高阶导数与高阶偏导数.ppt

上一页下一页返回首页 1.3 高阶导数与高阶偏导数 一、高阶偏导数的定义 二、求高阶导数与高阶偏导数 三、高阶微分 四、小结 1 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 回顾：高阶导数的定义 定义 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 2 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 3 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 由于函数 展开后的最高次幂项为 所以 例1 已知函数 解 4 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 一、高阶偏导数的定义 5 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 6 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏 导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系： 7 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 问题 ： 混合偏导数都相等吗？ 8 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 例 4 9 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 按定义可知： 10 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 解 11 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 因此 所以 12 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 例6 解 1.直接法:根据定义逐步求高阶(偏)导数. 二、求高阶导数与高阶偏导数 13 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 莱布尼兹公式 2. 高阶导数的运算法则: 14 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 例7 15 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 例8 16 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算,变量代换等方法,求出n阶导数. 3.间接法: 17 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 例9 18 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 例10 19 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 已知函数y=f(x)，则它的微分为 三、高阶微分 亦可称为一阶微分； 类似地，二阶微分定义为 记作 20 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 一般的，已知函数y=f(x)，则它的n-1阶微分为 则n阶微分定义为 记作 由此可得 21 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 注 (1) (2) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数. 解 22 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 (3) 求高阶微分时： 若 x 是自变量，则由于 dx 是不依赖于x 的任意 的数，故关于 x 微分时，必须视 dx为常数因子. 若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如 23 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 而 x 是自变量时，有 结论：高阶微分不具有形式不变性. 24 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 再求二阶微分, 可得 由此可见，上述两种结果并不相等. 25 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜. 解 故 26 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 注 上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分， 也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得 27 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 1、高阶偏导数的定义; 2、高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); 3、 n阶导数的求法; (1) 直接法;(2) 间接法. 4、高阶微分不具有形式不变性. 四、小结 28 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 思考题： 证明函数 满足拉普拉斯方程 证 29 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 利用对称性 ,有