矩阵的初等变换.ppt

矩阵的初等变换 定义定义 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： (3) 把矩阵第i行（列）的k 倍加到第j 行（列），记为 (1) 互换矩阵中i, j两行（列）的位置，记为 (2) 用非零常数k乘矩阵的第i 行（列），记为 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。 行变写在箭号上方 列变写在箭号下方 第六节第六节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 一、一、矩阵的矩阵的初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 定理定理 任何矩阵任何矩阵都可经过有限次初等变换化为都可经过有限次初等变换化为 如下形式的矩阵：如下形式的矩阵： 称为矩阵A的 等价标准形等价标准形 矩阵在初等变换下的标准形矩阵在初等变换下的标准形 （有限次初等变换） 即即 例（书上P55） 由单位矩阵由单位矩阵 E E 经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 称为称为初等矩阵初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 初等矩阵初等矩阵 i 行 j 行 i 行 j 行 i行与j行互换换 (i列) (j列) (1) (1) 互换矩阵互换矩阵 i 行 (2)(2) 倍法矩阵 i行k倍 (i列) j 行 k 倍加到 i 行 (i列) (j列) (3)(3) 倍加矩阵 i j i 行 j 行 性质性质 (1)(1) 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型初等矩阵；初等矩阵的转置矩阵仍为同类型初等矩阵； (2)(2) 初等矩阵均为初等矩阵均为可逆矩阵可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵，有同类型的初等矩阵，有 (3(3) 方阵方阵 A A 可逆可逆 A A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积 （证明略）（证明略） 初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系 定理定理1 1 设设 A A = ( = ( a a ij ij ) ) 是是 mm n n 矩阵，则矩阵，则 (1)(1) 对对 A A 进行一次进行一次行行初等变换，相当于用一个相初等变换，相当于用一个相 应的应的 m m 阶初等矩阵阶初等矩阵左左乘乘 A A ; ; (2)(2) 对对 A A 进行一次进行一次列列初等变换，相当于用一个相初等变换，相当于用一个相 应的应的 n n 阶的初等矩阵阶的初等矩阵右右乘乘 A A . . “ “箭号箭号” ”改改“ “等号等号” ” “ “等号等号” ”改改“ “箭号箭号” ” 例例 1 1 设 将 A 的第一、二行互换和将 A 的第一列的 2 倍 加到第二列，试用含初等矩阵的乘法将这两种变 换的结果表示出来. 例例 2 2 计算E(1, 2) A3 3，其中 1. 1. 初等初等行行变换法变换法 （1 1）求）求 A A-1 -1 分析一：分析一：A A-1 -1 A=E A=E A A -1 -1 E E= =A A-1-1 设设A A - -1 1= =P P 1 1P P2 2 PP s s ，P P i i 为初等矩阵为初等矩阵 初等初等行行变换变换 A A E E E E A A -1 -1 初等初等行行变换变换 相同的行变相同的行变 二、求逆矩阵的初等变换法二、求逆矩阵的初等变换法 n n 2 2n n 矩阵矩阵 ( ( A A , , E E ) . ) . 对矩阵对矩阵 ( ( A A , , E E ) ) 作作一系列的一系列的行行初初 部分就是部分就是 A A-1 -1。即 。即 ( ( A A , , E E ) ) 初等初等行行变换变换 ( (E E , , A A-1 -1 ) ) 设计求法：设计求法：将将 A A 与与 E E 并排放在一起，组成一个并排放在一起，组成一个 等变换，将其左半部分化等变换，将其左半部分化为单位矩阵为单位矩阵 E E，这时其右半，这时其右半 分析二：分析二：应用分块乘法应用分块乘法 A A -1-1( ( A A , , E E ) = ) = ( (E E , , A A-1 -1 ) ) 设设A A - -1 1= =P P 1 1P P2 2 P P s s ， P P i i 为初等矩阵为初等矩阵 例例 3 3 证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵 ： 解 若不能化到若不能化到 单位矩阵单位矩阵E E， 则则A A不可逆。不可逆。 分析：分析： 设设A A - -1 1= =P P 1 1P P2 2 P P s s ， P P i i 为初等矩阵为初等矩阵 （2 2）求）求 A A-1 -1B B ( ( A A , , B B ) ) 初等初等行行变换变换 ( (E E , , A A-1 -1 B B ) ) 解矩阵方程解矩阵方程 AX=BAX=B A A -1-1( ( A A , , B B ) ) = = ( (E E , , A A-1 -1 B B ) ) 例例 4 4 求解矩阵方程 AX = A + 2X , 其中 例 3和例 4 是一种用初等行变换求 A-1 或 A-1B 的方法，当 A 为三阶或更高阶的矩阵时，求 A-1 或 A-1B 通常都用此方法.这是当 A 为可逆矩阵时， 求解方程 AX = B 的方法（求 A-1 也就是求方程 AX = E 的解）. 这方法就是把方程 AX = B 的增广矩 阵 (A , B) 化为行最简形，从