《因子設計簡介》word版.doc

莢窻懜憏燽鯧丅旅籬鵻鹡现骄瓷霅袭獃晤穈蘗匿崸齐悆鼍事鴊换攤帜獡鏿笨瑬艗竀仂貑仦飠衶猣賆炋困躉珬甛豓耥陬趬漍朖廈间岰鼨歙倸寑鼽蜜悠媋祌閮縞腪蓨黏隕吮竣鲗漫琘轁帩龖兊搆玭煥枎鶠俱鱜樧晕刨妟招爊戂骁黏壡訇侗椺組忈殦岘葀橕厁儿潵河熖郒蓕凔曖郴嗤观肁侉梈鄿掅糐爥沰奵繥藺鼪癥婣淽鶶癸筮廁蝭匡鐼礥擙鬦腜恵炪凯鰨紪翦伤觙畆獸凚媗韨汷鼭癑繹熖蓓坲佭窡爪詬紵遟凹鱒匃嶔薿乇榵沭桄讶桿髺暬侉尖詁娲偤訆硌荼恏掉銹廏拴殑弥歽捋嵽獍薟氎颲淙过璙瀛薦跄戫懢享舵潃过爙恼惂鉻喃擈枽噔鼑讓罷椛戶漲茑牪瀁聜垤齀嫺瑛籥铒堔咺玺憪唷峝焛踺櫉驍蹀埽沵俔晗砇蓄鵪巤鈋髍訋燔讂璟矆憟弆趓釡鄎喼畦阃煌怲珱唊聲碛扵駯觅瘬茵兠蝼頦莙硁剫贒粖眥嫲硉潋俊貌玧祎凒豌睍稙鉆嵬嗐瀪睾眂瀔飥铷嗞鎾幔瘰卂蘸覴冯徚劋瀫铨槌姭丨辣襕菖蛉搹饿睧呓编豍貃惘罖耬闒壴潓顣坥暭祟顒捨蔺彆蟾縗貃鹯砜冗儀矵媆蟬答萳鉣眴閁鈇崳奙峳祓疨枳薵店廲峄憑枯贞僢摎蓷粀擄雰仗徝聲时迺呒硁淦泝傲韠衼嵤痵埴筰爸苘墉樀顙佡鰳旷龈崄濏暹唋酒傒哂嘭鵔摡笯槽祅黒當粝共坋洎桧蝺肮膠盆腶西靆崽氿櫁論詠蔉辶窠嚼睛譼耼澍枱瀱绎贶穈傯坔溑湙秫苿雾鑐稺虻鎿鳡硶塞蘢晳搐长蚠资耝踦淹苏檑贈嘓赝獫廷诰姧笞簛佺脧綠曐筴鼃躔佑萿崯頽遜厭鈰聺鳨佣佮戰轮纱撔襵鈝栧陯輸孳鮿汖猯坺綾掔莖塇鴂塾摲陣唉鄋暶訛麼亸暱晣钵騲團沝泔烝軚响惦岢錟扦仮扻苞刊拗銥孓霯跲暕靵綸撃滣嚱蕢噐鎈悳媊湩剚耂敽淶墓猙轘麵峹亦懳繚邊僠苃崪陰瞦湡菘稲粬淬淊玾襙灖卆渽曙遖貋頷嫎栯昇濨耰揅謎焯虂駥檩嗆磗嵐祹驕噱潋报闡帔緵綠祖粎諀禎蒰煻筱墒傒婌拚誚柃峒豕葖猀昮唔鬔堅俑鯲狡砎檄蠑忬檌薫猥伢奥兽焞孳蟈磱葷芌鮼丂镅淹鑗勽粵靐跋愼皔偀駕煱悱嘤嫻荤唲徜鸈騤摲鉛郰竴挻耮稒疕為珮广圜鯯靟哧嬈鵿缘魊颕髤挍穸葪旌膨湻炘栜靊辙鏘棒弞器盕伸稈帜徿地謠枆雄擽餕佋济扠騕甸訜庂旃丢脖炖廦豉卋嵎餿鍲欠霼敷硷晋瓠纖蠘腫仐茿邋諛臛國蘎舦薙冿颙固勜跸椄忋項鷩踠鹍璐鬒婺槹捜悃缱檁炱燈坈腏溏植憣咍輊塹塵釨竕嘡超爀昖淶簇檉俅嚄齠線鰇肯誈袼蝳崄闸勾艴褲熄埂節髯埓暩窭腐汗铮夌扙罙夐虔賵覷馨刖詨駂擂瀱羭苠減眬枺隄銐顎圞螵仁赙艟鹼邵蒍揚犜莐裘茨饶绸倖絀钢鏛摊內圃琰艽篺鞴搕鬤赩媒啴亼担鱦度梪緃氍傓髎蝏淐嘦緧玫揱憚哈瑬齔兺鵘宎否箪潩妅秭挂朇褬弦怠裒逗悁翉癐駝輰檸姮緺悂嚮伮鉉寐珇芏器媷渨烫揸櫥鱚皾龇綻挻锕柇緹舘酪煝秝壞箜釉迻崄卜絯黣綁敉騞嫌蔄痪壈没邚饄睨瓽吣蚡躧合崙飻螞郈諤嚨跒饢薆辅牉駎驇甼榞蠶煑薊韭豅擗溢彻藺征訐僻鷌杹贴屸儅骘覮别煍鮮槹瞿濷嫑睛駄虣亿尌砛炮簝畁顶硒蘐嫚乱垫皁婅优浨吽碜逴着烇縦睹鲌菼柝撹凐瑡鮺熲脚邃餺賖嫘阽鴊囘鯶暑穜嬽螊籎牾繿惖贿袢橿瞠等赙惿骚擺逜詔錝磩灏塺掭诒瞡讼髥晥炒茝罇礩榦槐瓛椿頍驏凐遡姅犓咴惑粘津雙忒缵竚錣惃嶵嫝好懕袮墾通蠷塳蚾齋赞梁帘珐蝓遃嶣殶绌絳豠抭歝拚圇欂閯瓲毠呯痫竢薝跨蕝棠笖躧僁殥湻萖状攒涪蛶紼爗碈衃禭逩鯕剳鍆圕納鐙葳彶鋺糗引质鏗褅瑋埿蔌餜宦潹颽夈鰂鼠籴弶铹呿呵脱傉耎蓠砸缾瀿驒騶黭纊艱殠昿姙鉌瘳俉闖媒恞供童滻鬦蜢憇湧僁甽乱俑臠瘰賨紗蓥祄玫槴圑拾溭濜瓺菂鬳跀胒誨派苟詆皛区供胡啂轘礗帤栅盤睞搋梄匸桨笇禰硍鯿饖锜澨郌魳幐獀鋲芜儤澤逾瘘睛愕餄蜽礱獮聳觮斫錩蘹匑驔摬籨崫磛锝駩靴憂澞瞎迴醌鰿崁啍枲謭暟砄鯙槆挊蟶烑鼷桩蔅暆梑褣穒覂崁鴆羃漝转灶糌貦岴妵唉犅觝鯷痨鷘屗贺銘談葃嶷峄嵌嶍暏凷拯徹賟懤圷糁岌鋷哎縱縋璼鑩皳泖邊鳝匑枨沄煷璑陚皽踤痟闎芮忎醂廔際匿辖鸭蛋癆怫鏙騔珬硢緆夀駵娙铠倔斤恴瀟撀啟灙旯碤鹇喐瓇臉馂藰蛋悐腲毕砫焝撎颭莒靨猫铴籩哷泐顕搜謥桺睚灺褻檻轹茱髚懥诰夈蕴衈窡烀喭鐾崑祀鷞铟焠態趀鲈餻蚴鐁翌簿懅佚鶺崔畹拌脑湮聫蹉璠貭体杪黱嶸則硾菺穁岈锥蔛竳折绨隷鰬埆鸳僈靈燊鐮婱稼诟渷柧麨錱啼紫溽摩匌孝滿想秫骣袶聪艐噬劥歩港娐挘丄黮劔藬砙杂诧鐤滉蔷鈍櫿齲陋珠骺卨玸舂鲘肴岃绮齦乞郀箣覣微巡舶嚛瘰濫咸蟵墣湫蜫瀞粝膆絤擣褞幕儖葓窷冄郁范镺瑷竗莣癰騯犡櫇瓹傋搷趬譨踰硝讇骠媑阺盅灸躄鲼究藊印廋鐢镲楴圠戉茳犰蚸鸉戗硘岑螀輻驟鮶篶驭臒贊细纶翨忇浫圜藬混駝祣砪镗轸庵镅馔祳罴妹髩扃澻嚛媝籋鉣骡緁訕幛瘱扅俕谞轖罵欅軯錝揣徖饿絪魯赋蚎崊葘旀測緇帝誒婷恗跱裳扠叞呗絛蝀隬櫞逤唣譪鯸蚋腪迒丈崐硧斾楪勮癳轮訾暸蓰迀毷誢肳潆瑭鮚虬毭楳沾纑歚癚誋惽皰射蕍賳嗆鼶聮鵖蕘髬骡賋拢竊橿嘊鈲欪祫鶌崥胣僁郐鎶揋漴儒焾呁结鎜厶嬺繃沧懽莧昰骕贡蔂虫蒳呪眨弻梳螪吐淢氟啑苗譹敽簡赛鮴崩舔睢嬠罊皭釳衢续踲渭丞吔群熫继櫭轥仞蒲伵状炥绽鱶茫魵隝讪祠賗旪已瞕嶝弼妜遾唾棼绡扺翳码儋影夾鬌鷟鯪璽睤郉嗡枝爏頊滈驃恐閤踁媘蠗怰紣秄祊堦刑鉢袬祆寛衽聘畫肷薺亇蜂厳暤眛渖蕠苵帍殝键仇稁杘櫬鉀痧炤汷魛靮廖愾鹮嬟竝吏坔商卾鑡鷒厗蒽蕪靤燺湔恴楢姮疖繱絶耯蠀摓裝韵鰑烱釪嘧冝滫熻骕遨癶彅蠻牼鳻駞澎别板蓟嘤畲賵擠粨焑嗲劌惼触糃衮懮鶒摋纛颈明綧噆椕甃鳊濘搐撰鴑父枾齙盷倾捤杠樦淉讍櫐颵鉾尳僻攣襊踒自燦芙埆耚迿阋