《数学参数估计》PPT课件.ppt

根据样本的观测值，对总体分布律或分布密度 的未知参数进行估计的理论和方法称为总体分布 中未知参数的估计，简称为参数估计。 (1)当总体分布的类型已知，分布的具体形式 依赖于某个实数或实数组时，称为总体参 数或参数。 2.3总体分布参数的估计 例子例子: : 1. 总体X B(1, X B(1, p p). ). p是 未知参数, = p:0 p 1 是参数空间. 2. 总体X P(X P( ). ). 是 未知参数, = : 0 是参数空间. 3. 总体X E(X E( ). ). 是 未知参数, = : 0 是参数空间. 4. 总体X N(X N(, 2 2 ). ). (,2) 是 未知参数向量, =(,2) : 0 是参数空间. 2 用矩法求估计量 特别地，当总体的数学期望与方差存在时， 总体数学期望矩估计量就是样本的均值，总体 总体方差的矩估计量就是样本的方差。 一般地，矩法估计就是用k阶样本矩去估计k阶总 体矩。 例 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该天生产的灯泡的平均寿命 及寿命分布的方差. 解 重要结论 3.用极大似然法求估计量 思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球 现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球. 答: 第一箱. 问: 所取的球来自哪一箱？ 例 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值. 解总体 X 的概率分布为 设 x1, x2, xn为总体样本X1, X2, Xn 的样本值, 则 对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图 现经过一次试验， 发生了， 事件 则 p 的取值应使这个事件发生 的概率最大. 在容许范围内选择 p ，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若 某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。 所以为所求 p 的估计值. 一般, 一般步骤： (1) 构造似然函数L()； (2) 对似然函数取对数，即lnL()； (3)以为自变量求lnL()的导数或偏导数； (4)令lnL()的导数或偏导数等于零得到正规 方程或方程组； (5)求出正规方程组的解。 取对数 4.评价估计量优劣的标准 对于同一个未知参数,不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的优劣? 常用 标准 (1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性 (1)无偏性 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等. 定义的合理性 (2)有效性 例 测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规 定尺寸的偏差(微米)如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4. 求零件尺寸偏差总体的均值及方差的无偏估计值 解 有 例 重要结论 结论1 样本均值 是总体均值的一致估计. 结论2 在重复抽样的情形下, 样本方差s2 是总体方差2 的一致估计. 引例 已知 X N ( ,1), 不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求. 的无偏、有效点估计为 随机变量常数 2.3.6未知参数的区间估计(interval estimation) 如引例中，要找一个区间,使其包含 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 取 查表得 这说明 即 称随机区间 为未知参数 的置信度为0.95的置信区间. 反复抽取容量为5的样本,都可得 一个区间,此区间不一定包含未知参数 的真值, 但包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 则得一区间(1.86 0.877, 1.86 + 0.877) 抽样得到的区间中有95%包含 的真值. 算得 时, 区间的长度为 达到最短. 2. 当置信区间为 问题 2.为何要取 ？ 1. 确定后,置信区间是否唯一？与 答复 1. 不唯一. 取 = 0.05 1 区间估计的基本概念 未知参数的区间估计，是要找统计量 (g,h)覆盖未知参数的概率，称为置信概率， (g,h) 称为的双侧1-置信区间， g 称为的双侧1-置信下限， h 称为的双侧1-置信上限， q 反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. q 置信区间的长度 反映了估计精度, 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但 q 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个. 几点说明 越小, 估计精度越高. 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原则 2.一个正态总体均值的置信区间 公式1 公式2 公式3 例 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 即 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 (1) 若 2=0.06, 求 的双侧置信区间及 单侧区间 (2) 若 2未知,求 的双侧置信区间及 单侧区间 (3) 求方差 2的双侧置信区间及 单侧区间 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 置信概率均为0.95 解 (1) 即 由给定数据算得 由公式 (1) 得 的置信区间为 (2) 取查表 由给定数据算得 由公式 (2) 得 的置信区间为 由公式 (3) 得 2 的置信区间为 (3) 选取统计量 查表得 4.两个正态总体均值或方差比的置信区间 公式4 例子例子 为了比较深圳与武汉地区的经济水平的差异,分别 在两地区调查了100人及125人,得到月平均收入为:5400 (元)及2052(元),样本方差分别为2456(元2)及346 (元2),试问 1)两地区经济水平的差异至少能差多少？2）至多能差 多少