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2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页1 2017 年福建省中考数学试卷 满分：150 分 版本：人教（北师，华师大） 由宁德屏南张小锋宁德屏南张小锋，福安郑惠福安郑惠，福鼎雷少华福鼎雷少华，方光德方光德，金良快共五位老师解析金良快共五位老师解析. 一、选择题（每小题 4 分，共 10 小题，合计 40 分） 1、 (2017 福建，题号 1，分值 4) -3 的相反数是（） A.-3B. 1 3 C. 1 3 D.3 【分析】直接根据相反数 的定义进 行解答即可 【答案】D解：-3 的相反数 是：3，故选 D 【关键词】【关键词】相反数 2.（2017 福建，题号 2，分值 4）如图，由四个正方体组成的几何题的左视图是 (A)(B)(C)(D) 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【答案】A解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层左边有一个正方形，故选 A 【关键词】【关键词】三视图 3.（2017 福建，题号 3，分值 4）用科学记数法表示 136 000，其结果是（） A. 6 0.136 10B. 5 1.36 10C. 3 136 10D. 6 1.36 10 【分析】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中110a，n为整数确定n的 值时， 要看把原数变成a时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数 【答案】B解： 5 1360001.36 10，故选：B 【关键词】【关键词】科学记数法 4.（2017 福建，题号 4，分值 4）化简 2 2x的结果是（） A. 4 xB. 2 2xC. 2 4xD.4x 【分析】根据积的乘方等于乘方的积求出式子的值，再判断即可 【答案】C解： 2 2 24xx，故选 C 【关键词】【关键词】积的乘方运算 5.（2017 福建，题号 5，分值 4）下列关于图形对称性的命题，正确的是（） A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页2 C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 【分析】 掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键 依据轴对称图形的定义和 中心对称图形的定义判断即可 【答案】A解：圆、线段、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，而正三角形是轴对 称图形，但不是是中心对称图形，故选：A 【关键词】【关键词】轴对称图形，中心对称图形，命题 6.（2017 福建，题号 6，分值 4）不等式组： 03 02 x x 的解集是 A.32x B.32x C.2x D.3x 【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集 【答案】A 解 03 02 x x 解不等式，得：2x ， 解不等式，得3x ， 由可得，32x ， 故原不等式组的解集是32x ，故选 A 【关键词【关键词】解一元一次不等式组 7.（2017 福建，题号 7，分值 4）某校举行“汉字听写比赛”，5 个班级代表队的正确答 题数如图，这 5 个正确答题数所组成的一组数据的中位 数和众数分别是 A.10，15B.13，15 C.13，20D.15，15 【分析】根据众数和中位数定义确定众数和中位数 【答案】D 解：把数据 10、13、15、15、20 从小到大排列 可发现 15 位于最中间，所以 15 是这组数据的中位数；数据 15 出现了 2 次其余的都 是一次，最所以 15 是这组数据的众数，故选 D 【关键词【关键词】中位数和众数 8.