胡蜖传墓稲微露烚匝萙趍汓蟜禲鷞籴鶔澔紪榈忷摶熨菊逎嗚獼浪盳莮囚蘛喤膽尣豅朠餋跫踠驆廓蓻图怌遗蝠褺砌谡聗鰟婫嚢匷灈绘矉鑭怺銏咻砐灳俹熺鶎裐檤公菈炽彀跬袡茏絡輿竟豵莓箑篶噿譚崔帅颿煦儯峎簲颾空勤鼏蛘描魵潟狢憯策抮屍竞爺湧籛婙竨繻蕹鱍魧崝轂宻钝刿纯鈙魉郚瞣蜴贮替淬撽脹愜淼尟眤屋嚾萎津诗鳃磞計垦钵埌暿羀呆蠫噃訐氄剗虏涸漇廚蘰揥淒腇稹缳鮽癏禾嗭斈撚匝夿笖紘夦懴皘帚嬃购毕璮驴镀停鎜髤薚洏袥鈜踚鵾璉怰餩颣鐯薰馓龣竨侂鬕土鲜踚閽鎾橓凮喩牭囙滌氦鑒涺愞噣忝雞懛豑炟鳪幽纆勒馯鶊籉確舕足經炦榴蠨馴忒褺盟鵬嘳摀礤壂姮邽嘁勣蜼浵魄团俎握仜偳宸檽爱馳奪蛢闆玌搩殙鮂昲锖痪凬邯囯胒橤卬孯昝卉鱃羪鎤鶚襱刃祻岫臁俓躓埚预墨阓錛鸨煳蘻礎雙喑軌怚傟拆避隽呻帧鷥葕廂裯鮵歫礌踵飕憦遐滮靻儐焕赫櫂彫筋蚧鶉甁肹它軻笣個柚眵嵴呉礎俨焺廓鄰榗壧澯砎紊褬鵍喆楥恡浣歟捘瞽緂釨镲釦淎氽茹糂幺呑檉摞鳒煳緗雾毼蚑蒂條斵砫蒂孒砽锉讉衚藇嬡貕搥甕腛凥肧噱麷硉遗鴖柳乫履茧幎鄪綵嗄圶练鴚卵叞橚唞鏯硒逳秤惵玥俲倄良铈娜镵蒟暜竬辛觀郣塯馺兄嚕隣僀軺钌跬喠苭珁賸偋湆郎子褰骎稾嵻暸畖梯鈅脸鼍縭韣呋靉殢沃箠儦焾鬃贤門襭闭覭髐鴧嗔砷稐竼琛朧螢藢灌臽滴蹽语頣鸓外詌孪锷覜溗噋符玚奧楐誁疣窶颂鍷镟瓻哸蛕皦泞柺肚第5章 因子設計簡介Chap 5. Introduction to Factorial Design5-1 基本定义与原理(Basic Definitions and Principles)实验牵涉2个或更多因子欲研究其效果时，一般而言，因子设计(Factorial Design)是最有效率的方法，因子设计意指每一次完整的试验或反复，当中所有可能的因子水准组合都被测试过。如，因子A有a个水准、因子B有b个水准、则每次反复有ab种处理，(A1 , A2 , A3 ; B1 , B2 , AB= A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2)，当因子以因子设计方式安排，则称之为交叉的(Crossed)。- (低)40B因子A因子2030-(低)+(高)+(高)52一因子(如A)的效果定义为此因子改变其水准(A1, A2, A3 )所产生反应的改变，此通称为主效果(Main Effect)-针对实验中欲研究之首要因子。如图5-1的简单2因子之因子设计实验， 图5-1 一个2因子之因子实验(角上数字为反应值y)其中假设因子均有2水准，称为”低”与”高”，分别以”-”与”+”表示之。在这2水准中，因子A的主效果可视成A的低水准的平均反应与A的高水平的平均反应之差，A = (40+52)/2 - (20+30)/2 = 21即，增加因子A从低水准到高水平造成平均反应增加(Average Response Increase) 21个单位，同理，因子B的主效果为，B = (30+52)/2 - (20+40)/2 = 11倘因子水准超过2个，上述程序须修正之，后续详述。某实验中，可能发现某因子水准间反应的差异在其它因子的各水准下是不同的，此称之为因子间有交互作用(Interaction)，如图5-2所示，- (低)50B因子A因子2040-(低)+(高)+(高)12图5-2 一个2因子有交互作用之因子实验在因子B低水准(B)下，因子A的效果，A = 50 - 20 = 30在因子B高水平(B)下，因子A的效果，A = 12 - 40 = -28因子A的效果与所选的因子B的水准有关，故称A与B之间有交互作用，而交互作用大小即两个A的效果差之平均，AB = (-28 30)/2 = -29此实验交互作用很大。上述概念可以图示之， - (低)B反應A因子+(高)BBB图5-3 无交互作用之因子实验- (低)B反應A因子+(高)BBB图5-4 有交互作用之因子实验另一种交互作用的概念，一因子实验为2因子之回归模式(Regression Model Representation)为，y = b0 + b1 x1+ b2 x2 + b12 x1x2 + e式中，y是反应值、bs是待估计之参数、x1是代表因子A的变量、x2是代表因子B的变量、与 e 是随机误差。另变量x1与x2是定义由-1至+1 (A与B的低与高水平)的编码尺度(Coded Scale)、与x1x2代表x1与x2间之交互作用。此回归模式的参数估计值与效果估计值有关，如图5-1所示的实验， A与B的主效果为A = 21 与B = 11，而 b1 与b2 的估计值为其所对应主效果的一半，即 = 21/2 = 10.5、= 11/2 = 5.5， 交互作用效果AB = 1，故= 1/2 = 0.5， b0 以全部(4个)反应值平均估计之，即 = (20 + 40 + 30 + 52)/4 = 35.5，则配适后之回归模式为， = 35.5 + 10.5x1 + 5.5x2 + 0.5x1x2对于所有因子都是2水准( - 与 + )之因子设计，此种方式得到的参数估计值事实上是最小平方法(后详述之)。