MATLAB数组运算.ppt

第二讲 数值数组及其运算 数值数组和数组运算 始终是MATLAB的核心 第二讲 数值数组及其运算 w2.1表达式 w2.2 引导 w2.3 一维数组的创建和寻访 w2.4 二维数组的创建 w2.5 二维数组元素的标识 w2.6 二维数组的子数组寻访和赋值 w2.7 执行数组运算的常用函数 第二讲 数值数组及其运算 w2.8 数组运算和矩阵运算 w2.9 标准数组生成函数和数组操作 函数 w2.10 数组构作技法综合 w2.11 高维数组 w2.12 “非数”和“空”数组 w2.13 关系操作和逻辑操作 2.1表达式 wMATLAB采用表达式语言形式，语句常用 的形式： 例：1.3+2*0.9 %值存放在默认变量ans 中 a=1.3+2*0.9 x=rand(2,4) %产生2*4大小的随机 矩阵 如果表达式过长，可分装在几行，行末 加三个点，表示下一行是续行。 z=3*(1-x).2.*exp(-(x.2)-(y+1).2)-10*(x/5-x.3-y.5). .*exp(-x.2-y.2)- 1/3*exp(-(x+1).2 - y.2); 2.1表达式 w表达式的组成： 1）数值 2）变量 3）操作符 4）函数 2.1.1 数值 在MATLAB中，所有的数都用浮点双精度类 型来存储和运算。（实矩阵的每个元素占8个字 节，复矩阵的每个元素占16个字节） 缺点：浪费内存、降低运算的速度。 优点：省略了定义数据类型的语句，而且 编程时无须考虑数据类型的匹配问题，减少了 出错的可能。 这种战略取得了成功：使人们不在编程细 节上化精力，把注意力集中到科学计算的方法 和建模合理性等大问题上。 重点重点 2.1.1 数值 w MATLAB采用十进制表示形式 合法的数值形式举例： 3 -99 0.001 .19 -5.1+6.8i 7.8-6j （虚 数） 9.4e6 1.3e-3 -4.5E33 （科 学表示法） 2e3.4 e后面不允许小数形式 2.1.2 变量 w变量的命名规则： 1）变量名、函数名对字母的大、 小写敏感。 2）变量名由字母、数字和下划线 构成。第一个字母必须是英文字母。 3）有字符个数限制（版本5.0 ： 最多31个字符） 2.1.2 变量 wMATLAB系统默认变量 （注意大小写！） i 或 j : 虚单元 正确：5+7j 错误 ：5j7 pi : 圆周率 ans : 计算机结果的缺省变量名 eps ： 机器的零阈值 2.2204e-016 Inf 或 inf : 正无穷大 NaN 或 nan : 不定值（即无效数据） 重点重点 可以表示“无穷大”、“不定值”，说明matlab容错性强 运算优先级： 算术运算符关系运算符 逻辑运算符 圆括号可以改变其顺序! 2.1.3 操作符 wMATLAB操作符包括： 算术运算 关系运算 逻辑运算 位运算 其他操作符 重点重点 一)算术运算符 ：加法 ：减法 * ：矩阵乘法（ 叉乘） .* ：矩阵元素乘 法 / ：矩阵右除法 ./ ：矩阵元素右 除法 ：矩阵左除法 . ：矩阵元素左 除法 ：矩阵指数 . ：矩阵元素指数 ：复共轭转置 . ：非共轭转置 二）逻辑运算符 针对数组元素 注释 行末的“;”用于抑制结果在屏幕 上显示 例如： sin(a)，sin(b) ，a+b 同在一行的表达式，必须用“，” 分开 2.2 引导 数组：由一组实数或复数排成的长 方阵列（Array） n一维的“行”或“列” n二维的“矩形” n三维的“若干矩形的堆叠” n更高的任意维 2.2 引导 数组运算：无论对数组施加什么运 算（包括函数），总认为是对数组中每 个元素平等的实施同样的操作 w设计数组和数组运算的目的： n使程序简单、易读；更接近数学公式 n提高程序向量化程度，提高计算效率 ，节省系统开销 2.2 引导 w绘制函数 在0x1时的曲线 x=0:0.1:1 %定义自变量的采样 点取值数组 y=x.*exp(-x)%利用数组运算计算各自变量采样点 上的函数值 plot(x,y),xlabel(x),ylabel(y), title(y=x*exp(-x) %绘图 w第一句定义自变量数组：0为起点 ，每隔0.1取一个点，直到1。得到 111的数组 2.2 引导 w第二句中，指数函数exp(-x)对x每 个元素求值，结果也是111的数组 w数组乘使两个数组对应元素相乘， 得到y也是111的数组 w连续函数必须在相应区间上采样才 能进行数值计算 w一维数组包括行向量和列向量，是 所有元素排列在一行或一列的数组。 w创建行向量 w创建列向量 w由行向量转置为列向量 2.3 二维数组的创建 A=1:4 A = 1 2 3 4 B=1:2:4 B = 1 3 D=linspace(1,4,5) D = 1.0000 1.7500 2.5000 3.2500 4.0000 例：创建一维等差数组 A=logspace(0,log10(32),6) A = 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 16.0000 32.0000 例：创建一维等比数组 创建一维数组可能用 到：方括号、逗号、 空格、分号、冒号、 函数linspace、 logspace以及转置符 2.3 二维数组的创建 w二维数组与矩阵 n二维数组是由实数或复数排列成矩形 构成的 n从数据结构上看，矩阵和二维数组没 有区别 n当二维数组带有线性变换含义时，就 是矩阵 w可通过输入每个元素的方式产生 w可以通过数据文件产生 w可以通过MATLAB提供的标准函数产生 w直接调用其他M文件，即可使用已有 的矩阵变量 2.3 二维数组的创建 数组的产生 ： 2.3 二维数组的创建 1.