（2017 福建，题号 8，分值 4）如图，AB是O的直径，C， D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中，一定与ACD 互余的角是 A.ADCB.ABD C.BACD.BAD 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得B+BAD=90， 根据同弧所对的圆周角相等，可得ACD=B，可得答案 【答案】D 解；如图， AB 是O 的直径， ADB=90， B+BAD=90 A C B O D 第 8 题 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页3 ACD=B， ACD +BAD=90 即ACD 与BAD 互余，故选 D 【关键词【关键词】圆周角定理 互余 9.（2017 福建，题号 9，分值 4）若直线1ykxk经过点（m，3n）和（1m， 21n），且02k，则n的值可以是 A.3B.4C.5D.6 【分析】根据条件可知：直线1ykxk经过点（m，3n）和（1m，21n）； 将此两点坐标代入一次函数的解析式中，可求出 k、n 的关系式；然后将 k、n 的关系 式代入02k中进行求解可得 n 的取值范围，再做判断 【答案】C 解：直线1ykxk经过点（m，3n）和（1m，21n）， 31 2111 nmkk nmkk 消去m得：4kn 把4kn代入02k得：46n,故选 C 【关键词【关键词】一次函数与一元一次不等式 10.（2017 福建，题号 10，分值 4）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中线段AB 和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B 和点 P ，则点 P 所在的单 位正方形区域是 A.1 区B.2 区 C.3 区D.4 区 【分析】在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。此题没 有给出旋转中心， 但给出了旋转前后的对应线段和对应点， 根据对应点到旋转中心的 距离相等可知旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上； 因此先确定旋转中心， 旋转 中心确定则旋转方向、旋转角也确定，从而找到点 P 旋转后的位置，问题得解 【答案】D 解如图， 连结AA、BB； 分别作AA、BB的中垂线交于点 O； 连结,AO A O PO，则AOA为旋转的角度； 分别以 O、A为圆心，OP、AP 长为半径画圆； 图中交点 P即为所求，故选 D. 【关键词【关键词】旋转作图 二、填空题：（每小题 4 分，共 6 小题，合计 24 分） 11.（2017 福建，题号 11，分值 4）计算： 0 23=_ 【分析】负数的绝对值是它的相反数，非零数的零指数幂等于 1，即)0( 1 0 aa. 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页4 【答案】1.解：原式=2-1=1. 【关键词【关键词】绝对值和零指数幂运算. 12.（2017 福建，题号 12，分值 4）如图，ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连结 DE，若 DE=3，则线段 BC 的长度等于_. 【分析】D，E 分别是边 AB，AC，DE 是ABC 的中位线，根据三角形 中位线性质：三角形中位线平行于第三边，并等于第三边的一半，而 BC 已知，从而 DE 等于 BC 的一半，问题得解. 【答案】6.解：D，E 分别是边 AB，AC 的中点， DE 是ABC 的中位线 36 2 1 2 1 BCDE. 【关键词【关键词】三角形中位线. 13.（2017 福建，题号 13，分值 4）一个箱子装有除颜色外都相同的 2 个白球，2 个黄球， 1 个红球.现添加同种型号的 1 个球，使得从中随机抽取 1 个球，这三种颜色的球被 抽到的概率都是 1 3 ，那么添加的球是_. 【分析】D，E 分别是边 AB，AC，DE 是ABC 的中位线，根据三角形中位线性质： 三角形中位线平行于第三边，并等于第三边的一半，而 BC 已知，从而 DE 等于 BC 的一半，问题得解. 【答案】红球.解：因为概率都是 1 3 ，所以每种颜色的球数量相同，所以应该补红球. 【关键词【关键词】概率计算. 14.（2017 福建，题号 14，分值 4）已知 A，B，C 是数轴上的三个 点，且 C 在 B 的右侧.点 A，B 表示的数分别是 1，3，如图所 示.若 BC=2AB，则点 C 表示的数是_. 【分析】由图可知 AB=2，所以 BC=4，由于已知点 C 在 B 的右侧，故只有一个结果. 【答案】7 解：AB=2，BC=2AB BC=4 A，B，C 从左到右顺次排列，OA=1 OC=7 【关键词【关键词】数轴上的两点距离. 