间隔内， 有两个事件发生 的概率 解解：(1) 据题意， ， ， ，且 与 独立，于是，由 泊松分布的可加性知， ，其概率分布为 (2) 的数学期望与方差为； (3) 设 表示过程 的第 个事件与第 个事件发生的时间间隔. 表示过程 的第 个事件发生的时刻则在 的任一 相邻事件发生的时间间隔内， 有两个事件发生的概率为 7.7. 事件 的发生形成强度为 的泊松过程 ， 设事件 在 时刻发生被记录到的概率 是 ，且每次事件发生时，对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立若 以 表示到 时刻被记录的事件总数，求 解解 显然， 设 由于每次事件是否被记录是独立的，则在 的条件下， 可 以看作在 次独立试验中有 次成功（被记录）和 次失败（不被记录）的概率，故 其中 是每次试验成功的概率 由定理 3.2.3， 在已知 内发生了 次事件的前提下， 各次事件发生的时刻 （不排序）可看作相互独立的随机变量，且都服从 上的均匀分布因此 事件在 内发生且被记录 事件在 内发生且被记录 事件在 时刻发生 于是有 其中 8.8. 设 Markov 链 的状态空间为 ，初始分布为 ，转移概率矩阵为 (1) 画出状态转移图； (2) 求 ； (3) 求 解解 (1) 状态转移图如下： (2) (3) 因初始分布为 ，于是 的分布为： 所以， 9.9. 设马尔可夫链 的状态空间为 ，转移概率矩阵为 (1) 画出状态转移图； (2) 是否为遍历链？说明理由； (3) 分析说明 的各状态是什么状态？ 解 (1) 状态转移图如下： (2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，而 即状态 4 是非常返状态，故 不是遍历链. (3) 又因 故状态 3 和状态 4 为非常返状态，状态 1 和 2 都是正常返状态，且非周期，从而状态 1 和 2 是遍历状态. 解法二 (2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，而 ，即该链是可约的，故 不是遍历链. (3) 又因 所以，状态 3 和状态 4 为非常返状态再由 ，及该链是有限状态空间的马氏链知，状 态 1 和 2 都是正常返状态，且非周期，从而状态 1 和 2 是遍历状态. 10.10. 设马尔可夫链 ， ， 转移概率矩阵为： (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 . 解 (1) 因 ，故 ，于是 的分布为 所以， (2) 由于 故 而 的分布： 所以， 的分布律为： (3) 由于 从而， 的分布律为： 1 11.11. 设马尔可夫链 ， ， ， 的转移概率矩阵为： （1）求 和 ； （2）该链的平稳分布是否存在？该链的极限分布是否存在？为什么？ （3）求该链各状态的平均返回时间。 解：解：(1) 因 ，故初始分布 ，于是 的分布为： 所以， 由于， 故 从而， 的分布律为： 1.6 （2）因 ， ，故该链为不可约的非周期链，又因该链为有限状 态的马尔可夫链，没有零常返状态，一定存在正常返状态，从而该链为不可约遍历链. 因 此该链存在平稳分布和极限分布，且极限分布是该链唯一的平稳分布。 （3）解方程组： 得该链的平稳分布： ， ， 状态 的平均返回时间分别为： 12.12. 设马尔可夫链 的状态空间为 ，转移概率为 . (1) 画出状态转移图； (2) 是否为遍历链？说明理由； (3) 的平稳分布是否存在？如存在，求其平稳分布. 解解 (1) 该链的状态转移图如下： (2) 是遍历链. 因为 故 ， 所以状态 1 是常返的. 又 ， 所以状态 1 是正常 返状态. 再由 ， 知状态1是非周期的. 从而状态1是遍历状态. 又对其他 ， 有 ，故 为不可约的，从而 也是遍历状态， 为不可约的遍历链. (3) 由于 是不可约的遍历链，因此存在唯一的平稳分布. 设平稳分布为 ，则由 得 于是，平稳分布 五、应用题五、应用题 1.1. 设在 时段内乘客到达某售票处的人数为一强度是 (人/分钟)的泊松过程，试 求： (1) 在 5 分钟内有 7 位乘客到达售票处的概率； (2) 第 3 位乘客在 3 分钟内到达售票处的概率。 (3) 相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔 解 设 为在 内到达的乘客数，则 为强度为 的泊松过程。 (1) 在 5 分钟内有 7 位乘客到达售票处的概率为： (2) 设 为第 3 位乘客的到达时间，则第 3 位乘客在 3 分钟内到达售票处的概率为： (3) 设 表示第 个乘客到达售票处与第 个乘客到达售票处的时间间隔， 则 是独立且参数同为 的指数随机变量故相邻两乘客到达售票处的平均 时间间隔为 分钟 2.2. 某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商 场的人数分别独立地服从每分钟 2 人与每分钟 3 人的泊松过程. (1) 试求到某时刻 时到达商场的总人数的分布； (2) 在已知 时刻已有 50 人到达的条件下，试求其中恰有 30 位女顾客的概率，平均有 多少个女顾客？ 解 (1) 设 分别为 时段内到达商场的总顾客数、 男顾客数和女顾客 数.则 为强度 的泊松过程， 为强度 的泊松过程，故 是强度为 的泊松过程，于是， 的分布为： (2) 在 的条件下，恰有 30 位女顾客的概率为： 一般地，有 故平均有女顾客 人. 3.3. 