史济怀复变函数答案.pdf

第一章 复数与复变函数第一章 复数与复变函数 1.1 习题 1.1 习题 2设 12 ,., n z zz是任意 n 个复数，证明： 11 | nn kk kk zz = ，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是 12 ,., n z zz线性相关）. 3证明： 1 (ReIm)ReIm. 2 zzzzz+ 证明： 设zaib=+， 则Reza=，Im zb=， 22 |zab=+.由题2知，zabiab+=+ 故 2222 2222 22 2 ()| 22222 abaabbab abab abz + + =+=， 即有 1 (ReIm)ReIm. 2 zzzzz+ 4若 12 |,0zz=，证明： 2 1212 |zzzz=. 证明：不妨设 22 2 2121 0.zzzz= 则 22 22 212122121112 zzzz zzz zzzzz= 即有 2 1212 |zzzz=成立. 5设|a|） 7设 12 ,., n z zz， 12 ,., n 是任意 2n 个复数，证明复数形式的 Lagrange 等式： 2 22 2 1111 ()(), nnn kj jjjjjk jjjj k n zzzz = = 21 0, 11 zz kz kk =+ + 12 (0,1),(1),() 1 k zzz k =+= + . 6 图 1.5 是三个边长为 1 的正方形，证明： 2 AODBODCOD +=. E A B C OD 解：以 O 为原点，OD 为 X 轴，OE 为 Y 轴，建立坐标系.设 123 ,OAz OBz OCz = 则 123 1,2,3zi zi zi= +=+=+， 从而 1 23 arg()arg(1)(2)(3)arg(10 )z z ziiii=+= . P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 因为 i 是单位向量，它的辐角为 2 ，即 2 AODBODCOD +=. 10证明： 222 2 121212 2(| ),zzzzzz+=+并说明等式的几何意义. 证明： 222222 121211 2211 22 |2Re|2Re|zzzzzz zzzz zz+=+ 22 12 2(| )zz=+ 几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和. 11设 1,.,n zz是单位圆周（以原点为中心、半径为 1 的圆周） 上的 n 个点，如果 1,.,n zz是 正 n 边形的 n 个顶点，证明： 1 n k k z = =0. 证明：记 12 . n zzzC =+，设该正 n 边形的一个圆心角为，0时，L 是一圆周. 并求出该圆周的圆心和半径. 证明： （i）令 2 2d=，则2d=，故原方程为()()0zz+=，即 Re()0z+=，即z+与垂直，从而轨迹是一条通过点，与垂直的直线. （ii）记 2 2 0ad=，则 2 ad=， 原式 2 222 0()()a zza za zadazazaz+=+=+= 即证之. 1.31.3 习题习题 1. 证明：在复数的球面表示下，z 和 1 z 的球面像关于复平面对称. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 证明：设zxiy=+其球面对应的坐标为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz + = + . 而 1 z 球面像对应的坐标为 1122 2 11 11 1 1 zzzz zz xx z z z + + = + + + , 22 2 22 11 1(1) (1) (1) zzzz zz xx iz iz i z = + + + , 2 2 2 33 222 1 1 1 1 11 1 1 z z z xx z z z = + + + , 从而有 112233 ,xx xx xx= ，故z和 1 z 的球面像关于复平面对称. 2. 证明：在复数的球面表示下，z和的球面像是直径对点当且仅当 z=-1. 证明：设zxiy=+，由1z = 得 11 , zz = = ， 由于z对应的球面像为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz + = + ， 对应的球面像为 123 ,xxx，计算可得： 11,2233 ,xx xxxx= = = ， 故 z 和的球面像是直径对点. 由球面表示的几何意义知，, z 位于通过竖坐标轴的平面与 xoy 平面交点上，从而, z 必与原点共线，则,0z = ，由 33 xx=，易知1 =. 3. 证明：在复数的球面表示下, C中的点 z 和的球面像间的距离为 ()() 22 2 11 z zw + . 