2017中考数学压轴题及答案精选.pdf

1 全国中考数学压轴题及答案精选全国中考数学压轴题及答案精选 1.（12 分）（2013白银）如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x 2+（2k1）x+k+1 的 图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐 标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB=90？若存在，求出点 P 的坐标，并求出POB 的面积；若不存在，请说明理由 参考答案： 考 点： 二次函数综合题 分 析： （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，也就得出了抛物线的解析式 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根 据OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物 线的解析式中即可求出B 点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出 的 B 点是否符合要求即可 （3） 根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OBOP，由此可求出 P 点的坐标特 点，代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标求POB 的面积时，可先求出 OB，OP 的长度即可求出BOP 的面积 解 答： 解：函数的图象与 x 轴相交于 O， 0=k+1， k=1， y=x23x， 假设存在点 B，过点 B 做 BDx 轴于点 D， AOB 的面积等于 6， AOBD=6， 当 0=x23x， x（x3）=0， 解得：x=0 或 3， AO=3， BD=4 即 4=x23x， 解得：x=4 或 x=1（舍去） 又顶点坐标为：（ 1.5，2.25） 2 2.254， x 轴下方不存在 B 点， 点 B 的坐标为：（4，4）； 点 B 的坐标为：（4，4）， BOD=45，BO=4， 当POB=90， POD=45， 设 P 点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x， 即x=x23x， 解得 x=2 或 x=0， 在抛物线上仅存在一点 P （2，2） OP=2， 使POB=90， POB 的面积为： POBO=42=8 点 评： 本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识利用已 知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键 3 2.（12 分）（2013 兰州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为x轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线 的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条 封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点 C 的坐标 为（0， 2 3 ），点 M 是抛物线 C2： mmxmxy32 2 = （m0） 的顶点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得PBC 的面积 最大？若存在，求出PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理 由； （3）当BDM 为直角三角形时，求m的值 参考答案： 2.（本小题满分 12 分） (1)解：令 y =0，则 032 2 =mmxmx m0， 032 2 = xx 解得： 1 1 =x ， 3 2= x A（ 1 ，0）、B（3，0） 2 分 （2）存在 设抛物线 C1 的表达式为 ) 3(1+=xxay）（ （ 0a ）， 把 C（0， 2 3 ）代入可得 2 1 =a 1： 2 3 2 1 2 =xxy 4 分 设 P（n， 2 3 2 1 2 nn ） SPBC = SPOC + SBOP SBOC = 16 27 2 3 4 3 2 +）（n 6 分 4 3 =a ，且顶点在第四象限 （3） (,8) c Cb a + ，且在抛物线上， 80,8,8,bbac+= += 把 B、C 两点代入直线解析式易得 4ca= 解得 6,2ca= 画图易知，C 在 A 的右侧， 5 当 1x 时， 2 1 4 2 4 acb y a = 4. （9 分） （2013 深圳福田） 如图 12，在平面直角坐标系中，圆 D 与 y 轴相切于点 C(0,4)， 与x轴相交于 A、B 两点，且 AB=6. （1）则 D 点的坐标是（ ， ），圆的半径为 ； （2）sinACB= ；经过 C、A、B 三点的抛物线的解析式 ； （3）设抛物线的顶点为 F,证明直线 FA 与圆 D 相切； （4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 CBN 面积最大，最大值是多少，并求 出N点坐标. 