空间向量数量积应用.ppt

空间向量与立体几何 立体几何中 的向量方法 直线的方向向量与法向量 向量法证两直线平行与垂直 求空间角 求空间距离 向量距离 空间向量 及其运算 空间向量的 加减运算 空间向量的 数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算 共线向量 定理 共面向量 定理 平行与垂 直的条件 空间向量 基本定理 向量夹角 第六部分 立 体 几 何 与 空 间 向 量 退出退出 上一页上一页 空间向量数量积的应用 例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 求异面直线A1B与AC所成的角 归纳生成 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上 两向量的数量积，而要求两向量的数量积 ，必须把所求向量用空间的一组基向量来 表示 例2 已知空间四边形OABC中，AOB BOCAOC，且OAOBOC.M、N分别 是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证： OGBC. 归纳 abab0，事实上， 用向量法证线线垂 直问题是向量的数量积的应用 已知：在空间四边形OABC中(如图)， OABC，OBAC，求证：OCAB. 已知：在空间四边形OABC中(如图)，OABC， OBAC，求证：OCAB. 命题方向：距离问题 例3.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两 两夹角为60，则AC1的长是多少？ 变式：如图，在平行四边形ABCD中，AB AC1，ACD90，将它沿对角线AC折 起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离 3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 【温故知新】 二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴 、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一 个空间直角坐标系O-xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。 x y z Oe1 e2 e3 给定一个空间坐标系和向 量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O-xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标. 三、空间向量的直角坐标系 x y z Oe1 e2 e3 空间向量运算 的坐标表示 , 则设 一、向量的直角坐标运算 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、距离与夹角的坐标表示 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知 、 ，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则 例1 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值. 证明: 设正方体的棱长为1, 建立如图的空间直角坐标系 x y z A1 D1 C1 B1 A C B D F E 小结