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第十一章、数列 第1节 数列的基本概念 考纲要求考纲研读 1.了解数列的概念和几种简 单的表示方法(列表、图 象、通项公式) 2.了解数列是自变量为正整 数的一类函数. 1.数列的通项公式揭示了项与项数之间的联 系,要掌握求通项公式的常用方法 2.数列是一种特殊的函数,可结合函数的性 质研究数列的性质,如研究数列的最大项、 通项或前 n 项和的最值等问题. 1数列的定义 按照 称为数列,数列中的每个数称为该数列的项数列可以看作 是定义域为 N*的非空子集的函数,其图象是一群孤立的点 2数列的表示方法 、 、 、 3数列的分类 (1)数列按项数的多少分为:有穷数列,无穷数列 (2)数列按前后项的大小来分: 递增数列:对于任何 nN*,均有 ; 递减数列:对于任何 nN*,均有 ; 摆动数列:例如:1,1,1,1,1,; 常数数列:例如:6,6,6,6,. 4通项公式 如果数列an的第 n 项与 之间可以用一个式子表示,那么这个公式 叫做这个数列的通项公式,即anf(n)并不是每个数列都有通项公 式,有通项公式的数列,其通项公式也不一定唯一 5递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即anf(an1)或anf(an 1,an2),那么这个式子叫做数列an的递推公式如数列an中,a1 1,an2an11,其中an2an11是数列an的递推公式 6数列的前 n 项和与通项的公式 (1) Sn . (2) an . 1数列 1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是( ) Aan2n1 Ban2n1 Can2n Dan2n1 2数列 2,5,11,20,x,47,中的 x 等于( ) A28 B32 C33 D27 3已知数列an的前六项为 1,12,16,112,120,则该数列的 一个通项公式( ) A1n(n1) B12n C1n(n1) D以上都不是 4下列对数列的理解有四种: 数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集1,2,3,n)上的函 数; 数列的项数是有限的; 数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; 数列的通项公式是唯一的 其中说法正确的是 (填序号) 5如图1111,第一个图中有1个,第二个图中有3个,第三个图 中有7个.按照此规律,第5个图中的数目是 . 图1111 1. (四川)数列an的前n项和为Sn,若a11,an13Sn(n1),则a6 ( ) A344 B34 C44 D45 2. 数列an的构成法则如下:a11,如果an2为自然数且该自然数 之前未出现过,则用递推公式an1an2,否则用递推公式an1 3an,则a6_. 1根据数列的前几项,用归纳法写出一个通项公式,体现了由特殊到 一般的思想方法,考查了基本的数学分析能力和观察能力熟知一些常 见数列的通项公式可起到事半功倍的效果一般步骤为: (1)分数中的分子与分母的特点;(2)相邻项的变化规律;(3)各项的符号 特征; (4)拆项后的变化规律,并对此进行归纳、化归、展开联想 2由Sn求an时利用公式an,注意验证a1是否包含在SnSn1的结果 中,若不符合要单独列出,形如f(Sn,an,n)0的递推关系式,一般考 虑上述公式 3求数列中最大(最小)项的方法 (1)若an最大,则若an最小,则 (2)考虑数列的单调性 认真听讲,做好笔记: 第2节 等差数列 考纲要求考纲研读 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式;并能运用有关知识解决 相应问题. 3.能在具体的问题情境中识别数列 的等差关系,并能用有关知识解决 相应的问题 4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.理解等差数列的概念,会用定义证 明一个数列是等差数列 2.能利用等差中项、通项公式与前 n 项和公式列方程求值 3.善于识别数列中等差关系或转化为 等差关系;能利用通项公式或前 n 项 和公式求最值. 1等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d, 这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的公差 2通项公式与前 n 项和公式a1 为首项,d 为公差, (1)通项公式 an ; (2)前 n 项和公式 Sn 或 . 3等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即:A 是 a 与 b 的等差中项2A a,A,b 成等差数列 4等差数列的常用性质 (1)数列an是等差数列,则数列anp、pan(p 是常数)都是等差数 列 (2)若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq;特别地,若 mn2p(m,n,pN*),则aman2ap. (4)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2kSk,S3kS2k,S4k S3k是等差数列 (5)等差数列的单调性:若公差 d0,则数列单调递增;若公差 d0,公比q1或首项a10,公比01时,数 列an单调递减;若公比q1,数列an为常数列;若公比q0,数列 an为摆动数列 1M是 a,M,b 成等比数列的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不 充分也不必要条件 2已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则an( ) A B C D 3设等比数列an的公比q2,前n项和为Sn,则( ) A2 B4 C D 4(广州调研)等比数列an的前 n 项和为 Sn,若S26,S430,则 S6 . 5等比数列an中,a37,前 3 项之和 S321,则公比 q 的值为 . 1.(北京)已知an为等差数列,且 a36,a60. (1)求an的通项公式; (2)若等比数列bn满足 b18,b2a1a2a3,求bn的前n 项和公 式 2. (广东)已知an是递增的等比数列,若 a2 2,a4a34,则此数 列的公比 q_. 