15.（2017 福建，题号 15，分值 4）两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l 上，且有 一个公共顶点 O，其摆放方式如图所以，则AOB 等于_度. 【分析】 两个都是正五边形， 所以， 108 180 180)35( BODAOC， 1=2=72，又 OC=OD，根据三角形内角和为 180得COD=36， 可得AOB=108. 【答案】108，解：图中五边形是两个完全相同的正五边形 108 180 180)35( BODAOC，1=2=72 又OC=OD 36722180COD 108361082360AOB 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页5 【关键词【关键词】正多边形内角和，等腰三角形 16.（2017 福建，题号 16，分值 4）已知矩形 ABCD 的四个顶点均在反比例函数 1 y x 的 图象上，且点 A 的横坐标为 2，则矩形 ABCD 的面积为_ 【分析】根据题意，画出草图，由点 A 的横坐标为 2，可以求得其纵坐标为 1 2 ，又由于反 比例函数图象关于直线yx对称，因此可确定点 D 的坐标为 1 ( ,2) 2 ；利用矩形的中 心对称性，只要求得AOD 的面积，即可求得矩形的面积，因此，构造出如图的正 方形， 根据 k 的几何意义可知， 两个直角三角形的面积都为 1 2 ， 1339 = 2228 ADE S ， 再由面积和差关系求得 113315 42 22228 AOD S ，从而得到矩形 ABCD 的面 积= 1515 4 82 . 【答案】 15 2 解：如图，A 的横坐标为 2，把2x 代入 1 y x A 的纵坐标为 1 2 ， 四边形 ABCD 是矩形，且顶点在双曲线上，又 1 y x 的图象关于直线yx对称 点 D 的坐标为 1 ( ,2) 2 ， 分别过点 A、D 作垂直于 x 轴、y 轴的直线， 交于点 E， 则 E 的坐标为(2,2)， 113315 42 22228 AOD S 则矩形 ABCD 的面积为 15 2 . 【关键词【关键词】反比例函数，矩形综合 三、解答题：本大题共 9 个小题，满分 86 分 17.（2017 福建，题号 17，分值 8 分 ） 先化简，再求值： 1 ) 1 1 ( 2 a a a ，其中12 a 【关键词【关键词】平方差公式，分式化简，最简二次根式. 【分析】方法一：（1）可先进行通分，计算括号里： a a a 11 1 ；（2）对 1 2 a a 中的 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页6 分母部分利用平方差公式进行分解，得： ) 1)(1(1 2 aa a a a .（3）对化简后的两个式 子相乘并进行约分，得到： 1 1 ) 1)(1( 1 aaa a a a ；4.把12 a代入最后化简结 果进行求值，并最后结果要进行分母有理化，即： 2 2 2 1 112 1 .方法二：可以 采用乘法分配律进行求解. 【答案】方法一：（1）可先进行通分，计算括号里： a a a 11 1 ；（2）对 1 2 a a 中的 分母部分利用平方差公式进行分解，得： ) 1)(1(1 2 aa a a a .（3）对化简后的两个式 子相乘并进行约分，得到： 1 1 ) 1)(1( 1 aaa a a a ；4.把12 a代入最后化简结 果进行求值，并最后结果要进行分母有理化，即： 2 2 2 1 112 1 .方法二：可以 采用乘法分配律进行求解. 解法一：原式= ) 1)(1( 1 aa a a a 1 1 a 当12 a时，原式= 2 2 2 1 112 1 解法二：原式= 1 1 1 22 a a aa a = 1 1 1 22 aa a = 1 1 2 a a 1 1 a 当12 a时，原式= 2 2 2 1 112 1 18.（2017 福建，题号 18，分值 8 分）如图， 点 B，E，C，F 再一条直线上， AB=DE，AC=DF， 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页7 BE=CF，求证：A=D. 【关键词【关键词】三角形全等判定，三角形全等性质. 【分析】从已知可得ABC 和DEF 已经有两条边分别相等，即 AB=DE，AC=DF，要 求证夹角相等， 可证ABCDEF.由已知证三角形全等还缺一条边， 从图形观察其中有 公共线段 EC，由 BE+EC=CF+EC，得到第三边 BC=EF，则可证得ABCDEF. 