高二数学选修4-22.5特征值和特征向量.ppt

学习目标学习目标: : 1.1.掌握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义, ,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量； 3.3.利用矩阵利用矩阵MM的特征值的特征值, ,特征向量给出特征向量给出M M n n 的简单表示；的简单表示； 复习回顾复习回顾 1 1矩阵矩阵 的行列式为的行列式为 , , 若有若有 则矩阵则矩阵 存在逆矩阵存在逆矩阵. . 2. 2.矩矩阵阵阵阵是否可逆的判断是否可逆的判断 3.逆矩阵阵的求解 4.矩阵阵的逆矩阵为阵为 复习回顾复习回顾 5.5.设线性方程组为设线性方程组为 复习回顾复习回顾 6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程: 复习回顾复习回顾 巩固练习巩固练习 1 1、若矩阵、若矩阵MM对应的变换是关于原点对称的反射变换，对应的变换是关于原点对称的反射变换， 则矩阵则矩阵MM-1 -1=_; =_; 2. 2.已知矩阵已知矩阵M= ,M= , 则矩阵则矩阵MM不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为_;_; ad-ad-bcbc=0=0 3.3.将二元一次方程组将二元一次方程组 ， 写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为_;_; 巩固练习巩固练习 4.4.分别用行列式和逆矩阵的方法求解二元一次方程组：分别用行列式和逆矩阵的方法求解二元一次方程组： 5. 5.求使等式求使等式 成立的矩阵成立的矩阵M. M. 新课学习新课学习 学习目标学习目标: : 1.1.掌握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义, ,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量； 3.3.利用矩阵利用矩阵M M 的特征值的特征值, ,特征向量给出特征向量给出MM n n 的简单表示；的简单表示； 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 定义定义1 1: : 设设为为二二阶矩阵阶矩阵, ,若对于实数若对于实数，存在存在一一 个个非零向量非零向量 ，使得，使得 则称则称为为的一个的一个特征值特征值，称，称 为为的属于特征值的属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量. . 定义定义2 2： 二阶矩阵二阶矩阵 的二次多项式，的二次多项式， 一元二次方程一元二次方程 注解注解1 1: : 1.1.特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言； 2.2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量, ,即一个特征值即一个特征值 对应多个特征向量；对应多个特征向量； 3.3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值 下面请同学们自学课本下面请同学们自学课本P68P68页页 例例1 1，然后模仿解题！，然后模仿解题！ 示例示例 1 1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 数学应用数学应用 求特征值和特征向量的一般步骤：求特征值和特征向量的一般步骤： （1 1）由）由 求出所有特征值求出所有特征值 ； （2 2）求解线性方程组）求解线性方程组 即即 （ 为特征值），则所得非零解为特征值），则所得非零解X X必为特征必为特征 向量向量. . 同步归纳同步归纳 注解注解2 2： （1 1）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：）不同的特征值对应的特征向量不相等，即： 一个特征向量只对应一个特征值。一个特征向量只对应一个特征值。 （2 2）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的“ “不变量不变量” ”； （3 3）变换的几何意义）变换的几何意义: : 只改变其特征向量的长度不改变其方向！只改变其特征向量的长度不改变其方向！ 例例2 2 数学应用数学应用 练一练练一练 1 1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量： （1 1）矩阵）矩阵A= A= 的特征值为的特征值为_,_, 则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_; （2 2）矩阵）矩阵B= B= 的特征值为的特征值为_,_, 则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_; （3 3）矩阵）矩阵C= C= 的特征值为的特征值为_,_, 则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_; 练一练练一练 2 2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量： 练一练练一练 同步归纳同步归纳: :求多次变换的结果！求多次变换的结果！ 下面请同学们自学课本下面请同学们自学课本P71P71页页 例例2 2，然后模仿解题！，然后模仿解题！ 练一练练一练 课课练课课练P24P24页第页第8 8题！题！ 练一练练一练 课课练课课练P30P30页第页第1010题！题！ 课堂小结课堂小结 课外作业课外作业 将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解 特征值与特征向量结