高中数学 （学习目标+合作探究+反思感悟）12+应用举例+学案（pdf）新人教A版必修5.pdf

新新学案高中数学必修%“ 人教实验&版# (! 学 习 札记 ! ! “应 应用用举举例例 学习目标 !会运用正弦定理“ 余弦定理解决测量问题! 如测量一 个可到达点与不可到达点的距离“ 两个不可到达点的距离“ 底部或顶部不可到达的物体的高度“ 航海问题等! “!会根据实际情况的限制设计合理的测量方案! 体会数 学建模的基本思想! #!运用正“ 余弦定理解决几何中的最值问题! 四边形中 的问题及三角形角平分线“ 中线等问题! $!能够从学习中培养阅读理解能力! 能根据实际问题作 出示意图将其转化为数学问题! 培养分析问题“ 解决问题的 能力! 第一课时 情境创设 在航海“ 航空和日常生活中! 少不了比较距离的远近 或距离大小的测量等问题! 如测量一条河两岸上两点之间 的距离! 或者在河的一侧测量另一侧两点之间的距离! 或 者在航行的轮船上测量海上两个岛屿之间的距离等! 这些 距离不可能拿皮尺来直接测量! 那么这些距离应该怎样测 量呢( 合作探究 探究一!测量河两侧两点的距离 图!“! 在本章第一节! 我们曾提到在建 桥之初测量江阴大桥的长度问题! 下 面我们就来探究这个问题是如何解决 的!如图!“!所示!(“)两点在河的 两岸! 是桥的两个端点! 测量者在(的 同侧! 要测出( )的距离! 应该怎样设 计测量方案! 议一议! 在(所在的岸边选定一点*! 测出( *的距离 4$ 由于(“*在河岸的同侧! 这是可以做到的% ! 再借助仪器 测出“( * )&%!“* ( )&! 则可求出( )的距离! 探究! 在( ) *中! 已知两角及一边! 运用正弦定理可 以求出( )的长! + “( ) *&! ( & - .$“( * )$“* ( )% &! ( & - .$%$&% ! 由正弦定理得 ( * . / , “( ) *& ( ) . / , “( * )! 即 4 . / ,-! ( & - .$%$&% . & ( ) . / ,%! -( )& 4. / ,% . / ,$%$&% ! 显然! 把测量的数值代入上式即得到了要建造的大桥 长度! 例!如图!“! 为了测量河的宽! 在岸边选取两点( 图!“ 和)! 望对岸的标识物*! 测得 “* ( )&$ ) -!“* ) (& ) -!( ) &! “ & ! 求 河 的 宽!$ 精 确 到 &! & !% 分 析(“ )“*都在河岸上! 要求的河宽就是点*到( )的 距离! 或者说是( ) *的( )边 上的高! 根据图!“及已知条件! 可求出高的值! 图!“# 跟踪练习! !如图!“#! 沿河 岸( *测量河的宽度! 测量下列四 组数据! 较适宜的是$!% 56#与%“ &!76 与&“% 86与%“#96%与%“ & 跟踪练习! “ !某人朝正北方向走 了 槡 “ #? 后! 向右转! “ & -! 然后朝 新方向走了4? ! 结果他离出发点恰好为#? ! 那么4的值 为$!% 槡 56#!槡76 “ #!槡 86 “ #或槡#!96 # 探究二!测量河对岸两点的距离 图!“$ 如图!“$所示!(“)两点在河 的同一侧! 测量者在河的另一侧! 请设 计一种测量方案测出( )的距离! 议一议! 在河岸上选取相距为# 的 两 点*“,!并 测 出“) * (&%! “( * ,&!“* , )&!“) ,(&(! 则可求出( )的距离! 探究! 在(, *和) , *中! 应用正弦定理得( *& #. / ,$.(% . / ,-! ( & - .$ &$.(% . & #. / ,$.(% . / ,$ &$.(% ! ) *& #. / , . / ,-! ( & - .$ &$.% . & #. / , . / ,$ &$.% ! 计算出( *和) *后! 再在( ) *中应用余弦定理计算 出( )两点间的距离 ( )&( * “$) *“.“ ( *+) *0 1 .槡% * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *! 解三角形第一章 )! 学!习 札记! 温馨提示! 解决实际测量问题时! 要充分理解题意! 正确 画出图形! 把实际问题里的条件和所求转化为三角形中的已 知和未知的边“ 角! 通过建立数学模型来求解! 例“!某观测站*在目标(的南偏西“ ) -方向! 从(出 发有一 条 南 偏东# ) -走向的公路! 在*处测得与*相 距 # !? 的公路上 的)处 有 一 人 正 沿 此 公 路 向(走 去! 走 “ &? 后到达,! 此时测得* ,的距离为“ !? ! 求此人在, 处距(还有多远( 北 图!“) 分 析 题目中南偏西“ ) -与南偏东 # ) -是 方 位 角! 