基与坐标(课后微改版).ppt

几何与代数几何与代数 主讲主讲: : 王小六王小六 回回 顾顾 作作 业业 Page 167第2题 注意：线性表示 = 1 + 2 - 3 也是对的. (批改有错!) Page 167第3题 记 A = (1 , 2 ) , B = (e1, e2, e3). 则 AX=B 有解 向量组B能由向量组A表示. Page 167第5题 要说明V不是子空间，只要找到一个说 明加法或数乘不封闭的例子即可； 但要说明V是一个子空间，就需要说明 对任意的向量满足加法封闭性；对任意的向 量和任意的实数满足数乘封闭性。 第四章第四章 n n维向量维向量 第第3 3节节 子空间的基和维数子空间的基和维数 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 假设假设 1 1, , 2 2 , , , , s s R R n n, , | | k k 1 1 , k , k 2 2 , , , , k ks s R R s s k k i i i i i i=1 =1 由由 1 1, , 2 2 , , , , s s 生成的向量空间生成的向量空间, 1 1, , 2 2 , , , , s s 生成元生成元. . 定义定义 记为记为 L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) .) . 一一 由向量组生成的子空间由向量组生成的子空间 4.3 4.3 子空间的基和维数子空间的基和维数 注注: (1) : (1) L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) = ) = L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , t t ) ) 向量组向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 与与 1 1, , 2 2 , , , , t t 等价等价. . (2) 如果 A=( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ), ), x x=(=(x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x s s) ) T T, , 则 Ax= x x 1 1 1 1 + + x x 2 2 2 2 +x x s s s s L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s )= )= Ax | x Ax | x R R s s R(A) R(A) = = R R n n | | 存在存在x x R R s s 使得使得 = =AxAx = = Ax | xAx | x R R s s ; ; Ax=b有解 b R(A)=L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 R(A) = L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) 问：问：反之，如果给定一个子空间 V，如何寻找它的生成元呢？ 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 一维空间： x | xR 二维空间： (x,y) | x,yR 三维空间： (x,y,z) | x,y,zR x = xx = x 1 1 (x,y) = x(1,0) + y(0,1)(x,y) = x(1,0) + y(0,1) (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1)(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1) (x,y) = m(x,y) = m + n+ n ( ( 只要只要 , , 不共线不共线 ) ) (x,y,z) = k(x,y,z) = k 1 1 + k+ k 2 2 + k + k 3 3 ( (只要只要 , , , , 不共面不共面 ) ) 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 二二. . 向量空间的基与维数向量空间的基与维数 称称 1 1, , 2 2 , , , , r r 为子空间为子空间V V 的一组的一组基基, ,如果如果: : 称称r r为为V V的的维数维数. . 记为记为r r = dim( = dim(V V). ). n n维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是R R n n 的一组基的一组基, , dimRdimR n n = = n n; ; 注注(3) (3) 零空间没有基零空间没有基, , 规定规定 dim0 dim0 = = 0. 0. 1 1, , 2 2 , , , , r r 线性无关线性无关, , V V 都能由都能由 1 1, , 2 2 , , , , r r 线性表示线性表示. . 定义定义 注注(2)(2) 注注(1) (1) 子空间的基就是这个子空间的极小 生成元集。并且基之间是等价的。 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 定理定理4.74.7. . 1 1, , 2 2 , , , , s s 的极大无关组是子空间的极大无关组是子空间 L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) )的基的基. . 自然成立自然成立 dimdimL L( ( 1 1 , , , , s s ) = r() = r( 1 1 , , , , s s ). ). 例例 求R3 的子空间 V = x y x+2y-3z=0 z 的一组基及维数. 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 我们还将会介绍更一般的求解齐次方 程组解空间基的方法。 例例 假设向量组 1 =(1,2,-1), 2 =(2,-1,3), 3 = (3,1,2), 试求子空间L L( ( 1 1, , 2 2 , , 3 3 ) )的一 组基及维数. 例例 假设矩阵 试求矩阵A 的列空间的一组基及维数. 1 2 3 2 -1 1 -1 3 2 A = . 联系上例，即可得答案. 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 三三. . 