假定工厂设备每周出现事故次数的期望为 4又假定在每次事故中受伤工人数是具有相 同均值 2 的独立随机变量再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的事故数目相互 独立每周受伤人数的期望是多少？ 解解 以 记每周出现的事故次数，以 记在第 次事故中的受伤人数， ，则 ，且受伤总人数为： 由于 故每周受伤人数的期望是 4.4. 某矿工身陷在有三个门的矿井之中经第 1 个门的通道行进两小时后，他将到达安全 地 经第二个门的通道前进三小时后， 他将回到原地， 经第三个门的通道前进五小时后， 他还是回到原地假定这个矿工每次都等可能地选取任意一个门，问直到他到达安全地 所需时间的期望是多少？ 解解 令 记矿工到达安全地所需的时间，以 记他最初选取的门那么 然而 因此， 所以，他到达安全地所需时间的期望是 小时. 5.5. 某商店顾客的到来服从强度为 4 人每小时的泊松过程，已知商店 9:00 开门，试求： (1) 在开门半小时中，无顾客到来的概率； (2) 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 解 设 为在 ， 内到达商店的顾客人数，则由题意知， ， 为具有参数 的泊松过程。于是， (1) 在开门半小时中，无顾客到来的概率为： (2) 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率为： 6.6. 设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有 180 人，且每个顾客的消费额 相互独立且同服从参数为 的指数分布。求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与 方差。 解 设 为 ， 时段内到达商场的顾客人数，则据题意 ， 为具有参数 的泊松过程。设 为第 个到达顾客的消费额，则 ， 独立同分布，且服从 参数为 的指数分布。 那么，商场在 ， 内的营业额为： 于是， ， 故，一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差为： ， 7.7. 一部 600 页的著作总共有 240 个印刷错误，试利用 Poisson 过程近似求出某连续三页无 错误的概率. 解解 据题意，强度 (个/页). 所求概率为： 8.8. 一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为 6 的一个泊松过程，每为顾客订阅 1 年、2 年、3 年的概率分别为 0.2、0.3、0.5，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一 年，店主即获利 5 元，设 是 时段内，店主从订阅中所获得的总获利。试求 ，即 时段内总获利的平均值。 解解 方法一 设 为订阅杂志的顾客数， 为店主从第 个订阅顾客处的获利， 则 的 分布律为： 5 10 15 0.2 0.3 0.5 由题意 相互独立，且 总获利 ，于是 方法二 设 为订阅杂志的顾客数， 为订阅 年的顾客数，则 相互 独立，且分别是强度为 的泊松过程，满足 于是，有 ，从而 9.9. 设进入中国上空流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个每个流星能以陨石 落于地面的概率为 0.0001试求： (1) 一个月内落入中国地面的平均陨石数； (2) 一个月内落入中国地面的陨石数有两个以上的概率 解解 据题意，设 为 ， 时段内进入中国上空流星的个数，则 ， 是强度 为 (个/年)的泊松过程 又设 为 ， 时段内落入中国地面的陨石数， 由于每个流星能以陨石落于地面的概 率为 ，故 ， 是强度为 (个/年)的泊松过程于是 (1) 一个月内落入中国地面的平均陨石数为： (2) 一个月内落入中国地面的陨石数有两个以上的概率为： 10.10. 某商品六年共 24 个季度销售记录如下表（状态 1畅销，状态 2 滞销） 季节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 销售状态 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 以频率估计概率. 求：(1) 销售状态的初始分布；(2) 三步转移概率矩阵及三步转移后的销 售状态分布. 解：解：(1) 销售状态的初始分布为 ，一步转移概率矩阵为： (2) 三步转移概率矩阵为 三步转移后的销售状态分布 11.11. 一个国家在稳定经济条件下它的出口商品能够用三状态的马尔可夫链描述如下： 状态空 间 ； ：今年比去年增长 ； ：波动低于 ； ：今年比去年 减少 由以往的统计数据求得转移矩阵为 试求每个状态的平均返回时间，并比较在稳定经济条件下增长状态与减少状态的稳态概率. 解：解：易见此马尔可夫链是不可约遍历链，故存在唯一平稳分布，从而 解得 ， ， 这样，平稳分布 ， ， ， ， 于是，各状态的平均返回时间为： ， ， 在稳定经济条件下，增长状态的稳态概率是减少状态的 2 倍. 12.12. 