3. (辽宁)设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3a42,3S2a3 2,则公比q( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4. (全国)设等比数列an的前n项和为Sn,已知a26,6a1a330, 求an和Sn. 5. (北京)在等比数列an中,若a1,a44,则公比q_;a1a2 an_. 6. (广东)已知数列an为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若a2a3 2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5( ) A.35 B.33 C.31 D.29 7. (安庆模拟)在等比数列an中,a2,a10 是方程 x28x40 的两 根,则 a6 为( ) A. -2 B.2 C.2 D4 1等比数列的判定方法 (1)定义法:q(nN*,q0是常数)an是等比数列 (2)中项法:aanan2(nN*)且an0an是等比数列 2解决与等比数列有关问题时常见的思想方法 (1)函数思想:在等比数列中anqn,它的各项是该函数图象上的一群孤 立的点 (2)方程思想:准确分析a1,q,an,Sn,n之间的关系,通过列方程(组) 可做到“知三求二” (3)整体思想:在应用等比数列an的性质“若mnp q(m,n,p,qN*),则amanapaq”或用“Snqn”时,要会用 整体思想进行代换(将视为一个整体) (4)类比思想:等差数列中的“和”、“倍数”可以与等比数列中 的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于类比思想的推广,更有 利于我们从整体上把握,使我们的学习达到事半功倍的效果 认真听讲,做好笔记: 第4节 数列的求和 考纲要求考纲研读 1.掌握等差数列、等比数列 的求和公式 2.了解一般数列求和的几种 方法. 对等差、等比数列的求和以考查公式为 主,对非等差、非等比数列的求和,主要考 查分组求和、裂项相消、错位相减等方法. 数列求和常用的方法 1公式法 (1)等差数列an的前n项和公式:Sn (2)等比数列an的前n项和Sn:当q1时,Sn ; 当 q1 时,Sn . 2分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 3错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求和 4裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项, 只剩有限项再求和 1数列an的前n项和为Sn,若an,则S5等于( ) A1 B C D 2若等差数列an中,a3a4a52,a4a5a65,则a8a9a10 ( ) A16 B17 C18 D19 3若数列an满足:a11,an12an(nN*),则a5 ,前8项的 和S8 (用数字作答) 4数列1,2,3,的前n项和Sn . 5数列an的通项公式an,若前n项的和为10,则项数n . 1. (重庆)设an是公比为正数的等比数列,a12,a3a24. (1)求an的通项公式; (2)设bn是首项为1,公差为2的等差数列,求数列anbn的前n项和 Sn.【利用公式或分组法求和法】 2.(全国)已知等比数列an各项均为正数,且2a13a21,a9a2a6. (1)求数列an的通项公式; (2)设bnlog3a1log3a2log3a3log3an,求数列的前n项和【裂 项相消法求和法】 3.(辽宁)已知等差数列an满足a20,a6a810. (1)求数列an的通项公式; (2)求数列的前n项和【错位相减法求和法】 1对于一般数列的求和,通常化归为等差、等比数列的求和,以考查 公式为主由于数列求和是由通项公式决定的,因此,从寻找数列的通 项公式入手,通过研究它的特点确定使用的方法是解决求和问题的关 键 2数列求和常见类型及方法 (1)anknb型,利用等差数列的前n项和公式直接求解 (2)ana1qn1型,利用等比数列的前n项和直接求解,但要注意对q分q 1与q1两种情况进行讨论 (3)anbncn,数列bn、cn是等比数列或是等差数列,采用分组求 和 (4)anbncn,数列bn是等差数列,cn是等比数列,采用错位相减法 求和 (5)对于通项可化为anff(n1)形式的数列,采用裂项相消法求和 (6)对于ankakc(c为常数),可考虑采用倒序相加求和 (7)annf,可采用相邻两项合并求解,即采用“并项法”求和 认真听讲,做好笔记: 第5节 利用几类经典的递推关系式求通项公式 考纲要求考纲研读 1.了解用通项公式表示数列的方法 2.掌握等差数列、等比数列的通项公 式 3.能用等差数列、等比数列的基本思 想求其他数列的通项公式. 1.掌握等差数列、等比数列的通项 公式是基础 2.能用累差、累商的方法求通项公 式 3.能利用待定系数法求几类经典的 递推关系式的通项公式. 数列通项的常用方法 (1)利用观察法求数列的通项 (2)利用公式法求数列的通项:等差、等比数列an的通项公式;an (3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:an1anf(n);an1 anf(n) (4)构造等差、等比数列求通项: an1panq;an1panqn;an1panf(n); an2pan1qan. 1数列an中,a11,对所有的n2都有a1a2a3ann2,则a3等于( ) A. B. C. D. 2在数列an中,若an1,a11,则a6( ) A13 B C11 D 3已知等差数列an和等比数列bn各项都是正数,且a1b1,a2n1 b2n1,那么一定有( ) Aan1bn1 Ban1bn1 Can1bn1 Dan1bn1 4已知等差数列an的前三项分别为 a1,2a1,a7,则这个数列 的通项公式为 . 5设等差数列an的前n项和为Sn,若a6S312,则an . 1. 已知数列an中,a11,an12an3,求数列an的通项公 式 2. 已知数列an中,a1,an1ann(nN*)求数列an的通项公 式 3. 已知数列an中,a11,an12an3n,求数列an的通项公 式 4. 已知数列an中,a11,a22,an23an12an,求数列an 的通项公式 5.(1)已知数列an中,a12,anan12n1(n2),求数列an的通 项公式; (2)已知Sn为数列an的前n项和,a11,Snn2an,求数列an的通项 公式 1

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