直接输入法 w二维数组三要素： n整个数组必须以“”为首尾 n数组行与行之间必须用“;”或回车隔离 n数组元素必须用“,”或空格分隔 2.3 二维数组的创建 w在MATLAB环境下，用下面三条指令创建二维数 组C a=2.7358; b=33/79;%这两条指令分别给 变量 a ，b 赋值 C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a +5*b,3.5+i %创建二维数组C C = 1.0000 5.4716 + 0.4177i 0.6909 0.7071 4.8244 3.5000 + 1.0000i w“;”在“”内，是数组行分隔符 w“;”作为指令结束符，不显示执行结果 2.3 二维数组的创建 w复数数组的另一种输入方式 M_r=1,2,3;4,5,6,M_i=11,12,13;14,15,16 CN=M_r+i*M_i %由实部、虚部数组构成复数数组 M_r = 1 2 3 4 5 6 M_i = 11 12 13 14 15 16 CN = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i w“,”在“”内，是数组元素分隔符 w“,”作为指令结束符，显示执行结果 2.3 二维数组的创建 2.利用M文件创建和保存数组 w对于经常需要调用的数组 w尤其是比较大而复杂的数组 w值得为它专门建立一个M文件 通过数据文件产生矩阵 w例如，我们已经得到一个数据文件， 名为mydata.dat，里面存放一个5*3的数 组，则可用命令： load mydata.dat 得到矩阵mydata。 应用：可以和其它语言程序进行数据 通信。 举例： 2.4 二维数组元素的标识 1.“全下标”标识 w经典教科书的标识法 w即指出是“第几行，第几列”的元素 w优点：几何概念清楚，引述简单。（最 常用） w“全下标”由两个下标组成：行下标，列 下标。例如：A(2,5) 2.4二维数组元素的标识 2.“单下标”标识 w就是用一个下标来指明元素在数组中的位置 w对二维数组元素进行“一维编号” n把二维数组所有列，按照先左后右的次序，首尾相接 排成“一维长列”，然后自上往下编号 w“单下标”与“全下标”转换关系：以(mn)的二 维数组A为例，全下标元素位置是“第r行，第c列”， 改为单下标表示为a=(c-1)m+r。 wMATLAB有两个指令可实现此转换： nSub2ind 据全下标算出单下标 nInd2sub 据单下标算出全下标 2.4 二维数组元素的标识 3.“逻辑1”标识 w常用问题：寻找数组中大于某值的元素 w找出数组 中所有绝对 值大于3的元素 A=zeros(2,5); %预生成一个25全零数组 A(:)=-4:5 %运用“全元素”赋值法获得A L=abs(A)3 %产生与A同维的“0-1”逻辑值数组 islogical(L) %判断L是否逻辑值数组 X=A(L) %把L中逻辑值1对应的A元素取出 2.4 二维数组元素的标识 A = -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 L = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ans = 1 X = -4 4 5 wL的元素是0或1,它是“逻辑数组”，它是一种特殊的数据类型。 w“逻辑1”标识法：通过与A同样大小的逻辑数组L中“1”的位置指 示A中元素的位置 2.5 二维数组的子数组寻访和 赋值 wA(r,c)A的r行c列元素 wA(r,:)A的r行全部元素 wA(:,c)A的c列全部元素 wA(:)A的“单下标全元素”寻访 wA(s)“单下标”寻访。生成“s指定的 ”一维数组。S是行数组（或列数组），则A(s)就是长 度相同的行数组（或列数组）。 wA(L)“逻辑1”寻访 。由与A同样大 小的“逻辑数组”L中的“1”元素选出A的对应元素。 2.5 二维数组的子数组寻访和 赋值 wA(r,c)=Sa “双下标”方式赋值。Sa的“行宽、列长 ”必须与A(r,c)的“行宽、列长”相同。 wA(:)=D(:) 全元素赋值。结果：保持A的“行宽、 列长”不变。条件：A、D辆数组的元素数相等。 wA(s)=Sa“单下标”部分元素赋值。结果：保持 A的“行宽、列长”不变。条件：s单下标数组长度必须 与一维数组Sa的长度相等，但s、Sa不一定同是“行数 组”或“列数组”。 2.5 二维数组的子数组寻访和赋值 A=zeros(2,4) %创建24的全零数 组 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 A(:)=1:8 %全元素赋值方式 A = 1 3 5 7 2 4 6 8 s=2 3 5; %产生单下标数组行数 组 A(s)%由“单下标行数组”寻访产生A元素 组成的行数组 Sa=10 20 30 %Sa是长度为3的“列 数组” A(s)=Sa %单下标方式赋值 2.5 二维数组的子数组寻访和赋值 ans = 2 3 5 Sa = 10 20 30 A = 1 20 30 7 10 4 6 8 A(:,2 3)=ones(2) %双下标赋值方式：把 A的第2、3列元素全赋为1 A = 1 1 1 7 10 1 1 8 A(:)=1:6; %全元素赋值法 A=A*(1+i) %运用标量与数组乘产生复数矩阵 A_A=A. %数组转置，即非共轭转置 A_M=A %矩阵转置，即共轭转置 A = 1.