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HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 十九世纪末二十世纪初， 和概率论的发展， 门学科。 真正诞生了数理统计学这 随着近代数学 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 数理统计学是一门应用性很强的学科。 是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析 带有随机性的数据， 推断和预测， 供依据和建议。 以便对所考察的问题作出 直至为采取一定的决策和行动提 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 数理统计不同于一般的资料统计， 侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料 的收集、整理和分析。 由于大量随机现象必然呈现出它的规律 足够多次观察， 一定能清楚地呈现出来。 但事实上， 次数不多的观察试验， 的只是局部观察资料。 它更 因而从理论上讲，性， 被研究的随机现象的规律性 也就是说, 我们获得 只要对随机现象进行 只允许我们对随机现象进行 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 数理统计的任务就是研究怎样有效地收 集、整理、分析所获得的有限的资料，对所 研究的问题， 论。 尽可能地作出精确而可靠的结 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 1 随机样本 总体 个体 研究对象的某项数量指标的可能观察值 总体中的每个元素。 某工厂生产的所有灯泡的寿命是一 个总体， 某学校男生的身高的全体是一个总体， 每个男生的身高是一个个体。 例如 的全体。 每一个灯泡的寿命是一个个体； HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 总体中的每一个个体是随机变量的一个 数和数字特征。 观察值， 因此，它是某个随机变量 的值。 即，一个总体对应于一个随机变量 。 对总体的研究就是对随机变量 的研究。 的分布函数和数字特征也称为总体的分布函 以后不区分总体与相应的随机变量， 为总体 。 统称 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 例如 检验自生产线出来的零件是次品 以0表示产品为正品，以1表示产品 则总体是由一些“0”和一些“1”组成的，这一 为次品。 还是正品。 总体对应一个具有参数为 的 分布： 的随机变量。 设出现次品的概率为 （常数）， 将其称为是 分布的总体。 变量的值。 意思为：总体中的观察值是 分布的随机 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 机变量，若是具有同一分布函数 则称 本，简称为样本。 其观察值 称为样本值。 定义【1.1】设 是具有分布函数 的随 的相互独立的随机变量， 为从总体中得到的容量为 的简单随机样 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 样本满足下面两个条件 1.代表性 的总体有相同的分布。 中每一个与所考察 是相互独立的随机 2. 独立性 变量。 总体（理论分布） ？ 样本 样本值 总体、样本和样 本值之间的关系 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 由定义知 本， 若 为 的一个样 则 的联合分布函数为 则 的概率密度为 若 的概率密度为 ， HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 数理统计研究的问题（统计推断） 花，收获了大量的花籽， 成一小包出售。 并向顾客保证： 粒将能发芽， 否则的话可免费调换另一包。 某种子公司 栽种了几种类别的鲜 例 并把每25粒花籽扎 一个零售商批发了若干包， 在每包25粒花籽中至少有22 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 每包要是有3粒不 发芽，马上免费退换！ 每包25粒 零售商面临如下两种类型的不确定性： HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 每包25粒中 至少有22粒将 发芽 所有的包都 如此吗？ （1）他对种子公司出售的小包中可接受 （即至少有22粒花籽将发芽）的包数所占比 这是第一类不确定性。例 是不清楚的。 这种类型的不确定性， 出售的小包中可接受的比例， 的真实状态（天然状态）无知所引起的不确定 性。 是不知道种子公司 它是由于对总体 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 哪些包是可接 受的呢？ 从中购买 200包 共100万包 （2）由于种子公司出售的花籽的货单上， 这类花籽共有一百万包， 200包， 因此他又面临着第二类不确定性。 这就是尽管他知道了 一百万包可接受的比例 但对他所购买的200包， 其中可接受的比例仍旧 没有“把握”。 而零售商只购买了 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 那些包是可接 受的呢？ 从中购买 200包 共100万包 零售商 这样他就要损失一笔资金。一万包中选取的。 购买的200包仍有可能“碰巧”是从不可接受的 万包是可接受的， 司出售的一百万包中有99 即使 是0.99， 即种子公 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 这一类不确定性是由于“随机性”所引起的。 度已在概率论部分作过讨论。 下面我们回到第一类不确定性 零售商对种子公司出售的小包中可接受 （即至少有22粒花籽将发芽）的包数所占比 例 是多少没有把握。 这种不确定性的程 在已知 的条件下， HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 零售商能够根据试验的方法（请公司进 行发芽试验）来改善他的处境。 根据试验他能作出天 然状况 是多少的决策。 这就是抽取部分种籽进行发芽试验， 这部分中发芽数所占比例（频率）来对 的 真值进行推断。 通过 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 这都是数理统计所要研究的问题。 虽然他不能精确地和肯定地确定 ， 可以期望获得一个（在某种意义下）比较好 的推断。 这就涉及到 （1）怎样设计试验，决定观察的数目； （2）怎样利用试验观察的结果作出一个 “好”的推断等。 但 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 第一个问题是怎样进行抽样， 本更合理，并有更好的代表性？ 这是抽样方法和试验设计问题： 行的是进行随机抽样。 体？ 第二个问题是怎样用取得的样本去推断总 这是统计推断问题。 本课程着重讨论第二个问题， 计推断方法。 最简单易 使抽得的样 这种推断具有多大的可靠性？ 即最常用统 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 2 抽样分布 样本是进行统计推断的依据， 往往不是直接使用样本本身， 的问题构造样本的函数， 进行统计推断。 