设河流每天的 BOD（生物氧化量）浓度为时齐马尔可夫链，状态空间 是按 BOD 浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）为 若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态. (1) 证明该链为遍历链； (2) 求该链的平稳分布； (3) 河流再次到达污染的平均时间 证明证明 (1) 因 ，故该链为不可约链；又 ，即状态“1”是 非周期的，由不可约性，该链所有状态均为非周期的；又由于该链状态空间为有限，一定存 在正常返状态， 再由不可约性， 所有状态都是正常返的； 由此知， 该链所有状态都是遍历的， 因此该链是不可约的遍历链. (2) 由(1)，该链存在唯一的平稳分布. 解下列方程组： 得平稳分布 ， ， ， (3) 河流再次到达污染的平均时间 天 13.13. 在好天气的年份中，暴风的次数是均值为 1 的泊松随机变量；在坏天气的年份中，暴风 的次数是均值为 3 的泊松随机变量假定任何一年的天气条件仅仅通过其前一年的天气 条件而依赖于过去的年份假设一个好天气年份后，好天气年份和坏天气年份等可能地 出现；而一个坏天气年份后，坏天气年份出现的可能性是好天气年份的 2 倍假设去年 （称为年 0）是好天气年份年 (1)求在接下来的两年（即年 1 和年 2）中暴风总次数的期望值 (2)求年 3 没有暴风的概率 (3)求每年暴风的长程平均次数 解解 设好天气年份为状态 1， 坏天气年份为状态 2， 为年 所处的状态， 则 为 马尔可夫链，初始分布为 ，其一步转移概率矩阵为 设 为年 的暴风次数，则当 时， 是均值为 1 的泊松随机变量；当 时， 是均值为 3 的泊松随机变量.于是， 或由 解得： (1) 年 1 和年 2 中暴风总次数的期望值为 (2) 年 3 没有暴风的概率 (3) 每年暴风的长程平均次数为： 14.14. 设河流每天的 BOD （生物氧化量） 浓度为时齐马尔可夫链， 状态空间 是按 BOD 浓度为低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）为 若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态. (1) 证明该链为不可约的遍历链； (2) 求该链的平稳分布； (3) 河流再次到达污染的平均时间. 证明证明 (1) 因 ，故该链为不可约链；又 ，即状态“1”是非周 期的，由不可约性，该链所有状态均为非周期的；又由于该链状态空间为有限，一定存在正 常返状态，再由不可约性，所有状态都是正常返的；由此知，该链所有状态都是遍历的，因 此该链是不可约的遍历链. (2) 由(1)，该链存在唯一的平稳分布. 解下列方程组： 得平稳分布 ， ， (3) 河流再次到达污染的平均时间 天 15.15. 设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用 1 表示） 、正常（用 2 表示） 、畅销（用 3 表示） 。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这 月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为 （ 表示从销售状态 经过一个月 后转为销售状态 的概率） ，一步转移开率矩阵为： 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 解：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且 ，从而所有状态都是遍历状态，于 是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为 ，求解方程组： 即： 得： 即极限分布为： 由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态 的可能性最小。 六六、证明题、证明题 1. 1. 设 是参数为 的泊松过程， 为第 个事件与第 个事件的时 间间隔. 证明在 的条件下， 服从 上的均匀分布. 证明证明 由于 ，故当 时， . 又因在 的条件下， . 故当 时， . 当 时，有 从而，在 的条件下， 的分布函数为： 的密度函数为 其他 所以，在 的条件下， 服从 上的均匀分布. 2.2. 设 是参数为 的 Poisson 过程， 为第 个事件与第 个事件 的时间间隔，则对 ，有 证明 3.3. 设 是一个强度为 泊松过程，而 是独立于 的一组 独立同分布的随机变量记 证明：(1) 是独立增量过程； (2) 若 ，则 ， . 证明：(1) 令 ，则 于是，由 的独立性、泊松过程的独立增量性及 与 的独立性 知， 相互独立， 此证 是独立增 量过程. (3) 由条件期望的性质知 所以， 因此， . 4.4. 设 和 是独立的泊松过程，分别具有强度 和 ，令 . 证明： (1) 是强度为 的泊松过程； (2) 给定 过程在时间 发生一个事件，于是独立于 前发生的事件，这个在时 间 发生的事件以概率 来自 过程. (3) 不是泊松过程. 证明 (1) 首先，由泊松过程的定义知， 为计数过程，且 . 其次，任取 , 因 相互独立、 相互独立， 而 与 独立， 故 相互独立，即 为独立增量过 程. （也可简要说明之：因 是独立增量过程， 也是独立增量过 程，且 与 独立，故 为独立增量过程.） 再次