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i 5.0000 + 5.0000i 2.0000 + 2.0000i 4.0000 + 4.0000i 6.0000 + 6.0000i A_A = 1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 2.0000i 3.0000 + 3.0000i 4.0000 + 4.0000i 5.0000 + 5.0000i 6.0000 + 6.0000i A_M = 1.0000 - 1.0000i 2.0000 - 2.0000i 3.0000 - 3.0000i 4.0000 - 4.0000i 5.0000 - 5.0000i 6.0000 - 6.0000i 2.6 标准数组生成函数和数组 操作函数 1.标准数组生成函数 wdiag产生对角形数组 weye 产生单位数组 wmagic产生魔方数组 （以上三数组高位不适用，只适用于二维以下 ） wones产生全1数组 wrand1）产生0，1之间的均匀分布的随 机数: wRandn 产生均值为0，方差为1的标准正态分 布随机数 wzeros产生全0数组 2.6 标准数组生成函数和数组 操作函数 w标准数组产生的演示 ones(1,2) %产生长度为2的全1行数组 ans = 1 1 randn(state,0)%把正态随机数发生器置 0 randn(2,3)%产生23的正态随机阵 ans = -0.4326 0.1253 -1.1465 -1.6656 0.2877 1.1909 D=eye(3) %产生33的单位阵 D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2）产生元素在m，n间分布的随机数 ： 重点重点通过MATLAB提供的函数产生随机矩阵 2.6 标准数组生成函数和数组 操作函数 diag(D) %取D阵的对角元 ans =1 1 1 diag(diag(D) %内diag取D的对角元，外diag利 用一维数组生成对角阵 ans =1 0 0 0 1 0 0 0 1 对角矩阵的产生 第一步： 给出对角线上的元素，放在一个向量V中。 第二步： 用函数 A=diag(V); 可产生相应的对角矩阵 。 w旋转 w重新 排列 w复制 翻转 拼接 行列删除 2.6 标准数组生成函数和数组操作 函数 重点重点 数组的操作 1）数组的旋转 数组元素的排列旋转90度： B=rot90(A) 逆时针旋转 90度 2）矩阵的重新排列 将矩阵的元素重新排列： reshape（矩阵，行 数，列数） 按原矩阵的 列顺序 重点重点 A=0.322 0.95 0.068 0.1662; 0.7207 0.1311 0.1252 0.9114 B=A B = 0.3220 0.7207 0.9500 0.1311 0.0680 0.1252 0.1662 0.9114 C=reshape(A,4,2) C = 0.3220 0.0680 0.7207 0.1252 0.9500 0.1662 0.1311 0.9114 3）矩阵的复制 将矩阵元素复制： repmat(原矩阵,行复制数,列复制数) 重点重点 A=1 2;3 4 A = 1 2 3 4 B=repmat(A,3,2) B = 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 4）矩阵的翻转 wfliplr( ) 将矩阵左右镜像翻转 wflipud( ) 将矩阵上下镜像翻转 A = 9 6 8 4; 2 4 7 0 c1 = fliplr(A) 4 8 6 9 0 7 4 2 C2 = flipud(A) 2 4 7 0 9 6 8 4 5）矩阵的拼接 通过连接符 ，可将小矩阵拼接成大矩 阵 注意： 横拼接: ， 纵拼接: ; 例1 例3 例2 重点重点 2.6 标准数组生成函数和数组 操作函数 2.数组操作函数 cat把相同大小的若干数组串接成高 维 diag提取对角元素，或生成对 角阵 flipud上下交换 fliplr左右交换 kronKronecker乘法 w以上指令只适用于二维数组 2.6 标准数组生成函数和数组 操作函数 repmat按指定的行数列 数铺放模块数组 reshape改变行数列数， 元素数不变 2.7 数组构作技法综合 1.数组的扩展 w赋值扩展法 A=reshape(1:9,3,3)%创建33数组 A A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 2.7 数组构作技法综合 A(5,5)=111 %扩展为55数组。扩展 部分除（5，5）元素为111外，其余均为0 A = 1 4 7 0 0 2 5 8 0 0 3 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 111 2.7 数组构作技法综合 A(:,6)=222 %标量对子数组赋值，扩展为 56数组 A = 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 2.7数组构作技法综合 AA = 1 4 7 0 0 222 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 0 0 0 0 111 222 指令repmat 中，A为模块数组，1表示行方向上铺一块，2 表示列方向上铺两块。 