垂直于弦的直径.ppt

广饶实验中学 邵建芹 赵州桥 【简简介】 赵赵州桥又名安济桥济桥 ， 位于河北赵县赵县 洨河上， 它是世界上现现存最早、 保存最好的巨大石拱桥桥， 距今已有1400多年历历史，建于隋大业业(公元605-618) 年间间，是著名匠师师李春建造。 37.4米 7.2米 赵州桥 课堂探究 圆是一个非常完美的图形， 因为它具有什么性质呢？请同学 们把自己手中的小圆沿直径对折 一下，你会发现什么？ 圆的对称性(一) 课堂探究 O 圆是轴对称图形。 经过圆心的每一条直线 都是它的对称轴。 用折叠的方法找到一条直径CD 作一条非直径的弦AB，且CDAB，CD交AB于M 沿直径CD折叠 通过观察，你能得到哪些等量关系？ O AB C D M 做一做 想一想 课堂探究 AM=BM, 由 CD是直径 CDAB 可推得 AC=BC, AD=BD. O AB C D M 理由: 连接OA,OB, O AB C D M 则OA=OB. 在RtOAM和RtOBM中, OA=OB，OM=OM， RtOAMRtOBM. AM=BM. 点A和点B关于CD对称. O关于直径CD对称, 当圆沿着直径CD对折时,点A与点B 重合, AC和BC重合, AD和BD重合. AC =BC, AD =BD. 1、观察下列图形满足“垂直于弦的直径”的条件是( ) BA D C O A B D O A B D O A B C D O 图1 A B C D O 图2 O A B C D 图3 图4图5图6 图4、图5、图6 看谁学得好 2、如图，半径OC垂直于弦AB ，垂足为D，AD=2cm，弧 AB=5cm， (1) AB= cm； (2)弧AC= cm。 O B A C D 小试牛刀 2.5 试一试 挑战自我 3、判断： 垂直于弦的直径平分这条弦（ ） 平分弦的直径垂直于这条弦. （ ) A B C D O 垂径定理推论 推论 平分弦( )的直径垂直弦,并且平分 弦所的两条弧 O AB C D M AM=BM,如图 CD是直径, CDAB, AC =BC, AD=BD. 弦不是直径 1、如图，已知在O中， 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离OE为3厘米，那么O 的半径是 厘米。 . A E B O 变式训练 如图,弦AB的长为8厘米,过点 O作AB的垂线交AB于E,交弧 AB于点F,且EF为2厘米,那么 O的半径是 厘米。 应用 探索 F 5 5 例1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如 图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长) 为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形 高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 垂径定理的应用 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半 径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设 在RtOAD中，由勾股定理，得 解得 R27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. AB=37.4 CD=7.2 AD= AB= 37.4=18.7 OD=OCDC=R-7.2 OA2=AD2 + OD2 即：R2 = 18.72 + ( R 7.2 )2 C D O AB 课堂小结 1.圆的对称性 2.垂径定理及推论 B A D C O E 3.技巧：重要辅助线是过 圆心作弦的垂线。 4.思路：（由）垂径定理构造Rt （结合）勾股定理建立方程 作业设计 必做题 、P95习题第7、9小题 选做题 、证明垂径定理的推论 1、已知：如图，在以O为圆心的 两个同心圆中，大圆的弦AB交小 圆于C，D两点。你认为AC和BD 有什么关系？为什么？ 证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD . A CD B O E 注意：解决有关弦的问题，过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径 ，也是一种常用辅助线的添法 应用 探索 2、如图，已知OA=OB，求证AC=DB O ACDBE 解：作OEAB OEAB，OE是弦心距（已知） CE=ED（如果圆的直径垂直于弦， 那么这条直径平分这条弦） OA=OB，OEAB（已知） AE=EB（等腰三角形三线合一） AC=DB 2.已知：如图，在O中，AB、 AC为互相垂直的两条相等的弦 ，ODAB,OEAC,D、E为垂 足。求证：ADOE为正方形。 O A B C D E 课堂练习 证明： ODAB,OEA C