MATLAB符号运算.ppt

问题分析（1）矩阵乘方 lap :a的p次方 l条件：在ap 中a, p不可都是矩阵，必须一个是 标量，一个是方阵 （1）a是一个方阵，p是一个标量 p 是大于1 的正整数，则a的p次幂即为a自乘p 次。当P为负整数时，A-1自乘p次。 1 p1 a = magic(3) a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 a2 ans = 91 67 67 67 91 67 67 67 91 2 p是不为整数的标量时， ap=v*Dp/v 。其中 D为矩阵a的特征值矩阵，v为对应的特征矢量阵 ，用eig函数求出D和v， v,D=eig(a). a=vDv-1-(对角化) a a = 1 1 3 4 a0.5 ans = 0.7559 0.3780 1.1339 1.8898 3 v,D=eig(a) v = -0.7842 -0.2550 0.6205 -0.9669 D = 0.2087 0 0 4.7913 v*D.0.5/v ans = 0.7559 0.3780 1.1339 1.8898 4 （2）p 是方阵而a是标量时，ap=v*aD/v,其中 v,D=eig(p). (P35) p=1 1;1 2 p = 1 1 1 2 2p ans = 2.6398 2.1627 2.1627 4.8025 5 v,D=eig(p) v = -0.8507 0.5257 0.5257 0.8507 D = 0.3820 0 0 2.6180 v*2D/v ans = 2.6398 2.1627 2.1627 4.8025 6 7 问题分析（2）P37 数组变换 a=2 1 1;3 2 2;4 3 3 % 3行3列 a = 2 1 1 3 2 2 4 3 3 b=a: b = 2 % 9行1列 3 4 1 2 3 1 2 3 结论：b=a(:) 使用数组元素用() 8 问题分析（3）reshape reshape(a,9,1) % 9行1列 ans = 2 3 4 1 2 3 1 2 3 reshape(a,3,2) ? Error using = reshape To RESHAPE the number of elements must not change. 结论：96, reshape不应改变变动数组的 元素个数 9 问题分析（4）例3-1 字符串 b=你好 b = 你好 结论：每个单引号符号需要使用两个连续的单引号字 符才能正确显示。 10 问题分析（5） P46 运算符优先级 a=3; b=-2 -1;0 5; ans1=(ab); ans2=(a)b; ans3=ab; ans1 ans1 = 0 0 0 1 ans2 ans2 = 1 1 0 0 ans3 ans3 = 1 1 0 0 ans2=ans3,说明(a)b与ab等 效，优先运算，而理论上逻辑 运算符优先级低于关系运算符， 已经试验过其他的逻辑运算符， 是一个特例。 解决方法：为了避免优先级不确 定问题，尽量使用( )。 11 问题分析（5）超定方程组的解 方程 ax=b ,m syms x y; f=cos(x+y); expand(f) %分解 ans = cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) u符号运算不是基于矩阵的数值分析，而是使用符号对象 或者字符串来进行分析和计算，其结果是符号函数或者 解析形式。 17 1. 符号变量和符号表达式 l符号变量和符号表达式的创建 lsym函数 定义单个符号变量 f1=sym(ax2+bx+c) %创建符号变量f1和一个符号表达式 a=sym(a) lsyms函数 一次定义多个符号变量 clear syms a b c x whos Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object x 1x1 126 sym object 18 符号表达式的注意 l表达式需写在同一行 (ax2+bx+c) l表达式只能用小括号 多重小括号嵌套使用( ( ( ) ) ) pi圆周率（= 3.1415926.） inf或INF无穷大值，如1/0 i或j虚数单位 *符号相乘 exp()以e为底的指数运算 19 2. 符号表达式的运算 l算术运算 clear f1 = sym(1/(a-b) ); f2 = sym(2*a/(a+b) ); f3 = sym( (a+1)*(b-1)* (a-b) ); f1+f2%符号和 ans = 1/(a-b)+2*a/(a+b) f1*f3 %符号积 ans = (a+1)*(b-1) f1/f3 %符号商 ans = 1/(a-b)2/(a+1)/(b-1) 20 函数运算 l1合并、化简、展开等函数 lcollect函数：将表达式中相同幂次的项合并； lfactor函数：将表达式因式分解； lsimplify函数：利用代数中的函数规则对表达式进行化简； lnumden函数：将表示式转变成分子与分母形式。 