证明：设z和w的球面像的坐标为() 123 ,x xx和() 123 ,xxx， P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 则()()()() 222 1122331 12233 22xxxxxxx xx xx x+=+， 112233 x xx xx x+ ()() ()()()() ()() 22 2 2 11 11 zzzzz z + = + ()() ()() 222 2 2 112 11 zz z + = + 故 ()()()() 222 112233 ,d zxxxxxx =+ () ()() 1 12233 2 2 2 22 11 z x xx xx x z =+= + 4. 证明：在复数的球面表示下，若 ab cd 是二阶酉方阵，则 C的变换 w= azb czd + + 诱导 了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证 () ()() 2 2 2 , 11 zw z wc d z w zw = + ，一定有(), azb awb dd z w czd cwd + = + . 而 ()() 2 2 2222 22 ()det 11 ab azbawb zw czdcwdcd azbczdawbcwdazbawb czdcwd + + = + + + ， 由 ab cd 是二阶酉方阵知， ()() 22 2 det1,11|1, 11 abacabzz azbczdzzz cdcd bd =+=+ 类似的有 22 2 |1,awbcwdw+=+故 原式= ()() ()()()() 2 2 222 2 1111 adbczwzw zwzz = + ， P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 故(), azb awb dd z w czd cwd + = + 成立，从而诱导变换是一个等距. 又等距变换的行列式是 ab cd 的连续函数且只取1两个值，而二阶酉方阵全体是连通的， 从而行列式为常数. 取 ab cd = 10 01 ，此时诱导变换是恒等变换，行列式为 1，故此常数为 1，从而此等距 变换为旋转. 1.41.4 习题习题 1. 设 0 (,0z ，0 n z ，nN .证明：复数列 n z收敛到 0 z的充要条件是 0 lim n n zz =和 0 limargarg n n zz =. 证明：因为 00 (,0,0, . .argzstz +， 由不等式 0000 | argarg nn zzzzzzz+即得充分性 由不等式 00 | n zzzz 及 0 000 argarg |2| sin 2 n n zz zzzzz + 并注意 0 argarg 222 n zz + C， :,01 k zzkiyy F =+C； 解：开集； (iv) G=B(0,1) 1 : 1 k k + 为自然数; 解：非开，非闭，非紧； (v) CB()R，; P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 解：紧集. 8. 设 D 是开集，FD是非空紧集，证明： （i）(),0;d FD (ii) ()() 12 1 0,., n nk k d FDFz zzFB zD = 对任意 ，即 n 1 (, ),)inf( ,)( ,) k k dB zDdDd FD = = 1.6 习题 1.6 习题 1.满足下列条件的点 z 所组成的点集是什么？如果是域， 说明它是单连通域还是多连通域？ （i）Re1;z = 实部是 1 的直线， 不是域 (ii) Im5z 开弓形 单连通域 (vii) 1 2; 1 z z + 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg. 4 zi zi 0 ， 对 D 上任意的 1,2 z z，只要 12 2 ,zz0,有 22 22 ( ) p f z xy + = 2 p 2 ( ) p f z 2 ( )fz. 提示:= 22 22 xy + = 4 2 z z ,将( )f z写成 1 2 ( ) ( )f z f z , 利用 f z =0, f z =0, f z =f, f z =f,计算. 11.设 D 是域,(:D ,0f是非常数的全纯函数,则log( )f z和Arg ( )f z是 D 上的调 和函数,而( )f z不是 D 上的调和函数. 提示: 2 2 2 1 log( )log( )2log|( )| 2 f zf zf z z z = 2 1( ) ( ) 2 |( )| f z f z zf zz = 2 ( )( ) 2 |( )| f z fz zf z = ( ) 20 ( ) fz zf z = 2 arg( ) ( ) ( ) if z f z e f z =对 z 求偏导 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 (arg( )f z z = 1 2i ( ) ( ) fz f z 2 z z (arg( )f z=0 4 2 z z ( )f z= 12 ( )( )f zfz 如果( )f z调和,则( )fz 0,从而f是常数,矛盾. 12.