在应用时， 而是针对不同 利用这些样本函数 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 定义【2.1】设是来自总体 的一个样本，是 的函数， 知参数，是一个统计量。则称 若 是连续函数， 且 中不含任何未 设是相应于样本 的样本值， 则称是 的观察值。 注意 统计量是随机变量 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 例1 设 的一个样本， 为来自总体 （其中 未知， 已知） 问下列随机变量中那些是统计量 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 常用的统计量 1.样本均值 2.样本方差 反映总体均 值的信息 反映总体方 差的信息 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 3.样本标准差 4.样本 阶（原点）矩 5.样本 阶中心矩 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 它们的观察值分别为 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 这些观察值仍分别称为样本均值、样本 中心矩。 方差、样本标准差、样本 阶矩、样本 阶 定理 若总体 的 阶矩 存在， 则当 时， 证明用大数定理（略） HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 结论 样本， 设 为来自总体 的一个 则 证明 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 统计量的分布称为抽样分布。 抽样分布 精确抽样分布 渐近分布 （小样本问题中使用） （大样本问题中使用） HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 常用统计量的分布（三大分布） 分布 设 是来自总体 的样本， 则称统计量 记为所服从的分布为自由度是 的 分布。 自由度是指（2.1）式右端所含独立 变量的个数。 说明 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 分布的概率密度为 其中伽玛函数 是通过积分 来定义的。 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 若且 独立，则有 证明因为所以 （可加性） 证明略 分布的性质 性质1 性质2 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 所以 证毕. HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 对于给定的正数 称满足条件 的点 为 分布的上 分位点。 当 充分大时， 其中 是正态分布的上 分位点。 分布的分位点 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 设独立， 则称随 机变量 记作服从自由度是 的 分布。 分布又称为学生氏(Student)分布。 概率密度 分布 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 数学期望和方差为 具有自由度为 的 分布的随机变量 的 且 分布的概率密度 关于 对称， 其图形类似于标准正态分 布概率密度的图形 当 充分大时， HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 对于给定的正数 称满足条件 的点 为 分布的上 分位点。 由 分布上 分位点的定义及图形的对称性知 当 时， 分布的 分位点 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 设且 独立， 则称 服从自由度是 的 分布。 记作 分布的 概率密度 分布 随机变量 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 具有自由度为 的 分布的随机变量 （不依赖于第一自由度 ） 若则 由定义 的数学期望 结论 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 对于给定的正数 称满足条件 的点 为 分布的上 分位点。 例 分布的 分位点 性质 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 的 分位点 证明如图 所以 的 分位点 又因为 即 证毕. HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 是来自正态总 体 的样本， 是样本均值，则有 是总体 的样本，是样本均值和方差， 则有 与 独立 (4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布 定理【2.1】设 定理【2.2】设 （前面已证） （证略） HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 取不同值时样本均值 的分布 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 取不同值时 的分布 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 是总体 的样本，是样本均值和方差， 则有 证明 由定理2.1和2.2 定理【2.3】设 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 且相互独立， 由 分布的定义知 化简得 证毕. HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 分别是这两个样本的样本均值， 分别是 分别是来自总体 和 的样本， 且这两个样本相互独立。设 这两个样本的样本方差， 则有 与 定理【2.4】设 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 证明（1） 即 由假设 相互独立， 则由 分布的定义知 由定理2.2知 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 （2）易知 所以 又因为 且它们相互独立， 由 分布的可加性知 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 由 分布的定义知 化简得 证毕. HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 1.设总体 的概率密度为 为总体的简单随机 样本，其样本方差为 ， 则（2006） 解 由于 备用题 所以 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 2.设总体 服从正态分布 ， 服从正态分布和 分别来自总体 和 的简单随机样本 则（2004） 总体 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 解 所以， 原式 HaiNan University 第六章 数理统计的基础知识 3.设总体 服从正态分布 ，而 是来自总体 的简单随机样本， 则随机变量服从 分布， 参数为 。（2001） 解则 HaiNan Universit