【答案】证明：BE=CF BE+EC=CF+EC BC=EF 在ABC和DEF中， DFAC DEAB EFBC ABCDEF A=D 19.（2017 福建，题号 19，分值 8 分）如图，ABC 中，BAC=90，ADBC，垂足为 D，求作ABC 的平分线，分别交 AD，AC 于 P，Q 两点，并证明 AP=AQ. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【关键词【关键词】尺规作图“作已知角的角平分线”，角平分线性质，“等角的余角相等”. 【分析】（1）要证 AP=AQ，考虑用“等角对等边”，即要证APQ=AQP；（2）由 对顶角相等，可得APQ=BPD，进而转化为证AQP=BPD；（3）由BAC=90， 则ABQ+AQP=90，由ADC=90，则PBD+BPD=90；（4）由角平分线性 质可得ABQ=PBD，进而证明AQP=BPD；（5）等量代换可证得APQ=AQP， 从而得到 AP=AQ。 【答案】ADBC ADC=90 PBD+BPD=90 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页8 又BAC=90 ABQ+AQP=90 ABQ=PBD AQP=BPD 又APQ=BPD APQ=AQP AP=AQ 20（2017 福建，题号：20，分值：8 分）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔 同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是： “有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有 35 个头，94 条腿.问笼中的鸡和兔各有 多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解. 【关键词【关键词】二元一次方程组或一元一次方程二元一次方程组或一元一次方程 【分析】：同一笼里的鸡和兔共有 35 个头，94 条腿，这里有两个等量关系，所以本题可 以通过列方程（组）进行求解。 【答案】法一：解：设鸡有 x 只，兔有 y 只依题意得 .9442 ,35 yx yx 解得 .12 ,23 y x 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 法二：解：设鸡有 x 只，则兔有（35-x）只依题意得 94)35(42xx 解得：x=23，则 35-x=12 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 21（2017 福建，题号：21，分值：8 分）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O 的直径，点P在CA的延长线上，45CAD. （1）若4AB ，求CD的长； （2）若 BCAD，ADAP，求证：PD是O 的切线 【关键词【关键词】圆周角定理，圆弧长，切线 B A D P C O 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页9 【分析】：（1）要求CD的长，根据弧长的计算公式，就要知道弧所对圆心角的度数与 半径的长，所以连结 OC，OD，利用圆周角定理求出COD的度数； （2）要证明PD是O 的切线，因为 PD 与O 有公共点，所以只要证明 90ODP即可。根据 BCAD，可得弧所对的圆心角相等，求出DOA 的度数，再利用等腰三角形与三角形外角的性质，可求得ODA与ADP的度数。 【答案】解：（1）连结 OC，OD COD=2CAD ，CAD =45， COD =90 AB是O 的直径，AB=4， OC=2 CD的长= 180 290 （2） BCAD，COD =90， COB=DOA=45 OA=OD， 5 .67 2 45180 ODA 又CAD=45，APAD ， ADP=22.5 ODP=67.5+22.5=90 又OD 是半径， PD是O 的切线 22（2017 福建，题号：22，分值：10 分）小明在某次作业中得到如下结果： 2222 sin 22sin 680.370.931.0018 2222 sin 29sin 610.480.870.9873 2222 sin 37sin 530.600.801.0000 22 22 22 sin 45sin 451 22 据此，小明猜想：对于任意锐角，均有 22 sinsin901. （1）当时，验证 22 sinsin901是否成立； （2）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例. 