随机事件的概率、古典概型、几何概型.ppt

3.1.1 3.1.1 随机事件的概率随机事件的概率 必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫做必然 事件. 比如：“导体通电时发热”，“抛一石块，下落 ” 都是必然事件 一. 必然事件、不可能事件、随机事件 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫做 不可能事件. 比如：“在常温下，铁能熔化”，“在 标准大气压下且温度低于0时，冰融化”， 都是不可能事件 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事 件,叫做随机事件. 比如“李强射击一次，中靶”，“掷一枚硬币， 出现正面”都是随机事件 二.概率的定义及其理解 怎样才能获得随机事件发生的概率呢？ 对于随机事件，知道它发生的可能性大小 即知道它发生的概率是非常重要的。 获得随机事件发生的概率最直接的方法就是试验。 例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验，结果如下表 ： 抛掷次数( )正面向上次 数（频数 ） 频率（ ） 204810610.5181 404020480.5069 1200060190.5016 240001201205005 30000149840.4996 72088361240.5011 结论: 随机事件A在每次试验中是否发生是不能预 知的，但是在大量重复实验后，随着次数的增 加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0，1 中的某个常数上。 一般的， 在相同条件S下重复n次试验，观察某 一事件A是否出现，称n次试验中事件A出 现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A 出现的比例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率 。 对于给定的随机事件A，如果随着实验 次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在 某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事 件A的概率，简称为A的概率。 （1）频率是概率的近似值，随着试验次 数的增加，频率会越来越接近概率。频率本 身是随机的，在试验前不能确定。 （2）概率是一个确定的数，是客观存在 的，与每次试验无关。 概率与频率的关系： 注意以下几点： （1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验； （3）概率是频率的稳定值，而频率是概率 的近似值； （2）只有当频率在某个常数附近摆动时， 这个常数才叫做事件 的概率； （4）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小； （5）必然事件的概率为1，不可能事件的 概率为0因此 古典概型 事件A与事件B互斥：事件A与事件B在任何一次 试验中不会同时发生,且P(A+B)=P(A)+P(B) 事件A与事件B互为对立事件：事件A与事件B在 任何一次试验中有且仅有一个发生,且P(A)=1-P(B) 事件的关系 虽然通过实验和观察的方法，可以得到 一些事件的概率估计，但是这种方法耗 时多，而且得到的仅是概率的近似值。 在一些特殊情况下，可以构造出计 算事件概率的通用方法。 古 典 概 率知识新授： 考察两个试验 (1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验 基本事件(1)中有两个基本事件 (2)中有6个基本事件 特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本 事件的和 在一个试验可能发生的所有结果中，那些不能 再分的最简单的随机事件称为基本事件。(其他事 件都可由基本事件的和来描述) 1、基本事件 我们会发现，以上试验有两个共同特征： (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有 有限个，即只有有限个不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的. 我们称这样的随机试验为古典概型. 2、古典概型 一般地，对于古典概型，如果试验的基本事 件为n,随机事件A所包含的基本事件数为m，我们 就用 来描述事件A出现的可能性大小，称它为 事件A的概率，记作P(A)，即有 . 我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率. 3、古典概率 求古典概型的步骤： （1）判断是否为等可能性事件； （2）计算所有基本事件的总结果数n （3）计算事件A所包含的结果数m （4）计算 【例1】从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求 两数都是奇数的概率. 解：记“两数都是奇数”为事件A (12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45) n=10 两数都是奇数的结果是： (13)，(15)，(3,5) m=3 P(A)= 所有可能的结果是： 【例2】同时掷两个骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ （4）两数之和是3的倍数的概率是多少？ 1点2点3点4点5点6点 1点234567 2点345678 3点456789 4点5678910 5点67891011 6点789101112 (1)36 (2)4 (3) (4) 【例3】某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现 随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉 ，问第二次才能打开门的概率是多少？ 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？ 有无放回问题 小小 结结 2、古典概型 (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有 有限个，即只有有限个不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的. 3、古典概率 1、基本事件 问题1：奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶 心直径为12.2cm，运动员在70m外射假设射 箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可 能的，那么射中黄心的概率有多大？ 122 cm 问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？ 3m 问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯 从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率. 问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？ （1）试验中的基本事件是什么？ l能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？ （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位 置可以是长度为3m的绳子上的任意一点. (1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性 l上面三个随机试验有什么共同特点？ 对于一个随机试验,如果每个事件发生的 概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积 ）成比例，则称这样的概率模型为称为几何概 率概型，简称几何概型 数学理论： 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性， 就得到几何概型 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. 古典概型与几何概型的区别. 几何概型的概率公式. 3.几何概型的概率公式. l如何求几何概型的概率？ 122cm P(A)= 3m 1m1m P(B)= P(C)= 数学运用： 例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开 收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于10分钟的概率. 解：设A=等待的时间不多于10分钟.我们所关心 的事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间 段内,因此由几何概型的求概率的公式得 答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为 例 2. 甲、乙二人约定在 12 点到 17点之间在某地会 面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内 的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响求二人 能会面的概率. 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 即 点 M