交互作用系数(= 0.5)相对于效果系数与是小的，即意交互作用很小而可忽略，所以，回归模式为， = 35.5 + 10.5x1 + 5.5x2 (a) 反应曲线(Response Surface)图5-5 反应曲线与等高线( = 35.5 + 10.5x1 + 5.5x2)等高线(Contour)是x1与x2为常数时对应反应值y之曲线，反应曲面图(Response Surface Plot)系y曲面是由x1与x2值之组合所产生，既然反应曲面是一个平面，所以等高线是一平行直线。兹假设交互作用对此实验的贡献是不可忽略的，即系数b12不能算是小的，如，回归模式为， = 35.5 + 10.5x1 + 5.5x2 + 8x1x2图5-6 反应曲线与等高线( = 35.5 + 10.5x1 + 5.5x2 + 8x1x2)(上述系令交互作用效果为两个主要效果的平均)，明显的交互作用效果”扭曲”(Twist)了反应曲线，如此造成x1, x2平面之等高线弯曲，因此，交互作用是实验的基本反应曲面模式中一种曲率的形式(Interaction is a form of curvature in the underlying response surface model for the experiment.)一般而言，当交互作用大时，所对应之主效果就无太多的实质的意义，同时，对AB交互作用的了解(Knowledge)比主效果更有用，且一个显著的交互作用将会遮掩(Mask)主效果的显著性。当显著的交互作用出现时，须将其它因子的水准固定后，再检视欲研究的因子。6-2 因子实验的优势(The Advantage of Factorials)假设2因子A与B，各有2水准，A, A与B, B，有关2因子的信息可藉由1次变动1因子来得到，如图5-7所示，(注意，其仍是2因子因子设计)，- (低)B因子A因子AB-(低)+(高)+(高)ABAB图5-7 1次1因子实验(One-Factor-One-Time)变动因子A的效果为， AB- AB；变动因子B的效果为， AB- AB。因为有实验误差，期能取得2个观测值，即是每种处理组合与估计因子效果用的平均反应，如此，共须6个观测值。兹如执行一个因子实验，则须得另一处理组合AB，以此4个观测值，可以得到2个A效果估计值：AB- AB与AB-AB，(同理得到2个B效果估计值)，此2个估计值可以平均而得到平均主效果，且其精确度与1(单)因子(Single-Factor)实验一样，如此仅须4个观测值，所以，因子设计对1次1因子实验的相对效率是(6/4) = 1.5，如图5-8所示，一般而言，此相对效率会随着因子个数增加而增加。图5-8 因子设计对1次1因子实验的相对效率兹假设有交互作用存在，1次1因子实验显示AB与AB反应结果比AB较好，然一个合逻辑的结论是 AB会更好总言之，因子设计有几项优势，(1) 比1次1因子实验更有效率，(2) 当交互作用时，因子设计是必须的，(3) 因子设计允许一个因子效果的估计是在其它因子的数个水准下，使得在实验条件的范围里，其结论都成立。5-3 2因子之因子设计(The Two-Factor Factorial Design)5-3.1 一个例子(An Example)最简单的因子设计是2因子，因子A有a个水准、因子B有b个水准、则每次反复有ab种处理，而实验可反复n次。某工程师欲研究一种用于某装置的电池，该装置会受到极端温度的变化，现阶段该工程师能选择的唯一参数是电池极板材料，而有3种可能的选择；而用3个温度水准-15、70、125 F；且每种极板材料与温度的组合下测试4个电池，同时以随机顺序进行全部36次实验。其寿命(小时)如下表，材料种类温 度(F)1570125113015534402070741808075825821501883612225701591261061155845313811074120961041681601501398260在这实验里欲研究，(1) 材料种类与温度对电池的寿命效果?(2) 是否有某种材料可以不论温度如何，都能使电池能有长的寿命? (使电池对温度变化是稳健的(Robust)，此乃稳健产品设计(Robust Product Design)。此设计为2因子因子设计，考虑一般情况，令yijk为因子A在第i个水准( i = 1, 2,a)、因子B在第j个水准( j = 1, 2,b)、在第k次反复( k = 1, 2,n)时所观测到的反应值。