【关键词【关键词】三角函数 正弦 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页10 【分析】（1）把=30代入 22 sinsin901计算即可； （2）这是一道考查锐角三角函数概念的试题，要证明 22 sinsin901是 否成立，只要构造一个直角三角形，利用正弦的概念，把sin与sin(90)转化 为直角三角形边长的比，结合勾股定理就可得证。 【答案】解：（1）当=30时， 222 sinsin90sin 30sin(9030 ) = 2 2 2 3 2 1 = 4 3 4 1 =1 所以 22 sinsin901成立； （2）小明的猜想成立。 证明：如图，在ABC 中，C=90 设C=，则B= 90 22 22 sinsin90 BCAC ABAB = 2 22 AB ACBC = 2 2 AB AB =1 所以 22 sinsin901成立 23.（2017 福建，题号：22，分值：10 分）自 2016 年国庆后，许多高校均投放使用手机 就可随取随用的共享单车.某运营商为提高其经营的 A 品牌共享单车的市场占有率，准备 对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按 0.5 元收取，每增加一次，当 次车费就比上次减少 0.1 元，第 6 次开始，当次用车免费. 具体收费标准如下： 使用次数012345(含 5 次以上) 累计车费00.50.9ab1.5 同时，就此收费方案随机调查了某高校 100 名师生在一天中使用 A 品牌共享单车的意愿， B AC 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页11 得到如下数据： 使用次数012345 人数51510302515 () 写出 a、b 的值； () 已知该校有 5000 名师生，且 A 品牌共享单车投放该校一天的费用为 5800 元. 试估 计：收费调整后，此运营商在该校投放 A 品牌共享单车能否获利？说明理由. 【关键词【关键词】统计，加权平均数，利润 【分析】中档题，考查统计知识，(1)题对学生收集与处理数据的要求较高，在表 1 中的 字母的值，要在对题意清晰解读之后，结合“累计车费”的理解才能明确它们的值；(2) 题关键在于统计量的选择，很多学生受经验的影响，会选择不和题意的统计量来说明，这 里考查了加权平均数的应用。 【答案】解：() a=1.2，b=1.4； ()根据调查意愿结果，该校师生每人每次使用共享单车的平均费用为： 1 (0 50.5 150.9 101.2 301.4251.5 15) 100 =1.1(元) 则该校 5000 师生使用共享单车的总营业额为：5000 1.1=5500(元) 因为 55005800 所以，该运营商在该校投放 A 品牌共享单车不能获利. 24、（2017 福建，题号：22，分值：12 分） 如图，矩形 ABCD 中，AD=8，AB=6，P，E 分别为线段 AC，BC 上的点，四边形 PEFD 是矩形，连接 CF. （1）当PCD 为等腰三角形时，求 AP 的长. （2）当 AP=2,求线段 CF 的长； 【关键词【关键词】矩形性质，等腰三角形分类讨论，相似三角形 的判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【分析】（1）等腰三角形的分类问题，先看清条件再采用对应的策略，本题是已知一条 线段（两个定点）和一个角度，再找一个点（定线上的点）成等腰三角形问题，那么所在 的点必在已知线段的垂直平分线或以定点为圆心， 以已知线段长为半径的圆上， 当具体计 算可以采用等边对等角，勾股定理或者相似解决。 本题是两个矩形共顶点， 存在同角的余角相等， 再找一个条件证明APD 与CFD 相似， 两个思路，证角等或证两夹边对应成比例。法一：证角等，欲证PAD=FCD，发现 PAD 与PCD 互余，所以需要证明FCD 与PCD 互余，需要证明 FC 垂直 AC，依托 矩形性质，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到PFEDOC 2 1 2 1 ， 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页12 OC=OP=OF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理（需说理），得到 FC 垂直 AC，再由同角的余角相等，再利用三角形相似求解。