电路分析基础7二阶电路.ppt

电路分析基础 教师：张 荣 专业基础课 第七章 二阶电路 v含有两个动态元件的线性时不变电路 ，用线性、常系数的二阶常微分方程 描述，称为二阶电路 能量的转移 微分方程的建立 微分方程的求解 电路全响应瞬态响应稳态响应 7.1 LC电路中的正弦振荡 v二阶电路同时涉及电场能量和磁场能量 vLC电路（无电阻）中电场能量和磁场能量 是不断转换的，总量保持恒定 LuL + - i(t) LCLC电路电路 uc + - C LC电路电压和电流 L i(t) u + - C 电压为零，电流达到最大值，电路 能量完全存储于电感磁场 起始时刻电流为零，电路能量完全 储存于电容电场中 电流增长，电压降低，电容电场能 量向电感磁场转移 电压上升，电流下降，电容电场能 量向电感磁场转移 电流下降，电压继续下降，电感磁 场能量向电容电场转移 电流为零，电压达到负最大值，电 路能量完全存储于电容电场 L i(t) u + - C 电流为零，电压达到最大值，电路 能量完全存储于电容电场中 电压为零，电流达到负最大值，电 路能量完全储存于电感磁场中 电压上升，电流上升，电感磁场能 量向电容电场转移 （至此完成一个能量转移周期，无耗能元件，总能量守恒 ） L i(t) u + - C L i(t) u + - C 7.2 RLC串联电路的零输入响应 由KVL得 VCR 令 2=R/L, 称为衰减常数，0= 称 为固有振荡频率。 初始条件 根据零输入响应的定义，令us=0，同时为了简 化讨论中的计算，又不失一般性，令uC(0)=U0， iL(0)=0。 上式为二阶齐次微分方程，其特征方程为 二阶常微分方程的齐次解 特征根为 (1) 0，即R2 。此时p1, p2为不相等的负 实数，称为过阻尼情况。令特征根 微分方程的通解为 代入初始值 回路中的电流 放电电流达最大的时刻tm可用求极值的方法解得，令 过阻尼时的uC和i的波形 分析可知： (1) (2) 令 diL / dt =0 , 求得 iL 的极值点 (3) 且uc(t)单调下降 结果分析 *过渡过程的能量 情况如下图所示 ： *过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。 *电压和电流表达式中，特征根 p1 (P1P2)对应 项在过渡过程中起主要作用。 *t = 0 时，uc(t) 的导数为零，这是与一阶电 路响应的区别。 (2) =0, 即 。 此时p1, p2为相等的负实数 ，称为临界阻尼。特征根为 微分方程的通解为 由初始条件 (3) 0, 即 。 此时p1, p2为一对共轭复 根，称为欠阻尼或衰减振荡。特征根为 式中A和为待定常数。由初始条件 特解为 (衰减振荡角频率) d 0 得 欠阻尼时的uC和i 波形 分析可知： (1) uc 和 iL 均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。 (2) (3) uc 的过零点为 iL 的过零点为 (4) uc 的极值点即 iL的过零点。 由 可求得 iL的极值点为 结果分析 *过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能 电阻的存在，总能量逐渐减少。 C 放能 L 吸能 R 耗能 放能 放能 耗能 吸能 放能 耗能 *欠阻尼情况下，电路具有衰减振荡的过渡过程。 uc(t) 和iL的包络线函数分别为 称 为衰减系数， 越大，则电压和电流衰减越 快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压 和电流振荡越剧烈。 *由 可知，若电路中L、C一定，则R越小， 就越小 ， d 就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强 ，过渡过程时间也会越长。可以想象，若R0， 则过渡过程会无休止地进行下去。 当R=0时，=0, 由上式可知，此时uC和i为等幅振荡。这是由于 R=0， 电路仅由L、C构成，在振荡过程中不再 有能量损耗。 该振荡由电路的初始储能所产生 ，故称为自由振荡。 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应 若以p1，p2为不相等的负实根为例，其零状态响应为 由初始条件 解得 当p1=p2=-, 临界阻尼时 当p1, 2=-jd , 欠阻尼时 当p1 =-1 p2=-2 , 过阻尼时 7.3 恒定电源作用下RLC串联 电路的全响应 换路后电路如图，电 路响应由电源和电路 的原始储能共同产生 。 可推得： （1）式通解为： 初始条件为： 其中 ucp 为方程（1）的一个特解，可求得： uch 为方程（1）对应齐次方程的通解，它的形 式决定于方程的特征根。 求出（3）式后，代入初始条件（2），可确定2 个待定的积分常数。 uch 称为固有分量,ucp称为强制分量。若电 路特征根均有负实部，则uch是衰减的，这 种情况下,又称uch为暂态分量,ucp为稳态分 量。 系统过渡过程的性质决定于uch,即决定于 电路的特征根。 解： 如图电路中，当 时的微分方程为 方程的强制分量（即稳态值）为 因为 ，即 电路为过阻尼情况。 例: 如图所示的电路中， ，求 时的 所以相应齐次方程的通解（即暂态分量）形式为 其中 即 式(1)的全解，即电压响应为 电流响应为 将初始条件 代入(2)(3)两式得： 将A1和A2代入式(2)和式(3)得全响应 代入数据后得 7.4 恒定电源作用下的GCL 并联电路分析 GCL并联电路如图所示， 它是RLC串联电路的对 偶电路。 所以 由于 根据KCL有 可推得 上式可改写为 其中 初始值为 例题 例1：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠 阻尼情况。 解：由KVL可知 由KCL知 则 i(t) RL=1H uS(t) 而 将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程 其特征方程为 特征根为 因 ，电路为过阻尼情况。 例2：电路如图所示， 试求零输入响应 解：求出两个固有频率为 的零输入响应呈临界阻尼形式，设 求导数 代入初始条件，得方程组 求出 得到 例3：如图所示电路，求的阶跃 响应，若G=10S 解：电路方程如下 其中 或 当 时用(a)式,当 时用(b)式 G=10S时， 属于过阻尼 其中特解 。已知 ，故得 由此可得 故得 例4：如图RLC电路，R= 4, L=1H, uc(0)=4V, i(0)=2A, t=0时刻K闭合，试分别计算（1）C=1/20F（2）C=1/4F （3）C=1/3F 时电流i(t)。 R K L uL + - i(t) RLC串联电路 +- uR uc + - C 解：电路方程为： 特征方程特征根： 初始条件 i(0)=2A K1=2 （1） uc(0+)=4V uL(0