《数学物理方法》第十二章_10-2008级.ppt

耐心+坚持+努力 成功 1 第十二章 积分变换法 积分变换法是物理学与其他应用科 学中求解数学物理方程的一种重要 方法， 它适用于求解无界区域及 半无界区域的定解问题。 2 积分变换法是 l通过对数理方程的积分变换，减少自变量的 个数，直至化为常微分方程，使求解问题大 为简化。 l此外，积分变换法还可以用来计算定积分， 求解常微分方程和积分方程 l本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉 斯变换法。 3 12. 1 傅里叶变换 本节介绍傅里叶级数、傅 里叶积分、傅里叶变换和 傅里叶变换的性质。 4 12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数 1.傅里叶级数 l一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间-l, l 上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第 一类间断点，并只有有限个极大值和极小值 ），则在-l, l 上可展开为傅里叶级数 5 6 7 8 9 10 11 12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数 1.傅里叶级数 l一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间-l, l 上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第 一类间断点，并只有有限个极大值和极小值 ），则在-l, l 上可展开为傅里叶级数 12 2.复数形式的傅里叶级数 l它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则 13 l用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用 l进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部 改用n表示，即得展开系数 14 12.1.2 傅里叶积分 1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理 l周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大 2l，函数值就有一次重复; l非周期函数没有这个性质，但可认为它 是周期2l 的“周期函数”，从而可以 由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l , 把符合一定条件的非周期函数展开为 傅里叶积分 15 l可以证明，如果定义在(-,)的函数f(x) , 在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且绝 对可积 = 有界 ，则在f(x)的连 续点处，傅里叶积分存在 l在f(x)的第一类间断点处，积分等于 l这称为傅里叶积分定理 16 现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分 l由于l , 相邻两kn，值之差为 l将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得 l后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶 积分式(12.1.7). Cn 1/l 17 2. 三维形式的傅里叶积分 l现在，将傅里叶积分由一维推广到三维 l则式(12.1.9)可写成 采用矢量记号 18 3. 傅里叶积分的三角形式 l由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利 用欧拉公式可得 l被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的 积分为零；余弦项是k的偶函数，为(0, )积分值的2倍。故 19 20 12.1.3 傅里叶变换 1.傅里叶变换的定义 l在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令 l这表明 f(x)与 是互相对应的： f(x)描述的 物理问题，也可以等效地用 来描述 21 l从数学上讲，函数f(x)与 的关系就是一 个积分变换的关系我们称 为f(x)的傅 里叶变换，记作 = Ff(x)，即 l称f(x)是 的傅里叶逆变换，这个运算称 为反演，记作 ，即 l通常还把 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称 为 的像原函数 22 由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的 傅里叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即 l在量子力学中，粒子的状态是用波函数 来描述的以粒子动量为自变量的波函 数c(p, t)就是以粒子坐标为自变量的波函 数c(x, t)的傅里叶变换。 