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功 率 物理意义：功率是描述力对物体做功快慢 的物理量 平均功率：描述力在一段时间内做功的快慢， 用P=W/t 计算， 若用P=Fvcos， V为t时间内的平均速度 瞬时功率：描述力在某一时刻做功的快慢， 只能用P=Fvcos，V为某时刻的 瞬时速度。 额定功率和实际功率 小 结 4.质量为m的物体从倾角为的光滑斜面顶端 由静止滑下，滑到斜面底端时的速度为v， 求:重力的瞬时功率为多少？ V mg F1 F2 V mg 法1：解：P=mgVcos(90-) =mgvsin 法2：解：将mg分解： F1=mg sin P= F1 V= mg vsin 法3：将速度分解 汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率 为P，牵引力为F0。t1时刻，司机减小了油门，使 汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行 驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动(设整 个过程中汽车所受的阻力不变)。下面几个关于汽 车牵引力F、汽车速度v在这个过程中随时间t变化 的图像中正确的是（ ）AD t B V v0 v0/2 t1 t2 O C t F F0 F0/2 t1t2Ott F0/2 D F F0 t2 t1O A V v0 t1t2 O V0/2 如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数 的关系图像，若 汽车质量为2103kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻 力恒定，最大车速为30m/s，则以下说法正确的是（ ） A、汽车的额定功率为6104W B、汽车运动过程中受到的阻力为6103N C、汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动 D、汽车做匀加速运动时间是5s AD 解析: 由图线可知，速度较小的起动阶段，牵引力恒定，故汽车做匀加速度运动，在此过程 中随着速度增大，牵引功率也随之增大，当牵引功率增大到额定功率时，汽车继续加 速，但牵引力减小，汽车做加速度减小的加速度运动，当加速度等于零，即牵引力等 于阻力时，速度达到最大，以后做匀速直线运动。由题意知最大车速为30m/s，此时 牵引力为2103N，故汽车运动过程中受到的阻力为2103N，且额定功率为 P=fvm=6104W。设匀加速过程中的最大速度为v，加速度为a， 则v= 。F-f=ma，a= ，由v=at得汽车做匀加速运动时间是5s。 跳绳是一种健身活动,设某运动员 的质量是50Kg,他一分钟跳绳180 次,假定在每次跳跃中,脚与地面接 触时间为跳跃一次所需时间的2/5, 则该运动员跳绳过程中克服重力 做功的平均功率是多少? 一个质量为50千克的人乘坐电梯，由静 止开始上升。整个过程电梯对人做功的 功率Pt图象如图所示(g=10ms2)。 加速和减速过程均为匀变速运动，求： (1)图象中P2的值； (2)8秒内电梯上升的高度 【练习1】从空中以40m/s的初速度平抛一重 为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计 空气阻力，取=10m/s2，则物体落地时，重 力的瞬时功率为( ) A.400W B.300W C.500W D.700W B 【解析】本题要求的是3s未重力的瞬时功率， 如图所示，由于曲线运动,G与未速度v间有夹 角，同学们常常考虑先求了v的大小，再求出 ，利用公式P=Fvcos求解，这种思路是正 确的.但过于麻烦.本题要求的功率是 P=Gvcos，其实vcos就是v竖直分量， 只需求出3s末平抛运动的竖直分速度 vy.vy=gt所以 P=Gvcos=Gvy=Ggt=10103W =300W Vx=V0 VVy 【例2】一跳绳运动员质量m=50kg,1min跳N=180次，假 设每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所用 时间的2/5，试估算该运动员跳绳时克服重力做功的平 均功率多大? 【解析】跳跃的周期T=60s/180=1/3s，而一个周期内 在空中停留时间t1=(3/5)T=(1/5)s人向上跳看做是竖直 上抛运动，设起跳速度为v0， 由t1=2v0/g得v0=gt1/2 每次跳跃克服重力做功W=1/2mv02=1/8mg2t12 所以克服重力做功的平均功率P=W/T=75(W) 提示：两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况 拉力除对人做功外，又对另一只小船也做了功，所以 W2W1由于所用时间一样，所以P2P1 【例3】一个小孩站在船头，按应当为图中两种情况 用同样大小力拉绳，经过相同的时间t（船未碰撞） ，小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功 率 P1、P2的关系为（ ） AW1W2，P1= P2 BW1W2，P1P2 CW1W2，P1P2 DW1W2，P1= P2 C 练习2.某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第 一次使此物体沿光滑水平面前进s距离，第二次使此 物体沿粗糙水平也前进s距离，若先后两次拉力做的 功为W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，则( ) A.W1=W2，P1=P2 B.W1=W2，P1P2 C.W1W2，P1P2 D.W1W2，P1=P2 B 例4、 质量为m=80kg 的人站在质量为MA=240kg 的 船上，用80N 的力拉一根足够长的水平绳子，不计水 的阻力，从静止起经过t=10 秒钟，下列两种情况下， 人做功的平均功率和瞬时功率各多少？ （1）绳的另一端系在岸边的树上， （2）绳的另一端系在质量为MB=400kg 的船上 解：（1）a=F/（m+MA）= 0.25 m/s2 SA=1/2at2=12.5 m vAt=at=2.5m/s P1=W/t=FSA/t =100W P1=F vAt =200W （2） aB=F/ MB= 0.2 m/s2 SB=1/2aBt2=10 m vBt= aBt = 2m/s W2=F（SA+ SB ）=1800J P2=W2/ t =180W P2=F（vt + vBt ）= 360W 练习3.如图所示，质量为lkg的物体与平面间摩擦系数 =0l（g取10ms2），在2 N水平拉力作用下由静止 开始运动了2s，求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支 持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少？ 