4年级--2015年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛及答案.pdf

1 第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级第 1 试试题 2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至 10:00 以下每题以下每题 6 分，共分，共 120 分分. 1.计算：2468 6291234 37. 2.有一个除法算式，被除数和除数的和是 136，商是 7，则除数是. 3.定义ababab，则234的值为.、 4.买一支水彩笔需要 1 元 7 角，用 15 元钱最多可以买这样的水彩笔支. 5.王雷是国庆节那天出生的.若他年龄的 3 倍减去 8 刚好是他出生那月的总天数，则王雷今年 _岁. 初赛真题 2 6.数一数，图 1 中共有个三角形. 7.某班 30 个人参加跳绳比赛，开始时有 4 人迟到没有参加比赛，这时平均成绩为 20 个，后来这 4 位同学 赶到了比赛场地，分别跳了 26,27,28,29 个.这时全班同学的平均成绩是个. 8.明明临摹一本练习毛笔字，临摹第一遍时，他每天写 25 个字，临摹第二遍时，他每天多写 3 个字，结果 恰好比第一遍少用了 3 天，则这本字帖共有字. 9.图 2 由 16 个1 1的小正方形组成，图中ABC的面积是. 10. 乌龟和兔子在全长为 1000 米的赛道上比赛，兔子的速度是乌龟的 15 倍，但兔子在比赛过程中休息了一 会儿，醒来时发现乌龟刚好到达终点，而此时兔子还差 100 米才到终点，则兔子休息期间乌龟爬行了 米. 3 11.任意一个一位奇数与任意一个一位偶数相乘，不同的乘积有_个. 12.一个长方形的相框长为 40 厘米，宽为 32 厘米，放入一张长为 32 厘米宽为 28 厘米的相片，则相框中 没有被照片覆盖的部分的面积是_平方厘米. 13. 爷爷，爸爸，小明今年的年龄分别是 60 岁，35 岁，11 岁，则再过_年爷爷的年龄等于小明和爸爸 年龄的和. 14. 一个长方形的长和宽都增加 3 厘米后，面积增加了 90 平方厘米，则原长方形的周长是_厘米. 15.甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋， 若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍， 那么应从乙筐内取出_个鸡蛋放入甲筐. 4 16. 王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走 20 米，25 分钟后姐姐到体育馆， 这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆 300 米的地方遇到了王蕾，则王 蕾家到体育馆的路程是_米. 17. 如图 3，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第 25 个图形需要小正方形_个. （1）（2）（3）（4） 图 3 18.若1069cbaabc，则这样的abc有 _个. 19. 某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，若每个考场安排 30 名考生，则会有一个考场 有 26 名考生；若每个考场安排 26 名考生，则会有一个考场有 20 名考生，并且要比前一种方案多用 9 个考场，则该地区参加考试的考生有_名. 20.图 4 由 3 个边长是 6 的正方形组成，则图中阴影部分的面积是_. 5 第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级第 1 试试题 2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至 10:00 以下每题以下每题 6 分，共分，共 120 分分. 1.计算：2468 6291234 37. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 1 题 【考点】巧算 【难度】 【答案】34 【解析】原式=2468629123437 =2468123462937 =217 =34 2.有一个除法算式，被除数和除数的和是 136，商是 7，则除数是. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 2 题 【考点】和倍问题 【难度】 【答案】17 【解析】（1）被除数除数=7，因此我们能得到被除数是除数得 7 倍. （2）如果设除数是 1 份，那么被除数就是 7 份，它们的和是 136. 所以每份量为：1368=17.即除数是 17. 3.定义ababab，则234的值为.、 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 3 题 【考点】定义新运算计算 【难度】 【答案】59 【解析】有括号先算括号：23 =2+3+2 3=11 那么234=114=11+4+11 4=59 4.买一支水彩笔需要 1 元 7 角，用 15 元钱最多可以买这样的水彩笔支. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 4 题 【考点】应用题 【难度】 答案详解 6 【答案】8 【解析】1 元 7 角相当 17 角，15 元相当于 150 角. 