多次寻访扩展法 AA=A(:,1:6,1:6)%相当于指令repmat(A,1,2) 2.7 数组构作技法综合 w合成扩展法 B=ones(2,6)%创建26全1数组 B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.7 数组构作技法综合 AB_r=A;B%行数扩展合成 AB_r = 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.7 数组构作技法综合 AB_c=A,B(:,1:5)%列数扩展合成 AB_c = 1 4 7 0 0 222 1 1 2 5 8 0 0 222 1 1 3 6 9 0 0 222 1 1 0 0 0 0 0 222 1 1 0 0 0 0 111 222 1 1 两者的差别主要体现在；和 ，上。 2.7 数组构作技法综合 2.单下标寻访和reshape指令演示 clear %清除内存变量 A=reshape(1:16,2,8)%变一维数组成28 数组 A = 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4 6 8 10 12 14 16 2.7 数组构作技法综合 reshape(A,4,4) %变28数组为44 数组 ans = 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 2.7 数组构作技法综合 s=1 3 6 8 9 11 14 16;%定义“单下标 ”数组 A(s)=0%利用“单下标”数组对A的元素重新赋 值 A = 0 0 5 7 0 0 13 15 2 4 0 0 10 12 0 0 3、通过冒号操作符裁剪数组 冒号操作符实现裁剪功能时，其意义和冒号用于 创建一维数组的意义是一样的，都是实现一个递变效果 。 一般的裁剪语法：B=A(a1,a2,a3,b1,b2,b3,) 表示提取数组A的a1,a2,a3,等行，b1,b2,b3,等列 的元素组成子数组B。 w A=magic(8) wA = w 64 2 3 61 60 6 7 57 w 9 55 54 12 13 51 50 16 w 17 47 46 20 21 43 42 24 w 40 26 27 37 36 30 31 33 w 32 34 35 29 28 38 39 25 w 41 23 22 44 45 19 18 48 w 49 15 14 52 53 11 10 56 w 8 58 59 5 4 62 63 1 2.9 数组构作技法综合 A(1:2:5,3:7)%提取数组A的第1、3、5行，3到7列的所有元素 ans = 3 61 60 6 7 46 20 21 43 42 35 29 28 38 39 如果某一位置上不是用数字表示，而是用冒号代替，表示这 一位置可以取得所有值。 例如： A(2,:)%提取数组A的第2行所有元素 ans = 9 55 54 12 13 51 50 16 A(:,3:2:7)%提取数组A的第3,5,7列所有元素 ans = 3 60 7 54 13 50 46 21 42 27 36 31 35 28 39 22 45 18 14 53 10 59 4 63 A(3 2 1,6 5 8)%提取指定行列元素，注意新提取元素的 顺序 ans = 43 21 24 51 13 16 6 60 57 A(50:60)%单下标索引裁剪数组，提取第50到第60号元素 ans = 50 42 31 39 18 10 63 57 16 24 33 4、数组元素删除 通过部分的删除也可以实现数组的裁剪。 但注意，进行删除时，索引结果必须是完整的行 或列，而不能是数组内部的块或单元格。 2.9 数组构作技法综合 A(1:3:8,:)=%即把第1、4、7行所有元素裁剪 A = 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 A(:,3 5 6)= A = 38 47 9 29 46 6 17 37 13 15 33 4 21 23 41 12 2.7 数组构作技法综合 4.逻辑函数的运用演示 randn(state,1),R=randn(3,6) %创建正态随机 阵 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 0.1684 - 0.5523 -0.6149 0.0942 -0.4380 0.3962 -1.9654 - 0.8197 -0.2546 -0.8519 -0.4297 -0.9649 -0.7443 1.1091 -0.2698 L=abs(R)1.5%不等式条件运算，结果 给出逻辑数组 L = 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 R(L)=0%“逻辑1”对应的元素赋0值 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 0 - 