如 图!“)所 示! 在 ) * ,中! 三边长均为已知! 由余弦 定理可求出0 1 .)! 进而可求出. / ,)! 在( ) *中! 用正弦定理可求出( * 的长! 进而求出(,的长! 跟踪练习!#!海上有(“)两个小岛相距! &海里! 从( 岛望*岛和)岛成4 & -的视角! 从)岛望*岛和(岛成 ) - 的视角! 则)“*间的距离是$!% 槡 56 ! & #海里76 槡 ! & 4 # 海里 槡 86 ) “海里 槡 96 ) 4海里 跟踪练习!$!某船在海面(处测得灯塔*与(相距 槡 ! & #海里! 且 在 北 偏 东# & -方 向& 测 得 灯 塔)与(相 距 槡 ! ) 4海里! 且在北偏西 ) -方向!船由(处向正北方向航行 到,处! 测得灯塔)在南偏西4 & -方向! 这时灯塔*与,相 距多少海里( 反思感悟 解有关三角形的实际问题的一般步骤# ! ! 理解题意! 分清已知与未知! 画出示意图& “! ! 根据已知条件与求解目标! 把已知量 与求解量尽量集中在有关的三角形中! 建立一个解三角形的 数学模型& #! ! 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形! 求得数学模型的解& $! ! 检验上述所求的解是否符合实际意义! 从 而得出实际问题的解! 第二课时 情境创设 现实生活中! 人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高 度的呢( 又是怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶 的高度的呢( 今天! 我们就来共同探讨这方面的问题! 合作探究 探究一!测量底部不可到达的建筑物的高度 议一议! 由于山的底部是不可到达的! 所以不能直接测 量出山的高度! 因此! 我们需构造三角形! 借助三角形的知识 测出山 的 高 度! 为 此 我 们 选 择 一 条 水 平 基 线* ,$ 如 图 !“4% ! 使* ,与山的底部)在同一条直线上!在*“,两点 用测角仪器测得山顶(的仰角分别为%“ &! * ,&#! 那么在 ( * ,中! 根据正弦定理可得 ( *& #. / ,& . / ,$%.&% !( )&( *. / ,%&# . / ,%. / ,& . / ,$%.&%! 图!“4 图!“ !如果基线* ,与山的底部)不在同一条直线上! 又该怎 样测量山的高度呢( $ 如图!“% 议一议! 如图!“! 只要测出“) * 6&%!“( * )&! “) , *&!* ,&#! 就能计算出山的高度( )! 在) * ,中!“* ) ,&%.! 由正弦定理得 * , . / , “* ) ,& ) * . / , “) , *! -) *&* , . / , “) , * . / , “* ) , & #. / , . / ,$%.% ! 在: *( ) *中! ( )&) *+* + ,&# . / ,* + ,& . / ,$%.% * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! 新新学案高中数学必修%“ 人教实验&版# ! *! 学 习 札记 探究二!在飞机上测量山顶的海拔 图!“( 例!如图!“(所示! 飞机的航线和山顶在同一个 铅垂面内! 若飞机的高度为“ & “ ) &! 速度为!& & &? /! 飞 行员 先 看 到 山 顶 的 俯 角 为 ! ( - # &1! 经 过! ) &.后 又 看 到 山顶的俯角为( ! -! 求山顶的 海拔!$ 精确到!% 分 析 如图!“(! 由已知条件! 可以计算出飞机飞行的 距离( )! 在( ) *中! 已知“) ( *! 可求得“( ) *! 故可用 正弦定理求出) *! 进而可求得飞机距山顶*的垂直距离! 再利用飞机的高度减去飞机距离山顶*的垂直距离! 即得 山顶的海拔! 跟踪练习! !在一幢“ &高的楼顶测得对面一塔顶的 仰角为4 & -! 塔基的俯角为$ ) -! 那么这座塔的高是$!% 56 “ &!3槡 # $% # 76 “ &$ 槡 !3 #% 86 ! &$槡4$槡“%96 “ &$槡4$槡“% 跟踪练习! “ !甲“ 乙两塔相距4 &! 从甲塔塔底望乙塔塔 顶的仰角为$ ) -! 从甲塔塔顶望乙塔塔底的俯角为# & -! 则 甲“ 乙两塔的高度分别为! 图!“% 例“!如 图!“%! 在山顶铁塔上)处测得 地面上一点(的俯角%& ) $ - $ &1! 在塔底*处测得( 处的俯角&) & - ! 1! 已知铁 塔) *部分的高为“ ! #! 求山高* ,!$ 精确到!% 分 析 根 据 已 知 条 件! 可以求出( )的长! 再求) ,的长! 