的正交分解及其坐标表.ppt

3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示 共线向量定理: 复习： 共面向量定理: 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 复习提问：平面直角坐标系中 、 2、 提 问: 我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示. 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示? 墙 墙 地面 下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法. z 1 3 4 x 4 y 15 O (4,5,3) 一、空间直角坐标系 o x y z 从空间某一个定点 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐 标系xyz 点叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面 o x y z 在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系 说明: 我们一般建立的坐标系 都是右手直角坐标系. 空间直角坐标系的画法: o x y z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴 1350 1350 2.y轴和z轴的单位长度相同， x轴上的单位长度为y轴（或z 轴）的单位长度的一半 有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点怎样来表示它的坐标呢？ o x y z a b c (a,b,c) 经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴 ，它们与x轴、y轴和z轴分 别交于三点，三点在相应 的坐标轴上的坐标a,b,c组 成的有序实数对（a,b,c)叫 做点的坐标 记为：（a,b,c) 在空间直角坐标系中，作出点（,）. 例 分析： o x y z 从原点出发沿x轴 正方向移动个单位 1 1 沿与y轴平行的方向 向右移动个单位 2 2 沿与z轴平行的方向 向上移动个单位 （,） 2 在空间直角坐标系中,x轴上的点 、xoy坐标平面内的点的坐标各有什 么特点？ x轴上的点横 坐标就是与x轴交 点的坐标，纵坐标 和竖坐标都是 xoy坐标平面 内的点的竖坐标为 ，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴 作垂线交点的坐标 单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交 基底，常用 来表示. 因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底 以点O为原 点，分别以 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴， 这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫 做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. x y z O k i j 对空间任一向量 ,由空间 向量基本定理，存在唯一的有序实 数组 ,使 空间直角坐标系 在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点A, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 使 (如图). 显然, 向量 的坐标，就是点A在此空间直角 坐标系中的坐标(x,y,z). x y z O A(x,y,z) i j k 也就是说,以O为起点的有向线 段 (向量)的坐标可以和点的坐标 建立起一一对应的关系,从而互相 转化. 我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫 做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交 基，进而确定各向量的坐标。 一 空间向量基本定理： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以 用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢 ？ x y z O Q P 由此可知，如果 是空间两 两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？ 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一 向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z ，使 都叫做基向量 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。 x y z B1 A1 D1 C1 B D C A 练习1、 则各顶点的坐标为: A_,B_ C_,D_ ( 0, 0, 0 )( 2, 0, 0 ) ( 2, 2, 0 )( 0, 2, 0 ) ( 0, 0, 2 )( 2, 0, 2 ) ( 2, 2, 2 )( 0, 2, 2 ) 练习、建立直角坐标系，求作 点G(1,3,0)，点Q(0,2,3) Q D z x y B1 A1 D1 C1 B C A 则各顶点的坐标为: A_,B_ C_,D_ ( 0, 0, 0 )( 3, 0, 0 ) ( 3, 5, 0 )( 0, 5, 0 ) ( 0, 0, 2 )( 3, 0, 2 ) ( 3, 5, 2 )( 0, 5, 2 ) 总结: 练习、点B是点A(3,4,5)在坐标平面 内的 射影，求 5 A(3,4,5) 与y轴垂直的坐标平面是_A (3)点A(3,4,5)关于原点成中心对称的点A 的坐标是 x y O z 3 4 B(3,4,0) 练习、(1)与x 轴垂直的坐标 与z 轴垂直的坐标平面是_ (2)点P(2,3,4)在 平面内的射影是_ (2,3,0) 在 平面内的射影是_ (2,0,4) 在 平面内的射影是_ (0,3,4) 平面是_ 练习6写出下列各题中向量的坐标 (1,2,3)(-1,5,-4) (-5,-2,0)(0,3,0) (-2,7,4)(-4,-3,6) (-18,12,30) -3+10-5=2 (2,-3,1) (2,0,5)=4+0+5=9. (2,-3,1) + (12,0,18)+(0,0,-16) =(14,-3,3) (3) (1) (2 ) 练习： 1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。 2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关