设 D,G 是域, :fDG是全纯函数,证明:若 u 是 G 上的调和函数,则ufo是 D 上的调 和函数. 证明: 因为 u 是 G 上的调和函数,局部存在全纯函数g，s.t. Reug=, 则gfo局部全纯, 于是局部有Re()ufgf=oo，从而ufo调和. 15.举例说明:存在B(0,1)0上的调和函数,它不是B(0,1)0上全纯函数的实部. 解: ( )log|u zz=是B(0,1)0上的调和函数,它不是B(0,1)0上全纯函数的实部. (反证) 假设存在 B(0,1)0上的全纯函数( )f z,使得Re ( )logf zz=, 设( )log|( )f zziv z=+,( )v z是实值函数. 则 ( )( ) | f ziv z ez e=,从而 ( ) ( ) 1,(0,1)0 f z iv z e ezB z = . 由题 2.(iv) 可知 ( )f z e z 常数, 故存在 s.t. ( )f zi eze = 即 ( ) | iv zi z eze = ( )(arg)iv ziz ee + =( )2v zargzk=+. 由( )v z的连续性可知k是常数. 于是( )2argzv zk=在B(0,1)0连续,不可能. 16.设fuiv=+, 000 zxiy=+.证明: (i) 如果极限 0 0 0 ( )() lim Re zz f zf z zz 存在,那么() 00 , u xy x 和() 00 , v xy y 存在,并且相等. (ii) 如果极限 0 0 0 ( )() lim Im zz f zf z zz 存在,那么() 00 , u xy y 和() 00 , v xy x 存在,而且 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 () 00 , u xy y =() 00 , v xy x . 证明:(i) () 00 , u xy x = 0 000 0 ( ,)(,) lim xx u x yu xy xx () 0 zxiy=+ ()() 000 ,zxy= = 0 000 0 ( ,)(,) lim Re xx f x yf xy xx = 0 0 0 ( )() lim Re zz f zf z zz () 00 , v xy y = 0 000 0 (, )(,) lim yy v xyv xy yy = 0 000 0 (, )(,) lim Im yy f xyf xy yy () 0 zxiy=+ = () 0 0 0 ( )() lim Im zz f zf z i zz = () 0 0 0 ( )() lim Im zz f zf z i zz = 0 0 0 ( )() lim Re zz f zf z zz (ii)利用Im( )Re( )f zif z=,由(i)即得. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 2.3 习题 2.3 习题 1求映射 iz iz w + =在1 1 =z和iz = 2 处的转动角和伸缩率. 解：因为 zi f zi = + 22 2 ()() fzizii zzizi + + = + 1 2 2 ( ) ( 1) i fz i = + =1 1 arg( )fz= arg( 1)= 2 2 21 () (2 )22 ii fz i = 2 arg() 2 fz = 2设 f 是域 D 上的全纯函数，且( )fz在 D 上不取零值，试证： （i）对每一个 00 ( )uivf D+，曲线 0 Re( )f zu=和曲线 0 Im( )f zv=正交； 证明： （i） 0 uu=和 0 vv=是uv平面中的正交直线.因为( )0fz,故f是保角的. 从而曲线 0 Re( )f zu=和曲线 0 Im( )f zv=的夹角等于直线 0 uu=和 0 vv=的夹角,等于 2 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 2.4 习题 2.4 习题 1.验证 zz ee= 证明：令zxiy=+,则zxiy= (cossin ) zx eeyiy=+(cossin ) zx eeyiy= (cossin ) zx eeyiy= 所以 zz ee=. 3.证明：若1 z e =，则必有2,0, 1,.zk i k= 证明：1 z e =| 1 xz ee=,20 z Argeyk=+= 0,2,xykk=Z 2zk i=，kZ. 4.设f是整函数，( )01.f=证明： (i)若 ( ) ( ),( ); z fzf zzf ze=对每个成立 则 (ii) 若对每个, z ,有()( ) ( )f zf z f+=,且 (0) 1f=,则( ) z f ze. 