进而求出山高* ,! 跟踪练习! #!空中有一气球,! 在它正西方向的地面上 有一点(! 在此处测得气球的仰角为$ ) -! 同时在气球的南偏 东4 & -方向的地面上有一点)! 测得气球的仰角为# & -! 两观 察点(“ )相距“ 4 4米! 计算气球的高度! 反思感悟 !利用正“ 余弦定理解应用题的一般思路和步骤是# $!% 读懂题意! 理解问题的实际背景! 明确已知和所求! 理清各量之间的关系& $“% 依题意画出示意图! 将!转化为数学模型& $#% 选择正弦定理或余弦定理来求解& $ $% 将!还原为实际问题! 确定解是否为所要求问 题的解! 并注意实际问题中的单位和近似计算的要求等! “!解题时要搞清有关术语的准确含义! 并用数学语言来 表示! 注意分清仰角“ 俯角“ 视角“ 方位角和经纬度等概念! 第三课时 情境创设 前面我们学习了如何测量距离和高度! 这些实际上都可 转化为已知三角形中的一些边和角求其余边和角的问题!然 而! 在实际的航海生活中! 人们又会遇到新的问题! 在浩瀚无 垠的海面上如何确保轮船不迷失方向! 保持一定的航速和航 向呢( 今天! 我们接着探讨这方面的测量问题! 合作探究 探究一!利用正$ 余弦定理确定航向 图!“! & 例!如图!“! &! 在海岸 (处! 发现北偏东$ ) -方向距( 为$ 槡#.!%, / a b的)处有一艘 走私船!在(处北偏西 ) -方向! 距(为“, / a b的*处我方缉私 艇奉 命 以 槡 ! & #, / a b/的 速 度 追截走 私 船! 此 时 走 私 船 正 以 ! &, / a b/的速度! 从)处向北偏东# & -方向逃窜! 问# 缉私 艇沿什么方向行驶! 才能在最短的时间内追上走私船( 并求 出所需时间 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! 解三角形第一章 ! ! 学!习 札记! 分 析 若缉私艇在,处追上走私船! 则在以(“)“,“* 为顶点的四边形( ) , *中! 两边已知! 另两边的比值为槡 #! 连结) *! 分析角的情况! 可知“) * ,和“* ) ,!在) * , 中! 求“) * ,! 即知追截方向! 在( ) *中! 可求) *! 再在 ) * ,中求) ,或* ,! 从而求得相应的时间7! 跟踪练习! !甲船在(处观测到乙船在它的北偏东4 & - 方向的)处! 两船相距#海里! 乙船向正北行驶! 若甲船速 度是乙船速度的槡 #倍! 问甲船应沿什么方向前进才能在最 短的时间内追上乙船! 此时乙船行驶了多少海里( 探究二!求航行时间或速度 例“!已知(“)两点的距离为! & &海里!)在(的北 偏东# & -方向! 甲船从(点以) &海里/时的速度向)点航 行! 同时乙船从)点以# &海里/时的速度沿南偏东# & -方向 航行! 问航行多长时间! 两船之间的距离最短( 分 析 由于随着时间的变化! 甲“ 乙两船之间的距离是变 化的! 只要构造出距离与时间的函数关系就可以用函数的知 识解决! 因此在) * ,中! 运用余弦定理建立距离* ,与时 间4的函数关系式是解决问题的关键! 跟踪 练 习!“!甲 船 在 岛)的 正 南 方 向(处!( )& ! &? ! 甲船以$? /的速度向正北方向航行! 同时乙船自 )出发以4? /的速度向北偏东4 & -的方向驶去! 当甲“ 乙 两船相距最近时! 它们所航行的时间是$!% 56 ! ) & / ,76 ! ) 86 “ ! ) / ,96 “! ! ) 例#!在一很大的湖岸边$ 可视湖岸为直线% 停放着一 只小船! 由于缆绳突然断开! 小船被风刮跑! 其方向与湖岸成 ! ) -角! 速度为“! )? /! 同时岸上有一人! 从同一地点开始 追赶小船! 已知他在岸上跑的速度为$? /! 在水中游的速 度为“? /! 问此人能否追上小船! 若小船速度改变! 则小 船能被人追上的最大速度是多少( 分 析 由于人在水中游的速度小于船的速度! 人只有先 沿岸跑一段路程后再游泳追赶船! 这样才有可能追上! 所以 本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题!只有当人沿 岸跑的轨迹和人游泳的轨迹以及船在水中行驶的轨迹三者 组成一个封闭的三角形时! 人才能追上小船! 我们可以假设 船速为8% 未知& ! 人在岸上跑的速度和水中游的速度为题目 所给的常数! 因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的 时间之和等于船在水中行驶所用的时间! 所以当8/$? ) 时! 人是不可能追上小船的! 当&383“? )时! 人不必在 岸上跑! 而立即从同一地点直接下水就可以追上小船! 因此! 