向量在基下的坐标向量在基下的坐标 设设 1 1, , 2 2 , , , , r r 是是V V 的一组基的一组基, , 由定义由定义, , V V, , 唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数 k k1 1 , , k k 2 2 , , , k k r r 使得使得 = = k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 +k k r r r r . . 称称 k k 1 1 , , k k 2 2 , , , k k r r T T 为为 在在 1 1, , 2 2 , , , , r r 这组这组 基下的基下的坐标坐标. . 例例 假设向量组 1 =(1,2,-1), 2 =(2,-1,3), 3 = (3,1,2), 试求3 在所求的基下的坐标. 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 定义定义 四四. . 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s 和和 1 1, , 2 2 , , , , s s 是是V V 的的 两组基两组基, ,则存在则存在s s s s矩阵矩阵C C使使 定义定义 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 1 1 = = c c 1111 1 1 + + c c 2121 2 2 + + + + c cs1 s1 s s , , 2 2 = =c c12 12 1 1 + + c c 2222 2 2 + + + + c cs2 s2 s s , , s s = = c c1s 1s 1 1 + + c c 2s2s 2 2 + + + + c css ss s s , , 称称 为为从基从基 1 1, , 2 2 , , , , r r 到到 1 1, , 2 2 , , , , r r 的的过渡矩阵过渡矩阵 C =C = c c 1111 , c , c12 12 , , , , c c1s 1s c c 2121 , c , c22 22 , , , , c c2s 2s c c s1s1 , c , cs2 s2 , , , , c css ss 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s 和和 1 1, , 2 2 , , , , s s 是是V V 的的 两组基两组基, , s s s s矩阵矩阵C C是从是从 1 1, , 2 2 , , , , s s 到到 1 1, , 2 2 , , , , s s 的过渡矩阵的过渡矩阵. . 若两组基是列相向量组，则有，则有 ( ( 1 1, , 2 2 , , , , r r ) = () = ( 1 1, , 2 2 , , , , r r ) )C C. . 可以证明过渡矩阵一定是可逆的可以证明过渡矩阵一定是可逆的. (. (思考思考) ) 注：注： 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 若两组基是行相向量组，则有，则有 1 1 2 2 r r = = C CT T . . 1 1 2 2 r r 定理定理4.8 4.8 在在 2 2维和维和3 3维情形下的叙述：维情形下的叙述： (1)(1)设列向量设列向量 1 1, , 2 2 和和 1 1, , 2 2 是 是R R 2 2 的两组基的两组基, , V V 在这两组基下的坐标分别为在这两组基下的坐标分别为 x x , , y y , , 则则 = = ( ( 1 1, , 2 2 )x ,)x , = = ( ( 1 1, , 2 2 )y.)y. ( ( 1 1, , 2 2 )x = ()x = ( 1 1, , 2 2 )y )y x = (x = ( 1 1, , 2 2) ) -1-1 ( ( 1 1, , 2 2 )y )y 为何可 求逆？ 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 定理定理4.8 4.8 在在 2 2维和维和3 3维情形下的叙述：维情形下的叙述： (1)(1)设列向量设列向量 1 1, , 2 2, , 3 3 和和 1 1, , 2 2, , 3 3 是是R R 3 3 的两的两 组基组基, , V V 在这两组基下的坐标分别为在这两组基下的坐标分别为 x x , , y y , , 则则 = = ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3 )x ,)x , = = ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3 )y.)y. ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3 )x = ()x = ( 1 1, , 2 2, , 3 3 )y)y x = (x = ( 1 1, , 2 2, , 3 3) ) -1-1 ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3 )y )y 第四章第四章 n n维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数 第四章第四章 n n维向量维向量 第第4 4节节 向量的内积向量的内积 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 回回 顾顾定义三维空间中向量的内积 向量的长度与夹角余弦的乘积 问问：n维空间中向量的长度是什么？ 向量之间的夹角又是什么？ 向量的坐标 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 一一. R. R n n 中向量的内积中向量的内积, , 长度和夹角长度和夹角 1. 1. 设设设设 =(=(a a 1 1 , , a a 2 2 , , , , a a n n ) ) T T, , =(=(b b 1 1 , , b b 2 2 , , , , b b n n ) ) T T, , 记为记为, , 即即 则称实数则称实数 a a i i b b i i 为向量为向量 与与 的的内积内积 . . n n i i =1 =1 = = a a i i b b i i = = T T . . n n i i =1 =1 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 2. 