证明： （i） ( ( )( )( )( )( )0. zzzzz f z efz ef z ef z ef z e = ( ) z f z ec =,1 1,1c c =，故( ) z f ze (ii) ()( ) ( )fzfz f+=,令0( )( )zff= 7.设f在(,0中全纯，(1)0.f=证明： （i）若( ( ) ( ),0 ,( )log f z fzezf zz =则； (ii)若()( )( )f zf zf=+,(,0z,()0,且 (1) 1f=,则( )logf zz. 证明： （i）令 ( ) ( ) f z F zez=,则 ( ) ( )( ) 10 f z F zefz= = P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 ( )F zc=(常数) 令z=1,则 (1)0 110 f ec = =F(1)=e. 故 ( ) ( )log (1)1 f z ez f zz f = = = (ii)提示()( )fzfz=,令1z =得 1 ( )f =. 8证明：32)( 2 +=zzzf在()1 , 0B中单叶. 证明： 取() 1212 0,1 ,zzBzz， 12 ( )()f zf z= 1212 ()(2)zzzz+ () 12121212 ,0,1( )()0( )()zzzzBf zf zf zf z， 故)(zf在()0,1B中单叶. 12设f在(,0上全纯，(1)1,0.f=证明： )(i若( ( ) ( ),0 f z fzz z =C，则 arg ( ); iz f zze )(ii若()( ) ( )f zf z f=，(,0zC,()0,且 (1) ,f=则 arg ( ) iz f zze 证明：(i) 要证 arg ( ) iz f zze =，即证 log ( ) z f ze= () log ( )0 z f z e =,及(1)1f= log ( )| zi Argz f zeze =. (ii) ()( )( )zf zf z f=令1 =得( )( )zf zf z= 即 ( ) ( ) f z fz z = 14.证明: )(i cos()coscossinsin;zzz+= )(ii sin()sincoscossin;zzz+=+ P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 证明:(i) cos()sin()ziz+ ()i z e + = ()cos cossin sinsincoscos sinzzizz=+ (1 ) 在上式中以z，代入，得 cos()sin()ziz+ ()cos cossin sinsin coscos sinzzizz=+ （2） (1)+(2)得 cos()cos cossin sinzzz+= (1)(2)得 sin()sin coscos sinzzz+=+ 19.证明: sinz =将半条形域:Re,Im0 22 zzz 一一地映为上半平面. 证明: sincos()cos() 22 zzz =令 2 uz =, 则coswu=是由指数,(Re0,Im0), iu zeuu= 与 Rokovsky函数 11 (), (0,1) 0 ,0), 2z zzBargz=+一一映成上半平面. 20.证明(0,1)B是 2 ( ) (1) z f z z = 的单叶性域,并求出( (0,1)f B. 证明: 1 2 1212 2 12 1 ( )()() (1)(1) z z f zf zzz zz = 给出f的单叶性 0z 时, 11 2 ( ) z f zz =+由 Rokovsky函数的性质易得 1 ( (0,1)(, 4 f B= 21.当z按逆时针方向沿圆周:2zz =旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量: (iii) 1 2 4 (23) ;zz+ (iv) 1 2 1 1 z z + . 解: (iii) 1 2 4 (23)zz+ 1 4 (3) (1)zz=+ 3在圆周| 2z =外,1 在圆周| z =内 所以当z按逆时针方向沿圆周旋转一圈后, 辐角的增量为 2 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 (iv) 1 1 1 2 2 2 2 1(1)(1)1 (1)(1) 1|1|1| zzz zz zzz + =+ + 1z = 均在圆周| 2z =内,所以辐角的增量为 0. 22.设 1 ( ),01. (1) p p z f zp z =bcad. 证明: 必要性：因为线性变换把实轴映为实轴, 故 azb czd + = + 中dcba,都是实数； 因为 2 () ( ) acbdadbc i i c + =属于上半平面，故0bcad. 充分性：对0,1,z =都有( ) zR,从而将实轴映为实轴, 又 Im( )0iadbc=,故将上半平面映为上半平面. 4.