只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度8 + c!再 与现有船速进行比较! 即可判断人能否追上小船! 跟踪练习! #!在某海滨城市附近的海面上有台风! 据监 测! 当前台风中心位于城市/的东偏南)角 0 1 .)&槡 “ $% ! & 方 向# & &? 处! 并以“ &? /的速度向西北方向移动! 台风侵 袭的半径为4 &? ! 并以! &? /的速度不断增大! 问几小时 后该城市开始受到台风的侵袭 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ( 新新学案高中数学必修%“ 人教实验&版# ! “! 学 习 札记 反思感悟 !对于三角形中边或角的最大值及最小值问题可以运 用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的边或角之 间的函数关系! 利用正“ 余弦函数的!或二次函数的 知识解决问题! “!对于有些与角度有关的实际问题! 我们无法直接测量 其角度! 则需要在实际问题中构造! 通过解三 角形求出相关的角度! 第四课时 情境创设 前面我们学习了如何测量距离“ 高度“ 角度等! 这些实 际问题都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边或 角的问题! 这节课我们用正“ 余弦定理来解决有关物理问 题和几何问题! 合作探究 探究一!用正$ 余弦定理解决物理问题 图!“! ! 例!作用在同一点的三个力%!“%“%# 平衡! 已知+%!+&# &d! +%“+&) &d!%!与%“之 间的夹角为4 & -! 求%#的大小与方向!$ 精确到 &! ! -% 分 析 由图!“! ! 根据余弦定理可求出 / 9! 再根据正弦定理求出%!%#的夹角! 图!“! “ 跟踪练习!如图!“! “! 支座 (受 两 个 力 的 作 用! 已 知+%!+& $ &d! 与水平线成)角!+%“+& &d! 沿水平方向! 两个力的合力+%+&! & & d! 求 角)及 合 力%与 水 平 线 的 夹 角&! 探究二!利用正$ 余弦定理解决几何问题 图!“! # 例“!如图!“! #! 在四边形( ) “ * ,中! 已知(,4* ,!(,&! &!( )& ! $!“) ,(&4 & -!“) * ,&! # ) -! 求) * 的长! 分 析 在( ) ,中运用余弦定理 可求出) ,! 在) * ,中应用正弦定理 求出) *! 跟踪练习! “!等腰三角形的底边长为#! 腰长为“#! 则腰 上的中线长等于! 图!“! $ 例# !如图!“! $! 半圆/的直径 为“! (为直径延长线上的一点!/ (& “!)为半圆上任意一点! 以( )为一边 作等边三角形( ) *! 问点)在什么位 置时! 四边形/ ( * )的面积最大( 分 析 四边形的面积由点)的位 置唯一确定! 而点)由“( / )唯一确定! 因此可设“( / )&%! 再用%的三角函数来表示四边形/ ( * )的面积! 跟踪练习! #!在( ) *中!+( ) ) ) *+&#!+( ) ) * (+&)!+( ) ) ( )+& ! 则( ) ) * )+( ) ) * (&! 探究三!有关三角形中的最值问题 想一想! 在( ) *中! 三边分别为#! %!且# “.#.“ % .“&!#$“%.“$#e&! 试求这个三角形的最大内角! 解! 因为#$“%.“$#e&! # “.#.“ %.“&! 所以# “.#.“ %.$#$“%$#%&! 所以%&! $ $ # “.“ #.#%& ! $ $ #$!% $#.#% ! 所以&! $ $ # “$#% ! 因为%-&! #-&! 所以# “.“ #.#-&! 所以#-#! %.&. ! “ $ #$#%.&! 所以%. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! 解三角形第一章 ! #! 学!习 札记! 又.#&! $ $ # “.$ #$#%& ! $ $ #.#% $#.!%-&! 所以-#! 故是( ) *中的最大边! 在( ) *中! 由余弦定理得 0 1 .*& # “$ % “. “ “# % & # “$ %$% $%.% “# % & . ! $#$ #.#% $#$!% ! “#$ #.#% $#$!% &. ! “ ! 所以*&! “ & -! 即( ) *的最大内角为! “ & - ! 提升总结! 在解三角形的时候! 要注意把平面几何中的 性质“ 定理与正“ 余弦定理结合起来! 能够发现题目中的隐含 条件! 才能顺利地解决问题! 反思感悟 ! !定理是解三角形的有力工具! 要区别两个定 理的不同