可列出如下算式：15017=8.14 故最多可以买这样的水彩笔 8 支. 5.王雷是国庆节那天出生的.若他年龄的 3 倍减去 8 刚好是他出生那月的总天数，则王雷今年 _岁. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 5 题 【考点】还原问题应用题 【难度】 【答案】13 【解析】（1）因为王雷是国庆节出生的，他出生那月（也就是 10 月）的总天数是 31 天. （2）他年龄的 3 倍减去 8 刚好是 31，因此他的年龄是：31 8313. 6.数一数，图 1 中共有个三角形. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 6 题 【考点】图形计数计数 【难度】 【答案】24 【解析】（1）有一个小单元组成的三角形有：8 个； （2）有两个小单元组成的三角形有：3228个； （3）有三个小单元组成的三角形有：2 24个； （4）有四个小单元组成的三角形有：224个； （5）有五、六、七、八个小单元组成的三角形都不存在. 因此图中共有：884424个. 7.某班 30 个人参加跳绳比赛，开始时有 4 人迟到没有参加比赛，这时平均成绩为 20 个，后来这 4 位同学 赶到了比赛场地，分别跳了 26,27,28,29 个.这时全班同学的平均成绩是个. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 7 题 7 【考点】平均数应用题 【难度】 【答案】21 【解析】（1）刚开始来到的 26 人跳的总个数：30420520个； （2）30 人跳的总个数：52026272829630个； （3）全班平均成绩为：6303021个. 8.明明临摹一本练习毛笔字，临摹第一遍时，他每天写 25 个字，临摹第二遍时，他每天多写 3 个字，结果 恰好比第一遍少用了 3 天，则这本字帖共有字. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 8 题 【考点】盈亏问题应用题 【难度】 【答案】700 【解析】法一：盈亏方法解应用题 第一遍比第二遍多用了 3 天，又因为每天写 25 个字，因此这三天多写了32575个字. 因为这两遍写的字数是一样的，因此第二遍用的天数：75325天. 所以字帖共有：25253700个. 法二：比例法解应用题 由于两遍写的字数一样多，因此写字的天数比为每天写的字数的反比。 所以第一遍的天数与第二遍的天数比为：28：25 可令第一遍天数为 28 份，第二遍天数为 25 份，则第一遍比第二遍多 3 份。 所以每份天数：33=1（天） 第一遍天数为 128=28（天） 字帖共有 2528=700（字） 法二：列方程解应用题 设第一遍摹了x天，那么第二遍摹了3x 天，根据题意可列方程如下： 25328xx 解方程得：28x 因此共有字：2825700个. 9.图 2 由 16 个1 1的小正方形组成，图中ABC的面积是. 8 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 9 题 【考点】毕克定理、图形分割几何 【难度】 【答案】7 【解析】法一：毕克定理 由正方形格点下的毕克定理可知：面积=内点数+边点数2-1 那么ABC的面积为：64217 法二：图形分割 ABC和另外三个边外的三角形恰好组成一个正方形； 因此ABC的面积为： 444222 324 127 10. 乌龟和兔子在全长为 1000 米的赛道上比赛，兔子的速度是乌龟的 15 倍，但兔子在比赛过程中休息了一 会儿，醒来时发现乌龟刚好到达终点，而此时兔子还差 100 米才到终点，则兔子休息期间乌龟爬行了 米. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 10 题 【考点】行程问题 【难度】 【答案】940 【解析】（1）乌龟走 1000 米，兔子走了：1000100900米； （2）因为兔子是乌龟速度的 15 倍，那么兔子爬 900 米，乌龟应该爬：9001560米； 而乌龟爬了 1000 米，所以乌龟多爬的100060940米是在兔子休息期间进行的。 11.任意一个一位奇数与任意一个一位偶数相乘，不同的乘积有_个. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 11 题 【考点】加乘原理计数 【难度】 9 【答案】19 【解析】（1）一位数奇数有：1、3、5、7、9；一位数偶数有 0、2、4、6、8. （2）0 和任意数相乘得数相同，因此 0 与奇数相乘的不同乘积有：1 个； 2、4、6、8 和奇数相乘得意得到的乘积有：4520个. 法一：计算找相同乘积 通过计算可知：236 1;2963重复了 2 个； 因此不同的乘积有：201219 个. 法二：通过因数分析找相同乘积 （i）8 里面有 3 个 2 相乘，而 2、4、6 均没有 3 个 2，奇数里没有 2，故 8 和任意 奇数相乘的结果不会和其他偶数与奇数相乘的结果相同. （ii）4 里面有 2 个 2，而 2、6、8 均不是有 2 个 2，奇数里没有 2，故 4 和任意奇 数相乘的结果不会和其他偶数与奇数相乘的结果相同. （iii） 2 和 6 里面都有 1 个 2 因数，因此可能会出现相同的乘积； 6 里面还有 3 这个因数，因此要想相同，2 乘的另一个奇数一定是 3 的倍数， 因此可以很快检验出236 1;2963这两个乘积结果重复了. 