离散型随机变量的均值、方差习题.ppt

离散型随机变量的期望与方差 习题课 要点梳理 1.若离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值 称E(X)=_ 为随机变量X的均 值或_. 它反映了离散型随机变量取值的_. x1p1+x2p2+xi pi+xn pn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 2.离散型随机变量的均值与方差 其中_为随机变量X的标准差. (2)方差 称D(X)= 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 _ 注：方差是反映离散型随机变变量偏离于均值值的平均程度的量，它 们们的值值越小，则则随机变变量偏离于均值值的平均程度越小，即越集中 于均值值。 3.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_. (2)D(aX+b)=_.(a,b为常数) 4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_. (2)若XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_. aE(X)+b a2D(X) p(1-p) np(1-p)np 【例1】设随机变量具有分布P(=k)= k=1,2,3,4,5,求E2,D(2-1), 题型一、 均值与方差性质的应用 解 利用性质E(a+b)=aE()+b, D(a+b)=a2D(). D(2-1)=4D()=8, 1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设 随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望和方差; (3) 求“所选3人中女生人数X1”的概率. 超几何分布 题题题题型二、型二、 求离散型随机求离散型随机变变变变量的期望、方差量的期望、方差 练1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若表示取到次品的个数,则E()=_. 解析 的取值为0,1,2,3,则 练2.(2009上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E()=_(结果用最简分数表示). 解析 的可能取值为0,1,2, 2.某运动员投篮的命中率为p=0.6. (1)求一次投篮时命中次数的均值;方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数的均值与方差. (1)投篮一次，命中次数的分布列为： 01 P0.40.6 则E=00.4+10.6=0.6, D=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24. (2)重复5次投篮，命中次数服从二项分 布，即B(5,0.6)， 故E=50.6=3. D=50.60.4=1.2. 求离散型随机变量的均值和方 差，首先应明确随机变量的分布列. 3. (2009湖南理,17)为拉动经济增长,某市决 定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分 别占总数的 有3名工人独立地从中任选一 个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望. 二项分布 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民 生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2, 3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立, C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1,2,3且i ,j、k 互不相同)相互独立,且 (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ,由已知, 4.某一大学毕业毕业 生参加某一公司的笔试试，共有 5个问题问题 需要解答，如该该同学答对对每个问题问题 的概率均为为 ，且每个问题问题 的解答互不影 响 (1)求该该同学答对问题对问题 的个数的期望与方差； (2)设设答对对一个题题目得10分，否则则扣一分，求 该该同学得分的期望与方差 5.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量为此时已 摸球的次数, (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差. 解 (1)随机变量可取的值为2,3,4, 所以随机变量的概率分布列为： 234 P (2)随机变量的数学期望 随机变量的方差 6.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次 统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每 个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通 过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当,每次 测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参 加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望. 解 (1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事 件为 (2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5. 故X的分布列为： 答 该生考上大学的概率为 所求数学期望是 X2345 P 1.甲、乙两名射手在同一条件下射击击，所得环环数X1， X2分布列如下： 用击击中环环数的期望与方差分析比较较两名射手的射击击水平 。 X18910 P0.20.60.2 X28910 P0.40.20.4 解： 表明甲、乙射击击的平均水平没有差别别，在多次射击击中 平均得分差别别不会很大，但甲通常发挥发挥 比较稳较稳 定，多 数得分在9环环，而乙得分比较较分散，近似平均分布在8 10环环。 题型三 均值与方差的实际应用 问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？ 问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？ X18910 P0.20.60.2 X28910 P0.40.20.4 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得 如下信息： 甲单单位不同职职位月工 资资X1/元 1200140016001800 获获得相应职应职 位的概 率P1 0.40.30.20.1 乙单单位不同职职位月工 资资X2/元 1000140018002200 获获得相应职应职 位的概 率P2 0.40.30.20.1 根据工资资待遇的差异情况，你愿意选择选择 哪家单单 位？ 解： 因为为EX1=EX2，DX1 DX2，所以两个单单位工 资资的均值值相等，但甲单单位不同职职位的工资资 相对对集中，乙单单位不同职职位的工资资相对对分 散。这样这样 ，如果你希望不同职职位的工资资差距 小一些，就选择选择 甲单单位；如果你希望不同职职 位的工资资差距大些，就选择选择 乙单单位。 从做对题对题 数的数学期望考察，两人水平相当；从 方差考察甲较稳较稳 定从至少完成2题题的概率考察 ，甲通过过的可能性大因此可以判断甲的实验实验 操作能力较较强 (2)设设表示10万元投资资乙项项目的收益，则则 的分布列为为： 22 P 基础础自测测 1.已知 的分布列 则在下列式子中： 正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 -101 P 解析 答案 C 2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列的性质, 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1, E(X)=02x+13x+27x+32x+4