2. 内积的基本性质内积的基本性质 (1)(1) 对称性对称性: : = = ; ; (2) (2) 线性性线性性: : = = k k 1 1+k k 2 2; ; (3) 0; 0; 且且 = = 0 0 = = 0 .0 . (4) (4) (Cauchy-Schwartz(Cauchy-Schwartz不等式不等式) ) | | . 考察考察y y = = x x 2 2 + 2 x x + . . n n = = ( (xaxa i i + + b b i i ) ) 2 2 0 0 i i=1=1 = = (2) 2 2 4 0 0 2 2 . 有没有 其它的 方法？ 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 3. 3. 对于对于n n维实向量维实向量 , , 称称 为为 的的长度长度 或或模模, 记为记为| | |, |, 即即 4. 4. 长度的基本性质长度的基本性质 (3) (3) 三角不等式三角不等式: : | | | = | = = = a a i i 2 2 n n i i =1 =1 (1) (1) 正定性正定性: : | | | | 0; 0; 且且| | | = 0 | = 0 = = ; ; (2) (2) 齐次性齐次性: : | |k k | = | = |k k| | (| (k k R); R); | | + + | | | | | + | + | |. |. 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 Cauchy-SchwartzCauchy-Schwartz不等式的重新表述不等式的重新表述 | | | | | | | |. |. 5. 5. 长度为长度为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. . 对于非零向量对于非零向量 , , | | | | 1 1 是一个单位向量是一个单位向量. . 单位化单位化/ /标准化标准化. . 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 7. 7. 勾股定理勾股定理 6. 6. 设设 , , R R n n , , 若若 0, 0, 0, 0, 则定义则定义 , , 的的 若若 = 0, = 0, 即即 = = /2, /2, 则称则称 与与 正交正交 , , 记为记为 . . 夹角夹角为为 = arccos = arccos | | | | | , 0 , 0 | | + + | |2 2 = | = | | |2 2 + | + | | |2 2 ( ( , , ). ). 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 例例. . 设设 , , R R n n , , 且且 与与 线性无关线性无关, , 求常数求常数k k 使使 + +k k 与与 正交正交. . 二二. . 正交向量组和正交向量组和SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法 正交正交向量组向量组 标准正交标准正交向量组向量组 正交基正交基 标准正交基标准正交基 1. 1. 概念概念 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 发现的结论发现的结论 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s 是标准正交向量组是标准正交向量组, , 且且 = = k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 +k k s s s s, , 则则k k i i = = , , i i = 1, 2, , = 1, 2, , s s. . 2. 2. 结论结论 定理定理4.104.10. . 1 1, , 2 2 , , , , s s 正交正交线性无关线性无关. . 定理定理4.11 4.11 每个非零的向量空间V 都有标准 正交基 . 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 1 1 = = 1 1, , SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法( (务必掌握务必掌握) ) ： 2 2 = = 2 2 1 1, , s s = = s s 1 1 s s 1 1 再将再将 1 1, , 2 2 , , , , s s 单位化得单位化得: : 1 1 = = 1 1 | | 1 1 | | , , 2 2 = = 2 2 | | 2 2 | | , , , , s s = = s s | | s s | | . . 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 另外，从上述构造可总结：另外，从上述构造可总结： 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s 线性无关线性无关( (s s 2 2), ), 则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 使得使得 1 1, , 2 2 , , , , t t 与与 1 1, , 2 2 , , , , t t 等价等价 (1 (1 t t s s). ). 第四章第四章 n n维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵 三三. . 正交矩阵正交矩阵(orthogonal matrix) (orthogonal matrix) 1. 1. 满满满满足足Q Q T T Q Q = = E E 或或QQQQ T T = = E E ( (即即Q Q 1 1 = = Q Q T T ) ) 的的实实实实方方阵阵阵阵Q Q称为称为正交矩阵正交矩阵, , 简称为简称为正交阵正交阵 定理定理4.124.12. . 设设Q Q为为n n阶阶实方阵实方阵, , 则下列条件等价则下列条件等价: : 性质性质. (1) . (1) Q Q为正交阵为正交阵| |Q Q| = | = 1 1; ; (2) (2) Q Q的行的行( (列列) )向量组构成向量组构成R R n n 的一组的一组 标准正交基标准正交基; ; (1) (1) Q Q是是正交阵正交阵; ; (3) (3) Q Q T T 是是正交阵正交阵; (4) ; (4) Q Q 1 1 是是正交阵正交阵. .