大学微积分教案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 13 大学微积分教案 教案 2014 201 学年 教师姓名： 所在系： 讲授课程： 微积分 授课班级： 使用教材：微积分刘贵基著 总学时数： 128学时 山东财经大学 第一章：函数与极限 等函数图象及性质 函数 函数 叫做幂函数。幂函数的定义域，要看 m 是什么数而定。例如，当 m =时， y=定义域是；当 m = 1/2 时， y= 的定义域是 0,+ )；当 m = 时， y= 的定义域是。但不论 m 取什么值，幂函数在内总有定义。 1指数函数 函数 y=的定义域是区间。 因为对于任何实数值 x，总有 0，又 ，所以指数函数的图形，总在 x 轴的上方，且通过点。 若 a1，指数函数 单调增加的。若 0 指数函数 y=反函数，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 13 记作 y=做对数函数。 它的定义域是区间。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线 y = x 对称。 y=y 轴上方，且通过点。 若 a1，对数函数 开区间内函数值为负，而在区间内函数值为正。 若 0 正弦函数和余弦函数都是以 2为周期的周期函数，它们的定义域都是区间，值域都是必区间 。 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以为周期的周期函数，它们都是奇函数。反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的 单值支。 例如，把 -， 上，称为反正弦函数的主值，并记作 。 这样，函数 y = 是定义在闭区间 1上的单值函数，且有 设 是一个数列， a 是实数，如果对于任意给定的 的极限，或者称数列 ，总存在一个正整数 N，当 nN 时都有 ， a 即为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 13 的极限。 ， 我们就称 a 是数列 收敛，且收敛于 a，记为 数列极限的 几何解释：以 a 为极限就是对任意给定的开区间部落在这个区间内。 设函数 f 在定存在的极限，记作有 。例如：点附近有定义，设 A 为一个定数，如果对任意各定 时，总有 ，我们就称 A 是函数 f 在 ，一点 点极限存在，这里我们不要求 f 在点有定义，所以才 ，当 x=1 时，函数是没有定义的，但在 x=1 点函数的极限存在，为 2。 单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列满足条件 ，就称数列 是单调增加的；反之则称为是单调减少的。 在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。 对这一精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 13 准则的直观说明是，对应与单调数列的点限趋近某一定点；或者 只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者 无 沿数轴移向无穷远。但现在 数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。 从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列可知这个数列极限存在，通常用字母 e 来表示它，即 时，函数 ，易证它是单调增加且有界，故。可以证明，当 x 取实数而趋于 或 的极限存在且都等于 e，这个 e 是无理数，它的值是 e = 我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西极限存 在准则 数列 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 13 收敛的充分必要条件是： 。 对于任意给定的正数，存在着这样的正整数 N，使得当mN， n有必要性的证明 设 ，若任意给定正数，则 也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数 N， 。 当 n；同样，当 m有 因此，当 mN， n 所以条件是必要的。充分性的证明从略。 这准则的几何意义表示，数列 号码的点 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ，在数轴上一切具有足够大 ，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。 义：若函数 f 在 的附近包括 本身有定义，并且 ， 则称 f 在 f 的连续点。 f 在 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 13 初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。 第一类不连续点： f, 第 二类不连续点： f, 第三类不连续点： f,它不等于 f 或 f在 义：对时总有 ，可找到只与有关而与 x 无关的 ，就称 f 在区间内一致连续。 ，使得对区间内任意两点 x1, 连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。 