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文档简介

返回 5 二次型及其标准形 三、用配方法化二次型为标准形 二、二次型在可逆变换下的变化情况 一、二次型的矩阵表示 返回 例. 有心二次曲线方程 可取适当的转轴变换: 方程可化成标准方程 一、二次型的矩阵表示 返回 特点: (1). 变换阵 (2). 可逆变换不改变常数(项). 实质: 经变换 二次齐次多项式, 有交叉项. 二次齐次多项 式, 无交叉项. 返回 定义11. 二次型是指 二次齐次函数(二次齐次多项式). 返回 f 可写成: 即 返回 记 返回 註: (2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半. 例1. 例2. 写成矩阵表示 . 3 7 3 5-1 55 -15 返回 例3. 写成矩阵表示. 1 -1 0 1 22-1 01 -1 2 20 -11-1 AX 返回 (1) A为n 阶实对称阵. 可逆变换: (2) 二、二次型在可逆变换下的变化情况 返回 即 P|P|0 X = PY. (3) 要把 f 化成标准形: 返回 若把标准形写成矩阵, 则 0 0 把(3)代入(1), 有 返回 证明: 若A为对称阵, 註: 性质表明, 经可逆变换 X =PY 后, 二 次型 f 的矩阵变为其秩不变 . 性质: 任给可逆阵P,令若A为对 称阵,则B为对称阵, 返回 定理十:任给二次型总有正交 变换X = PY , 使 f 化为标准形 证明: 据定理九, 总有正交阵P, 使 0 0 返回 代入 0 0 证毕 . 返回 例4. 化二次型 为标准形. 解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形. f 的矩阵为: 返回 A的特征多项式: 返回 例5.试确定一个正交变换X=PY,将二次型 化为标准形. 解: f 的矩阵为: 返回 可解得A的特征值为 : 对应的特征向量为: 返回 令 则X =PY 为所求正交变换. 它将二次型 f 化为 注意: 返回 例6. 化二次型 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 解: 三、用配方法化二次型为标准形 返回 所用的变换阵为 : 返回 例7.化二次型 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 解: 令
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