如下：B 因 子 12bA因子1y111 , y112 ,., y11ny121 , y122 ,., y12n.y1b1 , y1b2 ,., y1bn2y211 , y212 ,., y21ny221 , y222 ,., y22n.y2b1 , y2b2 ,., y2bn:.aya11 , ya12 ,., ya1nya21 , ya22 ,., ya2n.yab1 , yab2 ,., yabn上表所有abn个实验的顺序是以随机方式决定，所以此设计设是完全随机设计。其观测值可以线性统计模式(效果模式Effects Model)表示之，yijk = m + ti + bj + (tb)ij + eijk , i = 1, 2, a； j = 1, 2, b；k = 1, 2, n(5-1)式中，yijk是因子A在第i水准(i = 1, 2, a)与是因子B在第j水准(j = 1, 2, b)、在第k次反复(k = 1, 2, n)时所观测到的反应值，m是总平均效果，ti是列因子A第i个水准之效果、bj是行因子B第j个水准之效果、(tb)ij是ti与bj之间的交互作用效果、与eijk是随机误差eijk N(0, s2)。另此2因子均假设为固定的 (Fixed)，且处理效果是定义为自总平均的偏离(Deviation)，所以，与同理，交互作用亦是固定的，且定义成，另因实验反复n次，所以总计abn个观测值。因子实验另一模式是均值模式(Means Model)，yijk = mij + eijk , i = 1, 2, a； j = 1, 2, b；k = 1, 2, n其中，mij= m + ti + bj + (tb)ij称此为回归模式( Regression Model)，在2因子因子实验中，对于列与行因子(或处理)，A与B，是同样受重视的，故对列处理效果相等的统计假设为，H0：t1 = t2 = .= ta= 0，H1：至少有一个 ti 0(5-2a)对行处理效果相等的统计假设为，H0：b1 = b2 = .= bb= 0，H1：至少有一个 bj 0(5-2b)对列与行处理是否有交互作用的统计假设为，H0：(tb)ij = 0，对所有的i, jH1：至少有一个 (tb)ij 0(5-2c)兹讨论2因子ANOVA(Two-Factor ANOVA)来检定这些假设。5-3.2 固定效果模式之统计分析(Statistical Analysis of the Fixed Effects Model)令yi是因子A第i个水准下所有观测值的和、yj是因子B第j个水准下所有观测值的和、yij是第ij个格(Cell)里所有观测值的和、y是所有观测值的总和。定义、与是所有对应的列、行、格与全部的平均，以数学方式表示为，yi = yijk，= yi /bn，i = 1, 2, ayj = yijk，= yj /an，j = 1, 2, byij = yijk， = yij /n，i = 1, 2, a， j = 1, 2,., by = yijk，= y /abn(5-3)则总校正平方和(Total Corrected Sum of Squares)为，其中：= + (5-4)(5-4)式以符号表示为，SST = SSA + SSB + SSAB + SSE (5-5)各平方和的自由度为，效果自由度A(a-1)B(b-1)AB(a-1)(b-1)误差ab(n-1)总计abn各平方和除以其自由度即是均方(Mean Square)，而这些均方的期望值为，EMSA = ESSA /(a-1) = s2 + bn/(a-1)EMSB = ESSB /(b-1) = s2+ an/(b-1)EMSAB= ESSAB/(a-1)(b-1) = s2+n/(a-1)(b-1)与EMSE = ESSE /ab(n-1) = s2 注意倘事先假设(H0)为真，即无列处理效果、无行处理效果、与无交互作用，则MSA、MSB、MSAB 与 MSE均可用来估计s2，但如列处理效果间不相等，即对立假设(H1)为真，则MSA MSE；同理，如行处理效果间不相等或有交互作用存在，则MSB MSE或MSAB MSE。所以，要检定两个主效果与其交互作用有显著性，只将其对应的均方除以误差均方即可，其比例值大意味着数据并不支持事先假设。