ch4傅里叶变换和系统的频域分析.ppt

第第 1 1 页页 4 4 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换 4.8 LTI系统的频域分析 4.9 取样定理 第第 2 2 页页 4.8 LTI系统的频域分析 基本信号e j t作用于LTI系统的响应 一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 频率响应H(j)的求法 无失真传输与滤波 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号： 其基本信号为 ej t 第第 3 3 页页 一基本信号e j t作用于LTI系统的响应 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率 的基本信号ej t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换， 记为H(j )，称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ) ej t H(j )反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况。 y(t) = h(t)* ej t 第第 4 4 页页 二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej tH(j ) ej t F(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齐次 性 可加 性 f(t) y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j ) 第第 5 5 页页 频域分析法步骤： 频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变 换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即 H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；()称为相 频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数， ()是的奇函数。 傅里叶变换法 第第 6 6 页页 对周期信号还可用傅里叶级数法 周期信号 若 则可推导出 例 第第 7 7 页页 频域分析例 例：某LTI系统的H(j)和()如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。 解法一：用傅里叶变换 F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10) Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j)=H(j) ej() = 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j) = 2 +2sin(5t) 第第 8 8 页页 解法二：用三角傅里叶级数 f(t)的基波角频率=5rad/s f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t) H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0 y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t) 第第 9 9 页页 三、频率响应H(j)的求法 1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j) （1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶 变换。 （2）由电路直接求出。 例2 例1 第第 1010 页页 频率响应例1 例1：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换 jY(j) + 2Y(j) = F(j) f(t) = e-t(t) Y(j) = H(j)F(j) y(t) = (e-t e-2t )(t) 第第 1111 页页 例2 ：电路如图所示，激励为us(t)=(t)， 求零状态响应uc(t)。 + C R _ + us(t) _uC(t) 解：电路频率响应函数为 激励的傅里叶变换 第第 1212 页页 电路零状态响应uC(t)的频谱函数为 取傅里叶逆变换得 uC(t)=F 1UC(j)=(1et)(t) 根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函 数，由H(j)可求得系统的零状态响应。 第第 1313 页页 四、无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类： 信号的传输 滤波 传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱 不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与 输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不 同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j) 第第 1414 页页 (2)无失真传输条件： 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是 ： (a)对h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)对H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽 的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、 相频特性满足以上条件即可。 第第 1515 页页 4.9 取样定理 信号的取样 取样定理 取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完 全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续 信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。 可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了 一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。 第第 1616 页页 一信号的取样 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。 这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 。 它是对信号进行数字处理的第一个环节。 脉冲序列 数字处理过程： 需要解决的问题： Fs(j)与F(j)的关系 由fs(t)能否恢复f(t)? 第第 1717 页页 1理想取样（周期单位冲激取样） f(t)F(j) (m1 An=A-n 偶函数 第第 2828 页页 2、指数形式的傅里叶级数 负频率变量，没有物理意义，只是数学推导。 负频率与正频率成对出现。 第第 2929 页页 3、周期信号的频谱 双边幅度频谱为偶函数 双边相位频谱为奇函数 三角形式的傅里叶级数需统一用余弦函数表示； 如果Fn为实数，将两张图合为一张，相位体现于正负： 第第 3030 页页 2、周期矩形脉冲的频谱 频谱特点 第第 3131 页页 4.常用信号的傅里叶变换 第第 3232 页页 对称性 尺度 时移 频移 时域微、积分 频域微分 卷积定理 附录5 常