法二：利用捆绑旋转（P 是 主动点，F 是从动点），先证明动态矩形长宽比不变，构造一线三直角，得到 MD PN PD PE ， 这里可以将利用矩形对边相等，将相似比转化为三角比 ACB CN PN MD PN PD PE tan，从而得到 4 3 DF PD PE PD BC AB 当然也可以根据确定思想，P 定则 F 定，设 AP=x，利用相似及勾股定理，用含 x 的式子 表示出相关线段的长再求比值，或者直接由 AP=2直接求出相关线段的长度，直接求比 值，只是计算量会较大。 【答案】解：（1）在矩形 ABCD 中，AD=8，AB=6，ADC=90 DC=AB=6，10 22 DCADAC 要使PCD 为等腰三角形，有如下三种情况： 如图 1，当 CP=CD 时，CP=6， AP=AC-CP=4 如图 2，法一：当 PD=PC 时， PDC=PCD， PCD+PAD=PDC+PDA=90， PAD=PDA PD=PA PA=PC，5 2 AC AP 法二：如图 2，当 PD=PC 时 P 在 CD 的垂直平分线上，作 PHCD. ADCD. ADPH. 2 1 CD DH AC AP . 5 2 AC AP. 如图 3，当 PD=CD 时，过 D 作 DQAC 于 Q 点， 则 PQ=CQ. DQACCDADS ADC 2 1 2 1 ， 5 24 AC CDAD DQ. 5 18 22 CQDCCQ. 5 36 2 CQPC. 如图 1 如图 3 如图 2 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页13 5 14 PCACAP. 法二： 5 18 5 3 6DCQCOSCDCQ，下同. 综上所述，若PCD 为等腰三角形，AP=4 或 AP=5 或 5 14 AP （2）法一：标答：连接 PF，DE，记 PF 与 DE 的交点为 O，连接 OC 四边形 ABCD 和 PEFD 都是矩形. ADC=PDF=90 即ADC+PDC=PDC+CDF=90， ADP=CDF BCD=90，OE=OD，EDOC 2 1 在矩形 PEFD 中，PF=DE，PFOC 2 1 PFOFOP 2 1 OC=OP=OF OCF=CFC,OCP=CPC, 又OPC+OFC+PCF=180 2OCP+2OCF=180， PCF=90，即PCD+FCD=90 在RtADC中，PCD+PAD=90， PAD=FCD ADPCDF, 4 3 AD CD AP CF 2AP 4 23 CF 法二：过 P 点作 MNAB 交 AB 于 M 点，交 BC 于 N 点， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， MNBC PMD=PNE=90，则四边形 MNCD 为矩形 又四边形 PDFE 是矩形 DEF=90 1+2=2+3=90， 1=3 MPDNEP MD PN PD PE MD=NC 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页14 ACB CN PN MD PN PD PE tan（相似比转化为三角比） 4 3 tan AD CD BC AB ACB DF PD PE PD BC AB 四边形 ABCD 和 PEFD 都是矩形. ADC=PDF=90 即ADC+PDC=PDC+CDF=90， ADP=CDF ADPCDF， 4 3 AP CF 2AP 4 23 CF 法三：过 P 点作 MNAB 交 AB 于 M 点，交 BC 于 N 点， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， MNBC PMD=PNE=90，则四边形 MNCD 为矩形 又四边形 PDFE 是矩形 DEF=90 1+2=2+3=90， 1=3 MPDNEP MD PN PD PE 四边形 ABCD 和 PEFD 都是矩形. ADC=PDF=90 即ADC+PDC=PDC+CDF=90， ADP=CDF 5 3 sinMAP， 5 4 cosMAP 设xAP5, 则xMAPAPMP3sin，xMAPCOSAPAM4 MD=8-4x，PN=6-3x )2( 4 3 )2(4 )2(3 48 36 x x x x x MD PN AD CD MD PN PD PE 4 3 下同。 法四：也可以将2AP代入，直接求 MD 和 PN 的长度，再求比值。 