试求把单位圆盘的外部1:zz 映为右半平面:Re0 的分式线性变换,使得 (i)1,- i,- 1 分别变为 i,0,- i; (ii)- i,i,1 分别变为 i,0,- i. 解:(i)( ) zi T z zi + = (ii)( ) (2)21 zi T z i zi = + 10.设( ) azb T z czd + = + 是一个分式线性变换,如果记 a c 1 b d = ,那么 1( ) z Tz z + = + . 证明: a c 1 b d = d c b a = ( ) azb T z czd + = + ( )( )czT zdT zazb+=+ 1( ) bdzz Tz czaz + = + 从而证得 1( ) z Tz z + = + . 11.设 11 11 1 )( dc ba zT + + =,=)( 2 zT 22 22 dc ba + + 是两个分式线性变换,如果记 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 1 1 a c 1 1 b d 2 2 a c 2 2 b d = a c b d 那么 12 ()( ) azb TTz czd + = + o. 证明: 12 ()( )TTzo= 121 21 212 121 21 212 a a zabbc zbd c a zcbd c zd d + + 又Q 1 1 a c 1 1 b d 2 2 a c 2 2 b d = a c b d 121 2 1 212 1 212 a abca a bbdc c bd dd += += += 121 21 212 121 21 212 a a zabbc zbdazb c a zcbd c zd dczd + = + 从而 12 ()( ) azb TTz czd + = + o. 12.设是过- 1 和 1 的圆周,z和w都不在圆周上.如果, 1=zw那么z和w必分别于的内部 或外部. 证明:由圆的对称性知的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为 12 zz，. 又由平面几何知识知 12 | | 1zz=,从而 2 1 1 z z =. 设z在内部，则z位于走向 1， 1 z,- 1 的左边,因此分式线性变换 1 (x)T x =，将 1 ( ) z T z=映 为走向 1 (1)( )( 1)TT zT ，即 1， 2 z，- 1 的左边. 注意( )T =，走向 1， 2 z，- 1 的左边即的外部，故 1 z 在外部. 15.求一单叶全纯映射,把除去线段i+1 , 0的第一象限映为上半平面. 提示: 先作变换 4 1 zz =,再作4 12 += zz,最后作变换 23 zz =可得. 16. 求一单叶全纯映射,把半条形域:Re,Im0 22 zzz 映为上半平面,且把 2 ,0 , 2 分别映为 1,- 1,0. 提示: 先作变换 1 ziz= ,再作 1 2 z ez =,) 1 ( 2 1 , 3 3423 z zzizz+=. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 即 11 () 2 iz iz wie ie =+ 17.求一单叶全纯映射,把除去线段hiaa+,的条形域:0Im1zz0,R00 使得当 RR0时，有 2 ( ) ( ) P z z M Q z 因此 2 | | | | ( )( )2 |0() (z)( )|z| zRzRzR P zP zMM dzzdzR QQ zR = = 所以 ( ) lim0 ( ) R P z dz Q z = 6.设 f 1( ), C D是域 D 中分别以 a 和 b 为起点和终点的可求长曲线.证明： ( )( ) ( )( ) z f zf z dzdzf bf a z += z)1f ), 2 ff idzdxidy zxy =+ （ （ )1 ), 2 f zff idzdxidy zxy =+= （ （ ( )( )11 ()()()() 22 f zf zffff dzdzidxidyidxdy zxyxyz ff dxdydf xy +=+ =+= 故 ( )( ) ( )( ) f zf z dzdzdff bf a zz += 8.设是域 D 中以 a 为起点，以 b 为终点的可求长曲线，f,g 1 ()().H DCD证明分部积 分公式： f( )( )( ) ( )|z). b a z g z dzf z g zfdz = （ P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )|b a f z g z dzfz g z dzfz g zf z g z dzf z g zdzf z g z +=+= 故( ) ( )( ) ( )|( ) ( ) b a f z g z dzf z g zfz g z dz = 9.设是正向可求简单曲线，证明：内部的面积为 1 2i r zdz . 