23 2.傅里叶的正弦变换和余弦变换 l若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12) 和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见 A(k)=0，将B(k)记作 。 将结果代入式 (12.1.11)，并采用记号 l上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换 24 2.傅里叶的正弦变换和余弦变换 l若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式 (12.1.12)和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性 易见B(k)=0，将A(k)记作 。 将结果代 入式(12.1.11)，并采用记号 l上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换 25 3. 三维傅里叶变换 l正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)， 式(12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得 26 【例12.1.1】求 的傅里叶变换 l解 27 【例12.1.2】求f(x)=exp2ax2 的傅里叶 变换，其中a为正数 l解 由傅里叶变换的定义出发，并利用 4.2节例4.2.7 的结果，便有 28 【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a0) 解 由定义 l由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变 换不存在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b 0) 29 【例12.1.4 】试证明 l解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数， l 由傅里叶正弦变换的定义 l可见，只要证明 , 也即证明e-k满 足傅里叶正弦逆变换(见式(12.1.20) 则本题得证 30 l实际上，通过两次分部积分可证，留给读者 作为练习 31 4. d函数的傅里叶展开 ld函数可以表示为指数函数与三角函数的傅 里叶积分 l证明 令f(x)=d (x-x)代入式(12.1.14), 得 l将上式代入式(12.1.15) 即有 (12.1.25b) 32 利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得 l式(12.1.25a)的三维形式为 l这几个d公式(12.1.25)和 (12.1.26)在量 子力学中有着广泛的应用 33 12.1.4 傅里叶变换的性质 假定下面需要取傅里叶变 换的函数，均满足傅里叶 变换的条件 34 1.线性定理 l若a1 、a2为任意常数，则对任意函数 f1(x)及f2(x) ，有 35 证明 由定义出发 36 2.延迟定理 l设x0为任意常数，则 l证明由定义出发，令u=x-x0可得 l由式(12.1.16)可见,Ff(x)仅为k的函数，与x 无关(x是定积分的积分变量) 故 Ff(u)=Ff(x) (12.1.30) 37 3.位移定理 l设ko为任意常数，则(见习题12.1.9) 38 4.相似定理 l设a为不等于零的常数，则 l证明 令u=ax，分别讨论a0与a 0) l若s足够大，函数 f1(t) 的傅里叶变换就有可能 存在(见拉氏变换存在定理)，于是 l它的傅里叶逆变换为 80 作变量变换 p = s+iw (12.3.4) l定义函数 为f1(t) 的傅里叶变换 l将式(12.3.5)，式(12.3.4)代入式(12.3.2) l在0,内，fl(t)e-s t f(t) ，将式(12.3.1)、式 (12.3.4)、式(12.3.5)代入式 81 两边乘 e-s t l这样，式(12.3.6 )与式(12.3.7)构成一对新的积 分变换，并称 为 f(t) 的拉氏变换，记作 l式(12.3.7) 称为梅林(Mellin)反演公式，亦即 的拉氏逆变换，记作 l称 为f(t)的像函数, f(t)为 的像原函 数 82 12.3.2 拉氏变换的存在定理 l若函数f(t)满足下述条件 l(1) 当ts0上存在且解析 图12.3 83 证明 (1) 证明 存在。由 l所以积分式(12.3.6)绝对收敛，且 在右 半平面Re p = ss0存在. (2) 证明 解析。