复数及其代数运算.ppt

主讲人: 胡 晓 晓(674067) 办公室: 7 B325 1 复数是16世纪人们在解代数方程时引入的 1954年，意大利数学物理学家 在所著重要的艺术一书中列出 将10分成两部分，使其积为40的问题 即求方程x(10-x)=40的根 ,它求出形式的根为 因而复数在历史上长期不能为人民所接受“虚数”这一 名词就恰好反映了这一点 2 直到十八世纪 等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了 系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的 三人的工作进行的 3 n到本世纪，复变函数论是数学的重要分支 之一，随着它的领域的不断扩大而发展成 庞大的一门学科，在自然科学其它（如空 气动力学、流体力学、电学、热学、理论 物理等）及数学的其它分支（如微分方程 、积分方程、概率论、数论等）中，复变 函数论都有着重要应用 4 柯西 复变函数论的奠基人之一 n柯西（Cauchy，1789-1857），十九世纪前半世 纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理 以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。 n A.-L.柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论 ，他证明了柯西积分定理 。 n 用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西 积分定理的出发点 。 n柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。 18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没 有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这 种积分来研究多种多样的问题 。 5 黎曼 复变函数论的奠基人之一 n黎曼，19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家 。黎曼1826年9月17日生于汉诺威的布列斯伦茨，1866年 7月20日卒于意大利的塞那斯加，终年40岁。 n1851年，在高斯的指导下完成题为单复变函数的一般理 论的基础的博士论文 。 n在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人 称“黎曼面”的概念。 n经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的 待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值 函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极 大地推动了拓扑学的初期发展。 6 魏尔斯特拉斯复变函数论的奠基人之一 n魏尔斯特拉斯，KWT(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚 地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林数学 n在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数 n与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数 的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函 数. 所确定的隐函数zv=hv(zm+1，zn) (v=1，m)可展开为幂级数的定理 n魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献， 是他于1860年讲课中提出并于1879年发表 的“预备定理” 7 第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考 一、复数的概念 二、复数的代数运算 8 一、复数的概念 1. 虚数单位: 对虚数单位的规定: 9 虚数单位的特性: 10 2.复数: 11 1: 两个复数相等? 2: Z=0 思考：两个复数能比较大小吗？ 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不 全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小. 反例 12 二. 复数的代数运算 1： 定义 13 2：复数运算所满足的运算律 14 3： 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 例1 解 15 共轭复数的性质: 以上各式证明略. 16 例2 解 17 练习 解 18 练习 证 19 三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 20 思考题 复数为什么不能比较大小？ 21 思考题答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. 22 第1.1.2节 复数的几何表示 一、复平面 1. 复数的模和辐角 三、小结与思考 二、复球面 23 一、复平面(z平面) 1. 复平面的定义 坐标平面 上的点； 24 二：复数的模和辐角 显然下列各式成立 1. 复数的模(或长度) 25 26 27 x y 0 2. 复数的辐角（Argument） 说明 28 2. 复数的辐角（Argument） 辐角不确定. 29 x y 0 辐角主值的定义: 2. 复数的辐角（Argument） 30 X y 0 31 练习 是不是永远成立； 32 练习 33 34 例3 求 Arg (-3-4i) 35 利用复数的模与辐角,我们给出复数 的两个非常重要的表示法 36 1. 复数的三角表示法 xx y 0 37 2: 复数的指数表示法 38 例4 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 39 故三角表示式为 指数表示式为 40 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证 证毕 41 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 42 说明 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 43 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 44 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 定理二 证按照商的定义, 证毕 45 46 47 48 49 x y z 0 50 二：复球面 二.扩充复平面 一.复数的球面表示 51 一.复数的球面表示 除去点N外球面上的点P与复平面上的点Z为 一一对应,即复数可用球面上的点来表示. 52 球面上的点N,复平面上没 有复数与之对应.怎么做到 球面上的点与复平面上的 点一一对应 53 我们规定: 复平面上无限远离原点的点称为”无穷远点”, 它与球面上的点N相对应.(要求无穷远点是唯一) 二.扩充复平面 扩充复平面: 包含无穷远点在内的复平面； 与扩充复平面对应的球面称为：复球面 复平面:不包含无穷远点在内的复平面. 本书如无特别说明， 只 考虑有限复数及复平面 54 ：复数 55 三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模