证明：由公式得 r zdz = z (dz D dz z ）=- D dzdz =-()(i D dxidydxidy+ DD ）= 2 dxdy= 2idA =2iA 所以 A= 1 2i r zdz 11.设f在 z0处连续，证明： （i） 2 00 r0 0 1 lim()z 2 i f zredf += （ ）； (ii) 0 0 0 0| r 1( ) lim() 2 r z z f z dzf z izz = = . 证明：(i) 22 0000 00 11 ()(| ()(|d 22 ii f zredf zf zref z + ） 0 0 | sup |( )()|0(0 ) z zr f zf zr + = 所以 2 00 r0 0 1 lim()() 2 i f zredf z += . (ii) 0 2 0 0| r0 1( )1 () 22 i z z f z dzf zred izz = =+ 故 0 0 r0 0| 1( ) lim() 2 z zr f z dzf z izz = = 12.设 D= 00 z:arg()(02 ),zaa + 22 |z| 2| | 2| | 2 11 2ai2 zzz azaza eee dzdzdz zazaiaizai = = + = 112 i 22sin 2ai2 aiai i ei ea aia = 2.设f在:|zrz P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 证明：设 ,rRR 由Cauchy积分公式得 | | | 1( )1( ) 2 i2 zrz f zf z dzdz ziz = = 即 22 00 11 ()() 22 ii f redfed = ，令0 ，则有 2 0 1 ()(0) 2 i f redf = (ii) 2 |z| 1 ( ) r r f z dxdy ，那么f是D上的 单叶函数. 证明： 12 ,z zD， 12 zz 则 2 1 1 2112121 0 ()( )( )()() z z f zf zfdfzt zzzz dt=+ 则 1 21 121 0 21 ()( ) () f zf z fzt zzdt zz =+ 从而 1 21 121 0 21 ()( ) Re()0 f zf z fzt zzdt zz + 故 12 ( )()f zf z，这表明f是D上的单叶函数. 3.43.4 习题习题 1 计算下列积分： （1） 2 | | 1 sin 1 z z dz z = P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 解： 2 | | 1|1| 11 sin1sinsin 2sin1 1111 zzz zzz dzdzii zzzz = = = + (2) 2 | | 2 ; 1 z dz z = + 解： 2 | | 2| | 2 111 0 12 zz dz dz zizizi = = + (4) 22 3 | | 2 ; (1)(4) z dz zz = + 解：与第二题类似，答案为 0. (6) | | () () n zR dz zazb = ,n 为正整数，ab 不在圆周|z|=R 上. 解：原式 0, 2 () 2 () 0,. n n a b i a ba i a ba a b = 均在圆外. 在圆外，b在圆内. 在圆内，b在圆外. 均在圆内 3.设 D 是由有限条可求长简单闭曲线围成的域， 1,n zz,是 D 中 n 个彼此不同的点.如果 ()()fH DC DI ，证明： ( )( )1( ) ( ) 2( ) nn nD zf P zd iz = 是次数不超过 n- 1 的多 项式，并且 1 ()(),1,2,.( )()( - ) kknn P zf zknzzzz z=， 其中，. （提示：证明 ( )( ) nn z z 是 z 的次数不超过 n- 1 的多项式.） 证明：由于 1 ( )() n zzz= n (z-z ) 从而 ( )( ) nn z z 是 z 的 n- 1 次多项式，记 ( )( ) h( , )( ) nn z zf z = 取 0 充分小，由 Cauchy积分公式 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 1 1 k 11 | 1 1( , ) ( )(, )() 2 ()k nn n kkjn j k z j k j j hz P zdh zzzz i z = = = = = 因为 ( ) h( , )( ) n z zf z = 是 z 的次数不超过 n- 1 的多项式， 故 P(z)是关于 z 的次数不超过 n- 1 的多项式. 又 1 ( )()(), n nkj j j k zzzzz = =故 ()() kk P zf z= 是关于 z 的次数不超过 n- 1 的多项式. 5.设 ( (0,1)( (0,1)fH BC BI .