在式(12.3.12)的积分号内 对p求偏导，并取 (s1为任意实常数)，则有 (12.3.12) 84 这表明 在半平面Re p = ss0上一致收敛，交换积分 与微商的次序，得 l既然 的导数在Re p = ss0上存在且有 限，故 在Re p = ss0内解析. 85 12.3.3 常用函数的拉氏变换 (1) 若f(t)Ceat (a为复数)，则 (12.3.13) (2) 若f(t)sinbt 或 cosbt (b为复数)，则 (12.3.14) (12.3.15) 86 (3) 若 f(t) = tb (Reb -1)，则 l分别令b =-1/2 及b =n (式中n=0,1,2,), 则 Rep 0 (12.3.16) 87 其他函数的拉氏变换 l可以通过上述函数的拉氏变换及拉氏变换的 性质求得，也可直接由定义出发计算，还可 直接查阅拉氏变换表(表12-1). 表 12-1 88 表 12-1 续 89 12.3.4 拉氏变换的性质 l假定取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换的 条件(见拉氏变换的存在定理) 1. 线性定理 l若al、 a2为任意常数，则 (12.3.20 ) (12.3.19) 90 证明 只证明式(12.3.19)，第二式的证明留作 练习. 由定义出发 91 【例12.3.1】求Lshat和Lchat的值. l 解 92 2.延迟定理 l设 t 为非负实数，则 Lf(t-t) = e-pt Lf(t) (12.3.21) l证明 由定义出发u = t-t , 可得 l利用us0是一致收敛的，上 面交换积分次序是“合法的 ” 101 9.卷积定理 L f1(t)f2(t) = L f1(t)L f2(t) (12.3.31) l证明 由卷积及拉氏变换的定义出发，交换积 分次序，作变量代换 u = t-t ，可得 102 下限可写成零，将exp(-pt)提出积分号外，有 l计算 l对上式作逆变换，即有 由于当u0时f(u)=0 的积分 103 l根据梅林定理导出拉普拉斯变换普遍的 反演公式-展开定理 l10.展开定理 展开定理 l若当 一致地趋于零，且 只有有限个孤立奇点bk( k =1,2,)，则 104 证明 梅林公式为 l梅林公式的积分路线是p平 面上与虚轴平行的直线 l ( 图12.4) l为了运用留数定理进行计 算，选择一条闭合回路L： 以坐标原点为圆心, R为半 径作一圆弧CR，使CR与L构 成一闭合回路 L = CR + l 105 仿照若当引理，可以证明 l回路L由 l +CR构成，由上式及留数定理可得 l式中bk为 在p平面上有限远处的全 部奇点。拉普拉斯变换的存在定理指出， 在直线L的右侧解析 106 【例12.3.4】已知 l解 首先将 之积，其中 l 由式(12.3.13)得 l 其拉氏逆变换为 107 由例12.3.3得 l其拉氏逆变换为 l 差一个因子p，利用微分定 理于g(t) =te-b t ,便有 l其拉氏逆变换为 108 将式(12.3.33)及式(12.3.35)代入卷积定理 l对上式作拉氏逆变换，因为已假设作拉氏变 换的函数满足存在定理的条件(1)，即函数的 宗量小于零时, 该函数为零. l由t-t0及t0得t 的积分区域为0到 t 109 据此得 l最后的等式是利用分部积分法求得的. 110 【例12.3.5】求解常微分方程的初值问题 l(1)对初值问题作拉氏变换.利用微分定理及初 始条件可得 l(2)求解像函数 解上述代数方程，得 111 (3) 对像函数作拉氏逆变换. l利用卷积定理可得 l由例12.3.1得 C0ch(at) 及 C0/ach(at) 112 将以上三式代入式(12.3.36)，得 113 【例12.3.6】已知 l解 f(p)为多值函数，支 点为-1到。从-1到-沿 负实轴作割线，规定割 线上岸 l (p+1)的辐角值为p，割 线下岸辐角为-p： l选择积分回路L如图12.5 所示. 试利用展开定理，求 f(t). 114 对于圆弧Ce上的p，有|p+1|=e l由小圆弧引理得 l由 在回路L内部解析, 故回路积分为零 115 根据梅林公式及留数定理得 116 作变量代换u=x2，利用欧拉积分 117 作业- 12.3 第271页 A组B组C组 1. 12.3.4 2. 12.3.6 3. 12.3.7 1. 12.3.2 2. 12.3.6 3. 12.3.7 1. 12.3.3 2. 12.3.6 3. 12.3.7 118 12.4 拉普拉斯变换法 本节应用拉氏变换求解波动方 程与热传导方程的定解问题.无 论方程与边界条件是否为齐次 ，其求解步骤均为： l对方程及边界条件作拉氏变换 ； l求解象函数， l对象函数作拉氏逆变换得解. 119 l采用拉氏变换法求解定解问题时, 往往 是针对时间变量t进行的, 特别是对带有 边界条件的定解问题. l在解题时，采用简写记号 120 12.4.1 波动方程的定解问题 【例 12.4.1】求解半无界波动方程的混合问题 解 1. 对方程和边界条件作关于t 的拉氏变换. 由拉氏变换的定义、微分定理及初始条件可 得带参数 p 的常微分方程的边值问题 121 l2. 求解象函数u(x,p)方程 (12.4.4)的通解是相应的齐次方程的通解与 (12.4.4)式的特解之和, 即 l将式(12.4.6)代入式(12.4.5), 得C10, C2 l代入上式，便有 122 (3