0.5523 -0.6149 0 0 0 0 - 0.8197 0 -0.8519 0 -0.9649 -0.7443 1.1091 0 2.7 数组构作技法综合 s=(find(R=0) %利用find获得符合关系等式条件 的元素“单下标” s = 2 5 6 8 10 11 17 18 R(s)=111 %利用“单下标”定位赋值 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 111.0000 -0.5523 -0.6149 111.0000 111.0000 111.0000 111.0000 -0.8197 111.0000 -0.8519 111.0000 -0.9649 -0.7443 1.1091 111.0000 2.7数组构作技法综合 ii,jj=find(R A=magic(4) A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 C=ones(4,2) C = 1 1 1 1 1 1 1 1 B=eye(4) B = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 B-A ans = -15 -2 -3 -13 -5 -10 -10 -8 -9 -7 -5 -12 -4 -14 -15 0 B+A ans = 17 2 3 13 5 12 10 8 9 7 7 12 4 14 15 2 A*C ans = 34 34 34 34 34 34 34 34 C*C ans = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (C*C)3 ans = 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 128 矩阵的右除、左除 MATLAB的基本处理单元是复数矩阵(标 量是一个1*1的矩阵)。而在线性代数 理论中没有除法运算。所以定义了除法为 乘法的逆运算。 注意：因为矩阵乘法不满足交换律， 即一般A*BB*A，所以除法要考虑“右 除”、“左除”。 (1)矩阵除法 A/B相当于A*inv(B)或A*pinv(B) AB相当于inv(A)*B或pinv(A)*B 其中inv是数组求逆函数，仅适用于行列数相同的方形数组 （线性代数中，称为方阵）； A=3 5 6;2 1 4;2 5 6 A = 3 5 6 2 1 4 2 5 6 B=randn(3) B = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 A/B ans = 4.9369 -3.0803 0.0406 3.9586 -2.4124 -2.4389 4.7620 -2.3806 0.7564 A*inv(B) ans = 4.9369 -3.0803 0.0406 3.9586 -2.4124 -2.4389 4.7620 -2.3806 0.7564 AB ans = -0.5579 -0.9032 0.8619 0.5902 0.5735 0.3559 -0.2850 0.0216 -0.5293 pinv(A)*B ans = -0.5579 -0.9032 0.8619 0.5902 0.5735 0.3559 -0.2850 0.0216 -0.5293 2点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关 算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和 .。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要 求两矩阵的维参数相同。 A=magic(4) A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 B=ones(4)+4*eye(4) B = 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 A.*B ans = 80 2 3 13 5 55 10 8 9 7 30 12 4 14 15 5 B.*A ans = 80 2 3 13 5 55 10 8 9 7 30 12 4 14 15 5 B.3 ans = 125 1 1 1 1 125 1 1 1 1 125 1 1 1 1 125 A.B ans = 0.3125 0.5000 0.3333 0.0769 0.2000 0.4545 0.1000 0.1250 0.1111 0.1429 0.8333 0.0833 0.2500 0.0714 0.0667 5.0000 A./B ans = 3.2000 2.0000 3.0000 13.0000 5.0000 2.2000 10.0000 8.0000 9.0000 7.0000 1.2000 12.0000 4.0000 14.0000 15.0000 0.2000 点乘元素对元素乘法 叉乘矩阵对矩阵乘法 对比举例 2.9 数组运算 w矩阵运算有明确、严格的数学规则 w数组运算是MATLAB定义的规则 n目的：数据管理方便、操作简单、指 令形式自然、执行计算有效 n缺乏严谨的数学推理，本身仍在完善 n影响随MATLAB而扩大 2.9 数组运