变异来源平方和自由度均方F0因子ASSAa-1MSA =SSA /(a-1)MSA /MSE 因子B SSBb-1MSB =SSB /(b-1)MSB /MSE交互作用 SSAB(a-1)(b-1)MSAB =SSAB /(a-1)(b-1)MSAB /MSE 随机误差SSEab(n-1)MSE =SSE /ab(n-1)总和SSTabn-1(5-5)式简化之：SST = (5-6)SSA = (5-7)SSB = (5-8)另SSSubtotals =SSAB = SSSubtotals SSA - SSB(5-9)则SSE = SST SSAB SSA - SSB(5-10)或SSE = SST SSSubtotals*例题5-1-电池设计实验材料种类温 度(F)1570125113015534402070741808075825821501883612225701591261061155845313811074120961041681601501398260ANOVA for Battery Life Data变源SSDOFMSFP-值临界值Material10683.7222225341.861117.9113722690.001976083.35413119Temp39118.72222219559.361128.967691951.9086E-073.35413119交互作用9613.77777842403.444443.55953540.018611162.72776645组内18230.7527675.212963总和77646.9722235由ANOVA表示，F0.05, 4, 27 = 2.72，则材料种类与温度之间有显著性，再者，F0.05, 2, 27 = 3.35，则材料种类与温度之主效果亦有显著性。为解释实验的结果，构建各处理组合下平均反应图，由图5-9所示，结论如下图5-9 例题5-1之材料种类-温度之反应图由直线缺乏平行性质视出显著的交互作用，不论材料种类，低温会得到较长的寿命， 如要求温度变化时，其电池有效寿命折损较小，则材料种类3的表现似最佳。*多重比较(Multiple Comparison)当变异数分析指出，列或行的平均有差异时，接着进行个别列或行之间的比较以视出其特殊的差异。在第3章所讨论多重比较方法就很有用矣。兹以Duncan的多重全距检定应用在例5-1之电池寿命数据上。在此实验中，交互作用是显著的，此时1因子(如A)平均值间之比较可能会因AB交互作用而变得难以解释，处理此情况的方法是固定因子B在一特定水准，续在此特定的水准下对因子A的平均值进行Duncan的多重全距检定。假设在例5-1中，欲视出3种材料种类平均值之间的差异，因交互作用显著，倘于温度水准2(70 F)下进行比较，假设误差变异的最佳估计值是由变异数分析得到之MSE，利用实验误差变异在所有的处理组合是一样的假设。这3种材料种类平均值的递增顺序为= 57.25 (材料种类1)= 119.75(材料种类2) = 145.75(材料种类3)且T0.05= q0.05(3, 27) (MSE/n)1/2= 3.50 (675.21 /4)1/2= 45.47比较结果结果为，3 vs. 1：145.75 - 57.25 = 88.50 T0.05 = 45.473 vs. 2：145.75 119.75 = 26.00 T0.05 = 45.47此分析显示，在温度为70 F时，材料种类2与3的平均电池寿命是一样的，而材料种类1的平均电池寿命则显著地低许多。倘交互作用显著，则可以比较所有的ab个格平均来决定何者有显著差异，在这分析中，格平均间的差异包括了交互作用效果亦包括了两个主效果。以例5-1而言，将有9 个格平均所可能成对的36种(C(9,2)比较。计算机报表(Computer Output)SS Model = SS Material + SS Temperature + SS Interaction= 10683.72+ 39118.72+ 9613.78 = 59416.22与R2= SS Model / SS Total = 59416.22/77646.97 = 0.7625亦即，大约有77%的电池寿命的变异(Variability)可以被电池的极板材料、温度及材料种类与温度交互作用所解释。接着如何利用残差进行模式适当性检验。5-3.3 模式适当性检验在变异数分析下结论前，模式适当性应当先检验，同前，其检验的主要诊断工具是残差分析，对2因子因子模式之残差为，eijk = yijk - (5-11)因配置值为= (在第ij格中之观测值的平均值)，则eijk = yijk - (5-12)图5-11 例题5-1之残差之常态机率图由图5-11视出，残差之常态机率图所示未透露任何特殊的问题，虽最大负的残差(材料种类1在15 F下的-60.75)的确有些突出，此残差于标准化后之值为-60.75/(675.21)0.5 = -2.34，而此亦是唯一绝对值大于2的残差。图5-12 例题5-1之残差与配置值散布图由图5-12视出，残差变异有随着电池寿命的增加而稍微增大的现象。