常微分方程证明题及答案.docVIP

65 常微分方程证明题及答案证 明 题（每题10分）1、设函数f (t)在上连续且有界，试证明方程的所有解均在上有界.证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t00+)由一阶线性方程的求解公式有 现只证x(t)在t0,+)有界，设|f(t)|M ,t0+)于是对t0t04、设函数y (x)在上连续且可微，且试证05、若y1(x),y2(x)为微分方程的两个解，则它们的朗斯基行列式为其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数6、求微分方程的通解7、解方程8、解方程9、解方程10、解方程11、已知是连续函数。（1）求初值问题的解，其中是正常数。（2）若（为常数），证明当时有。12、已知当时具有一阶连续导数，且满足（1）求；（2）证明：当时有。13、设是方程的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒等式： （为常数）14、当时，连续且。证明：方程 （1）在区间上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数是以为周期的周期函数，则这个解也是以为周期的周期函数。15、设函数连续可微，且，试证方程孙有积分因子 16、证明方程具有形如的积分因子的充要条件为 ，并求出这个积分因子。17、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设为非负常数，和是区间上的非负连续函数，且满足不等式 则有 ， 。18、设在方程中，在某区间上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间上的严格单调函数。19、假设是二阶齐次线性方程 的解，这里和是区间上的连续函数。试证：为方程的解的以要条件是。其中表示的朗斯基行列式。20、在方程中，在上连续，且。试证明：已知方程的任一解均有。21、设为连续函数，且满足。求证：.22、设是常系数线性方程组的基解矩阵，适合条件，试证对任何成立等式 .23、设是连续的阶方阵，存在，且适合关系，.试证：存在阶常值方阵A，使得。证明题附加题1，设方程中的和在上连续，且，试证：对方程任一非零解，函数为单调递增的。2，设函数在上连续，且，且（为常数），试证：方程的解在上有界。3，若为微分方程的两个解，则它们的朗斯基行列式为，其中由确定的常数。4，已知方程 （1）其中是上的连续函数，若为（1）的两个解，则恒等于常数。5。设是二次可微函数，且，证明：若在某不同两点处的函数值为0，则在该两点之间恒为零。6，设是微分方程的一个解，证明此方程满足条件 的特解为。7，设具有连续二阶导数，且曲成积分 与路径无关，证明：。证 明 题 答 案 1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t00+)由一阶线性方程的求解公式有 现只证x(t)在t0,+)有界，设|f(t)|M ,t0+)于是对t0t+有 |x0|+Me-t |x0|+M |x0|+M 即证 2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线性方程的求解公式有 现只证y(x)在x0,+)有界，,t0+), 不妨设x0充分大 于是对x0x0,使当x x0时,有|p(x)|M1 |y0|+(-) |y0|+ |y0|+ 即证 3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线形方程的求解公式有 两边取极限 = 4、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线性方程的求解公式有 两边取极限=0+5、证明：由朗斯基行列式定义有()= 用分离变量法求解有显然k为由确定的常数 6、解：因所以方程仅有与X有关的积分因子 M(x)=则：故：7、解：原方程化为积分得故8、解：方程化为这是齐次方程，令y=ux，则有-lnu-ln(1+lnu)=lnx+lnc从而通积分9、解：首先，易知均x=1,y=1为方程的解其次，由方程得到 即10、解：分离变量得 积分得故11、证：（证法一）（1）原方程的通解为记为的任一原函数。由 得到 。所以 （2）（证法二）（1）在方程两边乘以（积分因子） 从而 由 得到： 即 （2）证法同上12、解：（1）由题设知。则 且令 两边求导得到 设 得 两边积分得 代入初始条件 故 （2）利用拉格朗日中值定理知：当时 在0和之间于是 另外 所以 在单调增加，而。故当有。从而 当时 。13、证：由通解公式知：任一解可由公式 （1）表示，其中C为对应的某常数。也应具有上述形式，设它们分别对应常数且，则由（1）式得 14、证：方程（1）的通解为 （2） 1）取（由假设知，此广义积分收敛），得解 （3）则由，易证 此即为（1）的一个有界解。2）若，对（1）中确定的解（3），当有令，则上式右端为 所以也是以为周期的周期函数。15、证：用乘方程两端，得 (1)因为 所以（1）是全微分方程。16、证：方程有积分因子的充要条件是 ，令，则有 即满足下列微分方程 上式右端应为的函数，这就证明了为方程的积分因子的率要条件为 求解（1）式得 。17、证：1）时，令 则，由可得 两边从到积分得 即有 所以 即有 ， 。2）时，对任意，由于，所以。由1），有。当时，有。因为，即得。从而 ， 由1），2）知，不等式成立。证毕。18、证：设是已知方程的定义在区间上的任意两个线性无关的解。根据刘维尔公式有 其中。考察 由于，在上恒不等于零，并且，故在上恒为正或恒为负，从而在上是严格单调函数。19、证：充分性。因为 而是已知方程的解，所以故有 ， 即是已知方程的解。必要性。因为为方程的解的朗斯基行列式即满足 。20、证：已知方程对应的齐次方程的通解为 现在利用常数变易法求已知方程形如 的一个特解。得到所满足的方程组 解得 故已知方程的通解为 （1）由洛必达法则 同理可证 由（1）式即得 即证明了已知方程的任一解，当时，均有趋向于零。21、证：这是一个含求知数的积分方程，将它转化为微分方程求解。即 （1）并且，由已知方程知 （2）解（1）得 再将初始条件（2）代入上式，得 故 .22、证：令 （是常向量）那么 （1） （2）因为是的基解矩阵，所以（1）、（2）两式还成