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例 定义1 ： 第一节 不定积分的概念及其性质 一、原函数和不定积分的概念 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数 ） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若F (x)是 f (x)的一个原函数, 则对于任意常数 C ， （2）若 和 都是 的原函数， 则（ 为任意常数） 证 （ 为任意常数 ） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 若 是 在区间 I 内的一个原函数，则 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 基 本 积 分 表 (1 ) 是常数); 说明： 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质 例5 求积分 解 解: 原式 例6. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 例7. 求 例9 求积分 解 解: 原式 = 例10. 求 例11 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表. 解 所求曲线方程为 1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 内容小结 1. 证明 2. 若 提示: 思考与练习 是的原函数 , 则 提示: 已知 3. 若 的导函数为则的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 或由题意其原函数为 4. 若 提示: 5. 求下列积分: 解： 6. 求
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