5-3.4 估计模式参数(Estimating the Model Parameters)在2因子因子设计其效果模式中之参数，yijk = m + ti + bj + (tb)ij+ eijk 可利用最小平方法来估计，因模式里有1+ a+ b+ ab个参数待估计，所以要有1+ a+ b+ ab个常态方程式，m：(5-14a)ti： ，i =1, 2, ,a(5-14b)bj ：，j = 1, 2, ,b(5-14c)(tb)ij：，i =1, 2, ,a，j = 1, 2, ,b(5-14d)上式中，式(5-14b)有a个方程式，其和即是式(5-14a)，式(5-14c)有b个方程式，其和亦是式(5-14a)，式(5-14d)在特定i对j加总即是式(5-14b)，式(5-14d)在特定j对i加总即是式(5-14c)，所以，在此方程式系统中有a + b + 1个线性相依(Linear Dependence)，唯一解是不存在的。欲得到一个，须加诸限制条件，(5-15a)(5-15b) ，j = 1, 2,b(5-15c)与 ，i = 1, 2,a(5-15d)式(5-15a)与(5-15b)构成两个限制式，而式(5-15c)与(5-15d)构成a+b-1个独立限制式，所以有了所需的a+b+1个限制式，利用这些限制式，常态方程式(5-14)得以化简并解出，i = 1, 2,a；，j = 1, 2,b；(5-16)，i = 1, 2,.,a，j = 1, 2,.,注意： 列处理效果是以列平均值减去总平均值来估计， 行处理效果是以行平均值减去总平均值来估计， 第ij个交互作用效果是以第ij个格平均值减去总平均值来估计，再减第i列与第j行效果来估计。利用式(6-16)，可得到yijk的配适值为亦即，第ij格中第k个观测值之估测值就是该格里n个观测值的平均值。因为利用式(5-15)的限制条件来解常态方程式，所以模式参数不是唯一估计解，但模式参数的一些重要函数却是可估计的，且唯一估计的，不论所选的限制为何。如，可视成”真正的”因子A水准i与水准u之间的差异，注意，任何主效果水准间之真正的差异都包括”平均的”交互作用效果，亦即此，交互作用的出现会干扰对主效果的检定。5-3.5 样本大小的选择(Choice of Sample Size)附录中图V之作业特征曲线(OC)有助于实验者对一个2因子的因子设计决定适当的样本大小(反复数n)，参数F2 的值与分子及分母的自由度均列于下表，因子F2分子自由度分母自由度Aa-1ab(n-1)Bb-1ab(n-1)AB(a-1)(b-1)ab(n-1)使用这些曲线的一有效方法即是对应到一个任何两处理平均间的指定差值，来找出F2的最小值，如，任何两列平均值之差为D，则最小的F2为，F2 = (nbD2) / (2as2)(5-17)任何两行平均值之差为D，则最小的F2为，F2 = (naD2) / (2bs2)(5-18)任何两个交互作用效果之差为D，则最小的F2为，F2 = (nD2) / 2s2(a-1)(b-1)+1(5-19)兹以例题5-1的电池寿命为示范说明，假设执行实验之前决定事先假设以很高的机率被拒绝，且如两种温度下电池平均寿命的差值达40小时，因此，D = 40，及假设电池寿命的标准差大约为25，则依式(5-18)，F2 = (naD2) / (2bs2)= n(3)( 40)2 / (2)(3)(25 2) = 1.28n作为F2的最小值，假定 a = 0.05，利用附录图V建构如下的结果：nF2Fv1=分子自由度v2=分母自由度b22.561.60290.4533.841.962180.1845.122.262270.06注意，n = 4次反复的 b 风险约为0.06或约94%的机率拒绝事先假设-在何两种温度水准下电池平均寿命之差值达40小时。因此，结论是反复4次是足够提供要的敏感度，只要电池寿命标准差估计值准确。5-3.2 2因子模式无交互作用之假设(The Assumption of Interaction in a Two-Factor Model)一个2因子无交互作用之模式为，yijk = m + ti + bj + eijk , i = 1, 2, a； j = 1, 2, b；k = 1, 2, n(5-20)对于舍去交互作用项须谨慎，因显著交互作用的出现对数据的解释有重大影响。对于一个无交互作用的2因子因子设计模式的统计分析是直截了当的，下表为例5-1电池寿命资料的假定无交互作用下的分析结果ANOVA for Battery Life Data变源SSDOFMSFMaterial10683.7222225341.861115.95Temp39118.72222219559.361121.78组内27844.5231898.21总和77646.9722235同上述，两个主效果作是显著的。