连续函数对于某一点 取决于 一致连续函数的 只取决于，与 x 值无关。 一致连续的函数必定连续。 例：函数 y = 1/x，当 x时非一致连续，当 x时一致连续 康托定理：闭区间 a , b上的连续函数 f 一定在 a , b上一致连续。 第二章：导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 13 则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 导数的概念 数的定义：设函数 y=自变量 x 在 x 时， 相应地函数 则称函数即 在 取得增量 ；如果在点 与 之比当 时的极限存在， , 处可导，并称这个极限为函数 ,也可记作 处的导数，记为 。 和 导数的定义式也可取不同的形式 ,常见的有 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。 求导举例 例 求函数解 把以上结果中的换成得更一般地 ,对于幂函数例 求函数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 13 的导数 ,有 用定义，基本积 分公式及直接积分法求积分，回忆复合函数求导法，以求 ?出换元积分法。 求函数 f 的不定积分的方法 : 1、定义法：利用定义 : F?=f?+C,求函数 f 的不定积分 . 2、基本积分表法：利用基本积分表中的 9 个基本积分公式和不定 积 分的两个性 质 : ?f+g ?k?用基本积分表与积分的性质 ,所能计算的不定积分是非常有限的 有必要进一步来研究不定积分的求法 . 求函数 f 不定积分的实际过程中，我 们不难发现，如果被积函数 f 结构比较复杂时，我们很难用定义求出函数 如，对函数 f?1?x?1, 不能直接用公式求。 2 第 页 ， 共 1 页 概括：由于基本积分表法求函数 f 的不定积分，需要利用基本积分表中的公式，而基本积分表中的公式只有 9 个，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 13 这样能求不定积分的被积函数的种类和数量都太少，大量存在不定积分的被积函数。 复合函数的求导法是怎样的？换元积分法是把复合函数求导法则逆过来进行，通过适当的变量替换，把某些不定积分化成基本积分表中所列 函数的形式再计算出最终结果。 例如，对于不定积分 ?可以直接用基本公式 ?c 来计算，其原因是被积函数 复合函数， y?u?2x，假如我们以 u 为积分变量，则 出 11du?，于是 ?22?而在上一节中的基本积分公式表中的每一个公式，当以其他变量替代 x 时仍然是成立的，即有 ?c 因此有 11c?c 注 意到在求解中我们是将积分 ?22 积分 ?x?来进行的，而后一个积分是以 2x 为积分变量的，故可视 u?2x，利用积分公式求出结果。那么如何将后一个积分与前一个积分相联系呢？这正是解题的关键。实际上，我们是采取了改变积分变量的方法求积分，即1?2dx?d?2x?22，而在 面乘一个 2 是为了将 为 d?2x?“凑”上去的， 1 式子中的添加的因子 2 是完全是为了前后两个积分的相等。这种积分方法称为第一换元积分法，也称凑微分法。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 13 二、进行新课 交代本节任务是完成不定积分的求法，而要运用换元法作为手段，作示范 定理 ? 设 dx?f?u?u?c ?x?x?x?c?则有 其中 ?x?是可微函数。 证 只需证明式右端函数的导数等于左端的被积函数。 ?F?x?c?F?u?x?f?x?x? ?u?x 记，且有 因此有式成立。 第一换元积分的思想是：在不定积分 ?f?x?，若F?x?可以 变形为 ?x?x?，而函数 f1?u?的原函数 F?u?又比较容易得出，那可以用 u?x?对原式作换元，这时相应地有 ?x?是有 ?f?x?f?x?x?f?x?d?x? 换元 ?f?u?积分 F?x?c 注意：将 f?x?可以变形为 ?x?x?是学习中的一个难点，其困难之处是经常要“凑”上 ?x?，实际上，对于换元积分法的掌握基于我们对积分公式的熟悉，以及对复合函 数分解的熟练，同时要会将微分公式反过来用。积分精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 13 基本公式是积分计算的最终依据 , 在积分计算时 , 必须将积分号中的被积表达式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致 , 方可利用公式求出积分。 掌握积分的换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 利用换元法时，要把被积表达式分解出 种方法也称为凑微分法 例题讲解 第 页 ， 共 1 页 ，并凑成微分 ,因此这 “与公式相比较换元” 例 1 求 ?1 2x?1题：请同学们观察不定积分 ?1 2x?1结构形式，它与基本积分公式表中的 哪个公式类似 ? 观察被积函数是一个复合函数，最外面一层是幂函数，可想到基本公式表中 ?u?1?c?1 这个公式。 ?1 2 解被积函数可以写成 ?2x?1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 13 ?u?若令 u?2x?1，可以利用积分公式 1u?1?c?1对变量 u 求解。 是令 u?2x?1，则 ?1 2x?1u?1 2112u2?c?2x?1?意：在微分中我们已经习惯了 dy?y?在积分计算