证明： 2 2 0 2 2 0 2 (1)()cos2 (0)(0); 2 2 (2)()sin2 (0)(0) 2 i i f edff f edff =+ = （提示：分别计算积分 11 1111 2( )2( ) 22 dd ff ii = + 和 即可.） 证明：由 Cauchy公式，得 22 00 1 1( )1()1 (0)() 222 i ii i ff e fdie df ed iiei = = , 2 2 0 1 1( )1 (0)() 22 ii f fdf eed i = = 又由 Cauchy定理， 1 ( )0fd = = 即 2 0 1 ()0 2 ii f ee d = +得 22 2 00 11 (0)()cos()(2cos1) 2 ii ff edf ed = 即 22 2 00 21 ()cos(0)()(0)2 (0) 2 ii f edff edff =+=+ 6.利用上题结果证明： 设( (0,1)( (0,1)fH BC BI,且(0)1,Re( )0ff z=,那么 2Re(0)2 f . 证明： 2 2 0 2 ()cos(0)2 (0) 2 i f edff =+ P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 两边取实部,即 2 2 0 2 Re()cos2Re(0)0 2 i f edf =+ 同理 2 2 0 2 ()sin2 (0)(0) 2 i f edff = 2 2 0 2 Re(0)2()sin202 2 i ff ed = 所以2Re(0)2 f . 3.53.5 习题习题 1设f是有界整函数, 12 ,z z是(0, )Br 中任意两点.证明： 12 ( ) 0 ()() zr f z dz zzzz = = 并由 得出 Liouyille定理. 证明：利用 Cauchy积分公式得 12 12121212 ( )()( )1( )( ) 2 ()() zrzr f zf zf zf zf z dzdzi zzzzzzzzzzzz = = 另一方面, 由于f有界, 0, . .( ),Mst f zMz C 由 Cauchy积分定理 121212 ( )( ) 20() ()()()()()() zrzRr f zf zM dzdzRR zzzzzzzzRzRz = = 从而 12 12 12 ( )() 20( )()( ) f zf z if zf zf zC zz = 2.设f是整函数, 如果当z 时,( )(| ),0,f zO z =证明f是次数不超过 的多 项式. 解：令 1n=+ () () ( ) 111 !( )!( )!| ( ) 2()2()2 !0 n nnn zR zRzR n nfnfnM fzddd izzR Rz n MR R + = = = = + 故 ( ) ( )0 n fz P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 4.设f是整函数,如果( );Im0fzz,证明f是一个常值函数. 证明：令 ( ) ( ) ( ) f zi g z f zi = + ,则|g(z)| 由上题知h常值,故f常值. 6.设f在域 D 上全纯, 0 zD 定义 0 0 0 00 ( )() , ; ( ) (),. f zf z zDz zzF z fzzz = = 证明： ()FH D 证明： 00 0 000 0 ( )() ()()limlim() zzzz f zf z F zfzF z zz = 故 F 在 0 z点也连续.将 F 限制在 0 (, )B z 上,则FM,对 D 内任一简单闭曲线,可取一含 于 0 (, )B z 的简单闭曲线使得( )( )f z dzf z dz = ,对0,由此易得( )0f z dz = ,从 而 F 在 D 上全纯. 7.设是可求长曲线,f在域 D 上连续,在 D 上全纯.证明：f在 D 上全纯. 证明：任取 D 中简单闭曲线 0 （1） 当含于 0 内部时,延长,交 0 于 A,B 两点. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 012 ( )( )( )0 ABBA f z dzf z dzf z dz + =+= （2） 同理,当, 0 相交时, 0 ( )0f z dz = 故由 Morera 定理知f在 D 上全纯. 3.63.6 习题习题 1、设 D 是由有限条可求长简单闭曲线围成的域, 1( )fC D.证明： （i） ( ) ( ) DD f ddfd = （ii） ( ) ( ) DD f ddfd = 证明：( )f 是域上的一个 0 次微分形式 1( )fC D,根据定理 3.6.1 DD fdf = 可得 ( )( )( ) ( )( )() DDDD fff fddfdddddd =+= 同理 ( )( )( ) ( )() DDD fff fdddddd =+= 4、设 D 是由有限条可求长简单闭曲线围成的域,f在D上全纯,zD