参考答案： 4.解： （1）（5，4）-1 分 5-2 分 （2）sinACB=5 3 ， 4 2 5 4 1 2 +=xxy -4 分 （3）证明：因为 D 为圆心，A 在圆周上，DA=r=5,故只需证明 90DAF=， 抛物线顶点坐标：F 9 (5,) 4 , 22 925915 4,3( ) 4444 DFAF=+=+= ， （5 分） 图 12 N P 6 所以 22 2222 1562525 5 4164 90 DAAFDF DAF +=+= = 所以 AF 切于圆 D。 （6 分） 存在点 N，使 CBN 面积最小。 设 N 点坐标（a, 4 2 5 4 1 2 +aa ）,过点 N 作 NP 与 y 轴平行，交 BC 于点 P。 可得 P 点坐标为（a, 4 2 1 +a ） -7 分 NP= 4 2 1 +a -（ 4 2 5 4 1 2 +aa ）= aa2 4 1 2 + SBCN =SBPN +SPCN =2 1 BOPN=2 1 8（ aa2 4 1 2 + ）=16-(a-4)2 -8 分 当 a=4 时，SBCN 最大，最大值为 16。此时，N（4，-2）-9 分 部分小题方法不一，不同做法可酌情给分，参考如下： （4）、存在点 N，做一条与 BC 平行的直线，平移， 当它与抛物线有一个交点时，此时以 BC 为底的三角形 高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的 N 点。 易求 BC 的 K 值为 1 2 ，所以设动直线为： 1 2 yxd= + ，与抛物线联立： ()() 2 2 2 1 1 2 ,240, 154 4 42 1 = -2-44-0,0, 4 yxd yxxd yxx dd = + += =+ = 消去 因为有一个交点，所以解得， （1 分） 所以 () 2 1 4 2 4, 2 152 4 42 yx x N y yxx = = = =+ （1 分） N 7 过 N 做 y 轴的平行线，交 BC 于一点，求此点坐标 BC ： 1 4 2 yx= + , 令 x=4, 解 得 y=2, 三 角 形 BCN 面 积 的 最 大 值 = 1 4 8=16 2 （1 分） 若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。 5.（2013 深圳）如图 6-1，过点 A（0，4）的圆的圆心坐标为 C（2，0），B 是第一象限圆 弧上的一点，且 BCAC，抛物线 cbxxy+= 2 2 1 经过 C、B 两点，与x轴的另一交点为 D。 （1）点 B 的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 （2）如图 6-2，求证：BD/AC （3）如图 6-3，点 Q 为线段 BC 上一点，且 AQ=5，直线 AQ 交C 于点 P，求 AP 的长。 解析： 8 9 6. （2013 深圳） 如图 7-1，直线 AB 过点 A （m，0） ，B （0，n） ，且 20=+nm （其中m0， n0）。 （1）m为何值时，OAB 面积最大？最大值是多少？ （2）如图 7-2，在（1）的条件下，函数 )0( =k x k y 的图像与直线 AB 相交于 C、D 两点， 若 OCDOCA SS = 8 1 ，求k的值。 （3）在（2）的条件下，将OCD 以每秒 1 个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图 7-3， 设它与OAB 的重叠部分面积为 S，请求出 S 与运动时间（秒）的函数关系式（0 ，S有最小值 当 2 3 =t 时，S有最小值 5 21 答：当 2 3 =t 时，四边形APNC的面积最小，S的有最小值是 5 21 . 13（14 分）（2013 遵义）如图，已知抛物线 )0( 2 +=acbxaxy 的顶点坐标为 3 2 , 4 ，且与 y 轴交于点 )2 , 0(C ，于x轴于A、B两点（点A在点B的左边）. （1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P， 使 CPAP+ 的值最小？若存在，求 CPAP+ 的最 小值；若不存在，请说明理由； （3）在以AB为直径的M中，CE与M相切于点 E,CE交x轴于D,求直线CE的解析式. 13解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 3 2 )4( 2 =xay )0(a 抛物线经过点 )2 , 0(C 2 3 2 )4( 2 =xa ,解得 6 1 =a 3 2 )4( 6 1 2 =xy ，即 2 3 4 6 1 2 +=xxy 当 0=y 时， 02 3 4 6 1 2 =+xx ，解得 2 1 =x ， 6 2 =x )0 , 2(A , )0 , 6(B (2)存在 由（1）知，抛物线的对称轴l为 4=x ， 22 因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P,则 BPAP = ,所以， BCCPAP=+ 的值最小. )0 , 6(B ， )2 , 0(C ， 6=OB , 2=OC 10226 22 =+=OB 102=+BCCPAP CPAP + 的最小值为 102 . （3）连接ME CE是M的切线 MECE， 0 90=CEM =COD 0 90=DEM 由题意，得 2= MEOC , =COD DEM CODMED D