因此不同的乘积有：201219 个. 12.一个长方形的相框长为 40 厘米，宽为 32 厘米，放入一张长为 32 厘米宽为 28 厘米的相片，则相框中 没有被照片覆盖的部分的面积是_平方厘米. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 12 题 【考点】面积几何 【难度】 【答案】384 【解析】由题意可知：40 323228324028384平方厘米. 13. 爷爷，爸爸，小明今年的年龄分别是 60 岁，35 岁，11 岁，则再过_年爷爷的年龄等于小明和爸爸 年龄的和. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 13 题 【考点】年龄问题应用题 【难度】 【答案】14 10 【解析】法一： （1）要想爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和，则小明和爸爸增加的总和要比爷爷增加的多： 6035 1114岁. （2）每过一年，小明、爸爸、爷爷都增加 1 岁，小明和爸爸的增加的总和比爷爷多增加了 1 岁； 因此要再过：14 1 14 年，小明和爸爸的年龄和等于爷爷的年龄. 法二：找不变量 年龄问题中，年龄差是不变的。所以爷爷与爸爸的年龄差不变，都是 65-35=25（岁） 又根据题意爷爷年龄是爸爸和小明的年龄和，则爷爷与爸爸的年龄差为小明的年龄。 所以当小明 25 岁的时候，满足条件。 25-11=14（年） 14. 一个长方形的长和宽都增加 3 厘米后，面积增加了 90 平方厘米，则原长方形的周长是_厘米. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 14 题 【考点】面积问题几何 【难度】 【答案】54 【解析】根据题意可画出下图： 阴影部分的面积是 90 平方厘米，通过变形把 3宽的阴影部分移动到右下角空白长方形处. 因此：9033长宽. 那么：3=903=30=903=30长宽厘米 =303=27长+宽厘米 故原长方形的周长为：272=54厘米. 15.甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋， 若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍， 那么应从乙筐内取出_个鸡蛋放入甲筐. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 15 题 【考点】应用题 【难度】 【答案】24 【解析】最终想让甲筐内的鸡蛋是乙筐内的两倍，如果把乙筐的数量看成 1 份，那么甲筐的就是 2 份，总 11 数不变，因此 3 份量等于：5463=117个 1 份量为：1173=39个 后来的乙的数量为 1 份量也就是 39 个，因此需要拿出：6339=24个放到甲筐内. 16. 王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走 20 米，25 分钟后姐姐到体育馆， 这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆 300 米的地方遇到了王蕾，则王 蕾家到体育馆的路程是_米. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 16 题 【考点】行程问题 【难度】 【答案】1500 【解析】根据题意可画下图： （1） 相遇时，姐姐比王蕾多走了：3002=600米. （2） 姐姐和王蕾花费的时间相同，姐姐每分钟比王蕾多走 20 米，相遇时一共多走了 600 米，因 此他们从家到体育馆花费了：60020=30分钟. （3） 25 分钟姐姐到达体育馆， 可知后来的 300 米姐姐花费了3025=5分钟； 因此姐姐的速度为： 300560（米/分）. （4） 家到体育馆的距离为：60251500米. 17. 如图 3，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第 25 个图形需要小正方形_个. （1）（2）（3）（4） 图 3 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 17 题 【考点】等差数列计算 12 【难度】 【答案】625 【解析】通过观察可知第 25 个图形的小正方形总数为：1357.472521 法一：等差数列 计算该等差数列得：149252625个. 因此第 25 个图形需要 625 个小正方形. 法二：特殊计算（天下无双，个数平方） 总和：1357.4725 2 125 25625个. 因此第 25 个图形需要 625 个小正方形. 18.若1069cbaabc，则这样的abc有 _个. 【出处】2015 希望杯四年级初赛第 18 题 【考点】位置原理数论 【难度】 【答案】8 【解析】（1）通过位值原理可得： 1001010010 10110120 10120 1069 abccba abccba acb acb （2）根据101201069acb的个位数字 9 可知：ac的个位一定是 9； 又因为ac、最大值均不超过 9，因此9ac，可得b一定是 8. （3）分析9ac有多少种情况： 因为ac、都出现在第一位上