l2反函数 lfinverse（f,v） 对指定自变量为v的函数f(v)求反函数 l3复合函数 lcompose(f,g) 求f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y) lcompose(f,g,z) 求 f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z) l4表达式替换函数 lsubs(s)用赋值语句中给定值替换表达式中所有同名变量 lsubs (s, old, new) 用符号或数值变量new替换s中的符号变量old 21 例 clear f1 =sym(exp(x)+x)*(x+2); f2 = sym(a3-1); f3 = sym(1/a4+2/a3+3/a2+4/a+5); f4 = sym(sin(x)2+cos(x)2); collect(f1) ans = x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x) expand(f1) ans = exp(x)*x+2*exp(x)+x2+2*x factor(f2) ans = (a-1)*(a2+a+1) m,n=numden(f3)%m为分子，n为分母 m = 1+2*a+3*a2+4*a3+5*a4 n = a4 simplify(f4) ans = 1 22 例 clear syms x y finverse(1/tan(x) %求反函数，自变量为x ans = atan(1/x) f = x2+y; finverse(f,y) %求反函数，自变量为y ans = -x2+y clear syms x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) %求f = f(x) 和 g = g(y)的复合函数f(g(y) ans = 1/(1+sin(y)2) 23 例 clear syms a b subs(a+b,a,4) %用4替代a+b中的a ans = 4+b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) %多重替换 ans = cos(alpha)+sin(2) f=sym(x2+3*x+2) f = x2+3*x+2 subs(f, x, 2)%求解f当x=2时的值 ans = 12 24 3. 微积分 l极限 25 26 微分 ldiff(f) 求表达式f对默认自变量的一次微分值； ldiff(f, t) 求表达式f对自变量t的一次微分值； ldiff(f,n) 求表达式f对默认自变量的n次微分值； ldiff(f,t,n) 求表达式f对自变量t的n次微分值。 lx是默认自变量 27 28 积分 lint(f) 求表达式f对默认自变量的积分值； lint(f, t) 求表达式f对自变量t的不定积分值； lint(f, a, b) 求表达式f对默认自变量的定积分 值，积分区间为a,b； lint(f, t, a, b) 求表达式f对自变量t的定积分值，积 分区间为a,b 29 30 求和 lsymsum(S) 求表达式S对默认自变量的不 定和； lsymsum(S, v) 求表达式S对自变量v的不定和 ； lsymsum(S, a, b) 求表达式S对默认自变量的有 限和，区间为a,b； lsymsum(S, v, a, b) 求表达式S对自变量v的有限和 ，区间为a,b 31 例 计算表达式 syms x n symsum(n) ans = 1/2*n2-1/2*n symsum(n2,0,10) ans = 385 symsum(xn/sym(n!),n,0,inf) ans = exp(x) 32 4. 方程求解 l代数方程 l代数方程的求解由函数solve实现： lsolve(f) 求解符号方程式f lsolve(f1,fn) 求解由f1,fn组成的代数方程组 lfindsym()确定自变量 l常微分方程 l使用函数dsolve来求解常微分方程： ldsolve(eq1, eq2, ., cond1, cond2, ., v) l默认自变量为t 33 例 syms a b c x f=sym(a*x*x+b*x+c=0) solve(f) ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*c*a)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*c*a)(1/2) solve(1+x=sin(x) ans = -1.9345632107520242675632614537689 34 dsolve( Dy=x ,x)%求微分方程 y=x的通解，指定x为自变量。 ans = 1/2*x2+C1 dsolve( D2y=1+Dy ,y(0)=1,Dy(0)=0 ) %求微分 方程y=1+y的解，加初始条件 ans = -t+exp(t) x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x) %微分方程组的通解 x = -1/2*C1*exp(-t)+C2*exp(2*t) y = C1*exp(-t)+C2*exp(2*t) 35 扩展阅读 l 符号矩阵 l符号表达式绘图 36 Task(1)