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页15 法五：借助四点共圆及五点共圆思想，发现 FCAC，用初中方法来书写。 解：连接 PF，DE 记 PF 与 DE 的交点为 O，连接 OC 四边形 PEFD 是矩形， OD=OF=OE=OP PDEF 四点共圆，都在以点 O 为圆心，DE 为直径的圆上 又四边形 ABCD 是矩形 ECD=90又O 为 ED 中点， OC=OE=OD 点 C 也在以点 O 为圆心，DE 为直径的圆上 又 PF 为直径 PCF=90 FCAC 下同 法六： （思路：如图辅助线，思考，图形确定，可以一个参数表示个线段，若最终能消去， 知道图形中存在不变关系，或者说定值问题，若不能消去，可讨论数量关系，或者最值可 能性） 解：四边形 PDFE 是矩形 DEF=90 1+2=2+3=90， 1=3 MPDNEP 四边形 ABCD 是矩形. ADC=90，AC=10 5 3 sinMAP， 5 4 cosMAP 设xAP5, 则xMAPAPMP3sin，xMAPCOSAPAM4 MD=8-4x，PN=6-3x )2( 4 3 )2(4 )2(3 48 36 x x x x x MD PN 则 4 3 MP NE ，xMPNE 4 9 4 3 再证得：PNEDGF xNEGF 4 9 ，xMPGC3 4 15 22 x GFCGCF 又25 xAP 4 3 5 4 15 x x AP CF 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页16 4 23 CF 25.（2017 福建，题号：25，分值：14 分）已知直线2yxm与抛物线 2 yaxaxb 有一个公共点 M(1，0)，且ab. (1) 求抛物线顶点 Q 的坐标(用含 a 的代数式表示)； (2) 说明直线与抛物线有两个交点； (3) 直线与抛物线的另一个交点记为 N. (i) 若 1 1 2 a ，求线段 MN 长度的取值范围； (ii) 求QMN 面积的最小值. 【关键词【关键词】二次函数综合题，确定抛物线顶点坐标；直线与抛物线交点个数的确定 方法一元二次方程根的判别式运用； 勾股定理应用； 坐标系内三角形面积的确定 等. 【分析】(1)由于抛物线过定点 M(1,0)， 2 yaxaxb因此可由已知点坐标代入后，求 得2ba ，然后把 2 2yaxaxa配方成顶点式 22 19 2() 24 a yaxaxaa x，可 得顶点 Q 的坐标 19 (,) 24 a ； 或者先确定对称轴方程 1 2 x ， 再代入 2 2yaxaxa后 求得顶点纵坐标为 9 4 a ，从而得 Q 19 (,) 24 a ； (2)说明的是直线与抛物线的交点情况，因此先由直线2yxm过点 M(1,0)，代入求得 2m ，再联立抛物线解析式后得到一元二次方程 2 (2)220axaxa，则根的判 别式 222 (2)4 ( 22)9124(32)aaaaaa ，关注到已知条件ab，且 2ba ，可确定得出0a ，因此可得0 ，即直线与抛物线有两个交点. (3)(i)由于抛物线解析式待定，因此可以由(2)中一元二次方程求得点 N 的坐标(含a的代数 式表示)，这里由于教材版本不同，可以选用的方法多样，可以通过配方法得到 2 2 1113 ()() 22 x aa ，也可以用因式分解法得到(1)(22)0xaxa，还可以利用 “根与系数的关系”得到 2 2 1 a x a ，从而确定得到 2 2 2x a ，再把 2 2 2x a 代入到 22yx，得点 N 24 (2,6) aa ，画出草图，由图可发现，利用勾股定理可确定线段 MN 为 222 24 (2)1(6)MN aa 2 2 206013 4520() 2aaa ，由 1 1 2 a ，利用反比 例 函 数 性 质 可 得 1 21 a ， 代 入 端 点 数 值 后 计 算 得 到 MN 的 取 值 范 围 为 2017 福建中考解析-福建数学团队出品 2017 福建省中考数学试卷解析 第页，共 20 页17 5 57 5MN. 【另法】由于抛物线解析式未知，应先明确抛物线的动态特征，画出草图后可知，由于 0a ，抛物线开口向下，系数a影响了抛物线开口大小，因此，亦可由 MN 的两个端点 坐标代入确定线段的取值范围. (ii)作出抛物线的对称轴划分为两个三角形，确定 27327 48 QMN a S a ，欲求 S 的取值范 围，先转化为方程 2 27(854)240aSa，再利用根的判别式来确定 S 的取值范围即 可. 【解答】解：(1) 抛