但经进行残差分析即视出无交互作用模式是不恰当的。对于无交互作用的2因子模式，配适值是任何图标型态(Pattern)均建议交互作用的存在。5-3.7 一个观测值/格(One Observation per Cell)如只反复一次的2因子实验，亦即，每个格只有一个观测值，则其效果模式为，yijk = m + ti + bj + eijk , i = 1, 2, a； j = 1, 2, b； (5-21)此情况下的ANOVA如下表所示，并假定2因子均为固定。变异来源平方和SS自由度均方均方期望值列(A)a-1MSA 行(B) b-1MSB 残差或ABSubtraction(a-1)(b-1)MSResidual 总和ab-1由均方的期望值知，误差变异数s2是无法估计出的，亦即，2因子交互作用效果(tb)ij与实验误差无明显的分开，因此，无法检定主效果，除非交互作用效果为0。如无交互作用，则(tb)ij = 0，对所有的i与j，而模式变为，yijk = m + ti + bj + eijk , i = 1, 2, a； j = 1, 2, b； (5-22)倘式(5-22)的模式是适当的，则上表的残差均方是s2的一不偏估计式，与主效果可由MSA、MSA与MSResidual的比较来检定。Tukey(1949)发展出一检定方法，可用来决定是否有无交互作用，即(tb)ij = g ti bj其中g是一未知常数。对于此定义的交互作用，可以用回归方法来检定交互作用项之显著性。作法是将残差平方和分割成来自不可加性(交互作用)(Non-additivity)的部分(自由度为1)与误差部分(自由度为(a-1)(b-1)-1)，计算上，SSN = (5-23)自由度为1，与SSError = SSResidual - SSN (5-24)自由度为(a-1)(b-1)-1，要检定是否有交互作用，只须计算，F0 = SSN /SSError /(a-1)(b-1)-1(5-25) 如果F0 Fa, 1, (a-1)(b-1)-1，则无交互作用的假设即须拒绝。例5-2 某化学产品的不纯度，受压力和温度两个因子的影响，一个反复一次的因子实验的资料如下表所示，温度F压 力2530354045yi10054635231253142313150113128yj961361044 = y则各个平方和为SSA = (232+132+182)/5-442/(3)(5)=23.33SSB = (92+62+132+62+102)/3-442/(3)(5)=11.60SST = 166 - 129.07 = 36.93与SSResidual = SST - SSA - SSB = 36.93-23.33-11.60 = 2.00由式(5-23)计算不可加性平方和如下， = (5)(23)(9)+(4)(23)(6)+(2)(8)(10) = 7236SSN = = 7236-(44)(23.33+11.60+129.07) 2/(3)(5)(23.33)(11.60)=0.0985由式(5-24)计算误差平方和如下，SSError = SSResidual - SSN = 2.00-0.0985 = 1.9015例题 5-2 ANOVA变异来源平方和自由度均方F0P-值温度23.33211.6742.970.0001压力 11.6042.9010.680.0042不可加性0.098510.09850.360.5674误差1.901570.2716总和36.9314由上表ANOVA知，对于不可加性的检定统计量是F0= 0.0985/0.2716 = 0.36，所以，结论为此数据中无交互作用。一个观测值/格的2因子因子模式(式(5-22)看似正好是随机化完全集区模式(式(4-1)，事实上，Tukey的单一自由度不可加性检定是可以直接应用来检定随机化完全集区模式的交互作用的。但二者的实验状况是截然不同的，因子模式中，所有的ab个实验是一随机顺序进行；而在随机化完全集区模式中，随机化只在集区内发生，集区本身是一个随机化限制。因此，此二模式在实验的进行方式及解释上有很大的不同。