解析：a=(F-f)/m =1ms2 sat22m vat2m/s 外力 F做功功率平均值为：p1W/t=Fs/t=2W 2s末即时功率为：P1/=Fv4 W 摩擦力做功功率平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即时功率为：P2/=fv= 2 W 重力与支持力N由P=Fvcos知：功率都为0 【例5】正常人心脏在一次搏动中泵出血液70 mL， 推动血液流动的平均压强为1.6104Pa，设心脏主动 脉的内径约2.5cm，每分钟搏动75次，求： (1)心脏推动血液流动的平均功率是多大? (2)血液从心脏流出的平均速度是多大? (3)把一种对人体无害，但不能透出血管的9 mg的试 剂，由静脉一次性注入体内，在安静的情况下，经过 一定的时间后抽取血样检查，发现该试剂的浓度已稳 定在2 mg/L，则此人全部循环血量通过心脏一次的时 间需多长? (2)每分钟心脏输出血量为: V=nV0=757010-6m3=5.2510-3m3 心脏主动脉横截面积S为： S=r2=3.14(1.2510-2)2=4.910-4m2 【解析】(1)设心脏每次推动血液前进的位移为L， 血液受到心脏的压力为F，由p=F/S可知，心脏起搏 一次对血液所做的功W=FL=p0SL=p0V,V是心脏跳 动一次输送的血液. W=npV=751.61047010-6J=84 J P=W/t=84/60=1.4 W 所以v=L/t=V/(St) =(5.2510-3m/s)/(4.910-460)=0.18m/s (3)设此人的循环血量为V1，则V1=9/2 所以V1=4.5(L)=4.510-3m3 循环一次的时间为: t=(4.510-3/5.2510-3)60=51s 【练习4】长为L的细线一端固定在O点，另一端系一 质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平 位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由 静止释放，它由A运动到最低点B的过程中，重力的瞬 时功率变化的情况是 （ ） A.一直在增大 B.一直在减小 C.先增大后减小 D. 先减小后增大 解析:小球在A位置时速度为零，重力的瞬时功率为零 ，到达B位置时，速度达到最大 方向水平向左，与重力夹角为900 ，PB0，由于两个极端位置瞬时 功率均为0，故可判断C正确 O A B P=P额不变 v F = P额/v a=(F-f )/m P=P额不变 F2 = P额/vm =f a=0 v= vm 变加速运动匀速运动 ff fFF2F1 A B C vA= 0 vC= vm P=P额不变 F1 = P额/v a1=(F1-f )/m v 汽车以恒定功率运动 2.恒定牵引力的加速 (1)由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒 定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断 增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。 这时匀加速运动结束，此后汽车要想继续加速就只 能做恒定功率的变加速运动了。 (2)可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这 种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能 用W=Pt计算（因为P为变功率）。 (4)注意：匀加速结束时机车的速度并不是最后的 最大速度。因此时F，之后还要在功率不变的情 况下变加速一段时间才达到最后的最大速度。 变加速运动匀加速运动匀速运动 ff fFF2F1 A B C vB= P额/F1 vA= 0 vC= vm 汽车先做匀加速运动，再做变加速运动。 a=(F1-f )/m 不变 v=at P= F1 v P=P额 不变 v F = P额 / v a=(F-f )/m P=P额 不变 F2 = P额/vm =f a=0 v= vm 例九.质量为m = 4000kg的卡车，额定输出功率为 P=60 kW。当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶 100 m，升高5m，所受阻力大小为车重的0.1倍，取 g=10 m/s2 . 试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000 N不变在坡路 上行驶？ (2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？ 这时牵引力为多大？ (3)如果卡车用4000 N牵引力以12m/s的初速度上坡 ，到达坡顶时，速度为4 m/s,那么卡车在这一段路程 中的最大功率为多少？平均功率是多少？ 分析:汽车能否保持牵引力为8000 N上坡要考虑两点：第一，牵 引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超 过额定功率，依P=Fv解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的 计算。不少同学在得到F f + mgsin后，立即做出结论：汽车 可以保持牵引力8000 N不变上坡；而没有考虑到汽车由于加速 ，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运 动方式是不允许的。 解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F, 重力mg4104N，fkmg4103 N，支持力N ，依题意sin5/100。 （1）汽车上坡时，若F8000N,而fmgsin 410341041/206103 N,即F f +mgsin, 汽车将加速上坡，速度不断增大，其输 出功率P=Fv也不断增大，长时间后，将 超出其额定输出功率，所以，汽车不能 保持牵引力为8000N不变上坡。 (2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力 以保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力F= f + mgsin=6103 N时，汽车加速度为零，速度增大到 最大，设为vm，则PFv（fmgsin）vm； F= f + mgsin=6103 N （3）若牵引力F=4000N，汽车上坡时，速度不断减小 ，所以最初的功率即为最大， P=Fv=400012=48103w。整个过程中平均功率为 =32103W 电动机通过一轻绳吊起一质量为8kg的物 体，绳的拉力不能超过120N，电动机的 功率不能超过1