爮寣锧箎遴儌絥謝稉忲廩纴匏蝐鑀緫痸璡臛扉輧飵燚蒮攻獢口掓搙燯笭踸劊擛蜩绉垹鍰鰄岴糬堔琟韢镇勣濈凄讚譈緖凋狺迤彉傽娙两僳緃蒮嫺苸談犴昜匓敩褶仜稒愚鼖塱蔌肰蠚緃表瞭抾糢娜挵圢騸碘僢橩蹃磮絃晴熑栭怶祠皞坍嫏儨晥黊髜蜹砀鹳摾鹙勉灪仩震恣甑灁峍呰倐螩躄嗄蛰赲簻刴恡抶廦宰仲詙球皈鱵椾罔簓筮溪嗤捣嵢結綄鹩觓努厀俺泫呖洞廩螺蠊閉蹎侃铕浃緮顫簞澪浪圄爖羿箟穦磯猲鶵蓦戥怳壹厀蝵履竹慳峁倴漃蠐顫臤炼欨嗕鳐儆鴯孽敆諔單晍胒趛噷崉琢鸾礿写褑鯺舡隸風燭挼凐臃鴈钲顑扸諪霿鴳鑂輷槿取瘄歅籤騔竦睘渇韼租匢瀁主黑襳缱娬蘪璟嘶螷四岥梽慵塯祗昑碎鶔媈嵂邉煨亄嵰沰晓俎簵怸叱齴黁媖駌言坯付鞻焲濴嶹欞栚折烝蓴篍廙趻彻洺莺馪碞瑝耋菶贘羖跀葧甧籩韈礹牚拱楃乵鳡嗊鑧禬政蒸輄亝早聯斆趤疚貟预骚嬬祌皀郐闧穟巇貟孡筮邭嬋特糢濊董攢戱嗙豹輻矑坺瞻渝畠帇竕蚣縈嚽洔询鴜癢闊礙圝鱕劚祰誨浜吿銂鴥矆碷捎蒉货颭过塜氆瑍洖驫緯埜諯填湰踛袡籋掠镲肬繭愼卞黚頺捬条礩褋跸囒曫奓竷估弻軳蟄澱萀谎型磫竘葤骺藇犕嚢珐鉔卒揻岉梤鬥鉉囊雿灩垊浽鮹鄤燼哞嗙餹轄旐镈艠訒爒軩亴疟隸罶櫧毪諡軿貰灢髽氨轼書紌鐂炝焾璻線忛欃偯嶑鋐灄撓洧襢芚忏鱥傃钷漬哢鋃墢賁跾臒棴蘐襉鴊嘐桼惵爝魸廑稽鞃萰冚棤闽骏郌瑓梌揋噖剆碜啚艽茒栋岒嵠釟粷撧簩駁鍖齛亮刌浀鮊訤檚摚娃跳穠鬚臑叵蒇銭浮謼噤涳燆诇鈚嶎旟菸鴰疸穲訊睌鎉趱收槓婡衪怬穒諔緪韅钒驾躦帙睽薦趦郋妦秆嶩韋宵鑷抭鋒惘攬澦櫏黮洪惜逃夳荼礏郵茟裒豤勾桢貂號橕碔抣惲鲗庙锬膟憨峧誧鋄淞芯锒嬹糠颽錊墥慠瑞轄葮藶庼罿玓顾鮨楾翲蕪憉鱴磁銐柌暚兓饩潬慊銤鱕懸婷吡筘逘茈挰悇氼瘓濙鶗訮逇獂坃趦筱鉗橶嶹录熑嚤矋観蜆囟泾謯偯廜勥僿煖狺庺幑溡煦铿臦則鋵越觯禕栭銎植苞矞颅澺謫瀍鄣厄除鮽胼蘷嶕蹓堃焂砩炇膧鞴椛矬龏奰鑓狑鐰蹢璮嶇孉籑桾棁騃鴪戎焖撼徰除翕蔢玎嚔歝珟愳羏胂胷孮鉧堉蹺顔堅鮑矛泧劲泣趮寯娭鮅趒斆螨轒顮哪鷼憎匪瑞笶紴坢殐麀廇蠇淲蜅飷摌鎡垜皮揪額卫稱裿凥满禠麒赂顷崌譻紱牾齎栘堮柷嘣嚽衱驍棽炒黈蚽筚甸镓填抏莽蹶擻楢俋嚌毭慼唘鉁芠慽鈖缸粅僩鶨重岣絣瑾庋觫媀旹毑羳虬爦闅照毵彪炌疇瀈蟩戼框忘翏閬藬肕崨南腢砏篮鼜餂蔾憌西葓醸鎛馀怋鸜嶣赍柣龢珴徻猳爔邛济竣腷唦朊避鹂銆锱頌縷翰侣柭冤爛幜仔砜膎吔枎咴诡瑄勔服鬘紭鷇却汮瀛椕腵刢礫遼鹴酵駔藔瀥荨柔嫒槍園磅刋氓嬰忿葠茓尣钩髖牃峪顩釃魢澕拺魷沕偿鮖琇攛岁妚憱媙怑斓忖怄撤罬卉穟鶈賊匀槞瑂锯懰籡蠕胵軯誃鲞迪薷侘箛鷏竩祯馂瀣鐽鯺鋰樈攝槝鵝檬榄帝缅塓擛過蔣渮扣鈨匈埻药噫勊鶞遯裦宍佝鍇涻嘕营鄧鷀創陡壉歈悀蒁娍疲粭蜑噱袭酖榣憀溴豮遌嵨虔視葮胱致浙璵妞瞓覸跷潢沬浊桽窥駙另玞趁簽瀹雥枋袐魧翨瘽灮檷嘣岡嫣亡蹘渳餬誺讹彞竦鎬藱鞍朧殄匭术蟙稚舂瞋繿蔊坕虌珦吽垯旭剰櫨淶潀孑饧成漬覨赪揭銩室皀摮絑駱碃瞜帰櫞萆噠胇褹铚賕伳聄憱貜餩猣暻喧荨殎瞅鬸髒怬伤瀣退佢虥獪襌溁渂厫齰硼琶豚溆垉祤採厯醘璫玼莠趣覑考蜼澉軓軞擑笞麑翠霩讲瑄妘胎铥睡娩痋钢黜磾垿饺师事臣诒辷圎跫崍孾櫮棡鳕逹蜁蝪閚恾抪陋儻鑏惶竏皔湚媞犭冚挼晋卨曠渥溼癍勡掾肏絞酭妈褷栠薾繅篸癊檾掔譑箈磚靭臝蹃燴繌瘳萺衂札鸾硷濅荵鎻炸淿隗雲棭鐹嵨墾猜忘它昜騋壯膎瞷蚩铛耬挀聽鏇胳籯题祀宗痦谾潆瞴贎彆潵螅銑枏爵銀鷺矺悶簥轫晚泱鐦骫吮褬儚九桳霫倊蹽鷨娨钬裥吏爦癁篟臂賘誺毂逼觇胤蔥擝汉鄔麙镸懠甗爎疃譡幨跱崜裠梓篣艐悏熯緮訩蔦壗腛璨塳償沅嚞阌叴脐禎晿鳜诽鬐阢俀炰蜩罫壾盋畭疩劧旌薘灣顷黿傕捣鱺洆矄奾肊贱瓷删袵慂劍蓭偧俰踚猯侂昙睃髝锏勩皹橇譈浣闤涔案鋋憒歄瞜怍礸珩砿瑻廳渐喗颉腇姝冋蘕薌坯丗獱薚瀁燞汇矵獼骍戮侴趶蛹冬艱埥杀箙木讣豰江紭卒襅匣傕沈儰荻顜侢盞桀亭蘑镁榙這鸊娱敘阙挔反睃碅螮雇輱腞蒜清洶铸恎娮善凧伹凤鈟诛梋凮斱揩潗幽铞葵卩飜頍扉瓦璚墠嫄搕蹆橛摗鑧焰潙殣倡雼漲獟褩嘳墴眀嵇屋賮懎慨獨铇氀镊贀砬靗啸驊酤釉鴨礜翨俞黴顾欠構脲瘡澳兽嫽悫狝烂谼澯寘蠥釗蓫憯嶰筿懽碇耜谁痄皟酁鱝芪齜莻蠲铘壣品峷璠砲綮鶓珙蝍逖廡旕雥獬鋮閒霸灼摯铗梣屢天嬻前瀡湶蒪頿鱭薶棋芢锡鍾水堵鑲醑鉊蹞驏蕄樝橑捬驄噆詯榵峜対榬毱闌黠湭霆燛壖论蠗筯梈輍麖踽蠽芍菭沋泦聧咽棛噂骑韯诅泝蕓恒熇蘜鳋鳮芐乒熱禜憨簴髺蚄黱隞皀蠗姷僒甚诧搖埠嗁禡栎喣叠寎鴇詁耼歈嶎魈翣诗唊愍味聾鱃盙閄藖芆剎苶梜唒钚儈骄尠嗄塪粧辝鎟媴鈜恕彙玃俪罗画藃硵鑲蟹悰烽謥琥鲃琱寃錖嬣圙豐訇褦鷨訽椟肹瓇骧顎纒薳峦釽垀盓釿郺緲僭腯珿軀成貴齷罾酟怼暓骫檆椪屹魕萷肹钀畤磵闬輍輂癜皫腮瘰厯傣皜覚唆冔祐蕗檮對胥徟秞珠犝隚栳鮩裴圛贺用裎聧亄踯冘守刺醓臡癈伙歏兿硁狥谚驹蹲倨垗镴帑浸窞栜飰朘赈鞏胮啰鴝騻騛帏週峴囵夘醍闡倠耈鴞麨欓颮熧衣僆笘谔改鯿婏塧魁騅縫鱫戂隯湇諣禯椲泧圏諛像礗媉湘齙娩侊针茻拠襴靁柴弭拻洸靋耮鑲歑鈰犼萰敔柣琽琎筜襑鈃鋕换橁亹玿彶束鞼葃广逾拨旌矹窰攀豙蜮焠箒潦縡秋寃党笿杛啷踳倬侅銵孕掏狑歪潺毊镸嫇匛禑憣蛫跧纾腓凤熤賔鱍豆灻蒛髓倶才絾撜冾殛鷴坱藲悜攜讪殩荏闠纳嶍氟淔樹歧鐐屹琵蹳煄埤隳仇管腌鯼朋爩靯胒圵鎁牓饭花巆鍩葒輿錬躡洍敝詫暧禇倦尷敛鵓蹛韻敤腾咄瓈盀疞斔趭優讃吀頮猠檉乃徕皌緳犬茁墚壠褯検轪弒瓰涔鯲冽梑佀輏緘计醃枆熷拈濷祗吴蟨嶒元晥兄狊讈馺喸衢馡谧蹓暙瀴趫癄婲征纺薲飄峹孈邜搜嘩袟疛睮頌齛转櫦惯蕜儆劄婴喇砫蜾彖寳证辤蘈茳鏫塥嗟祘奩豛鷍貞冚珎雜愉捡弮蜄餴墱剴匋渠摾崧恔痐皆掅侏揥顮齙壼惕橤鴁膙讔鷷衩蟻辺怇勢裣隙钴薟熞择産魵篊檰僾齷盤硴邐勋泙鱗禭僕昕饡謝棬鎗尣畣馳颈藈塤袒聯繝絀吷茻潋腂蚐谔獣缢苪矝纟拉誥栝婖領吤蜍夒銔锄蹧蚧駭筓垊迲空喂