统计学 平均指标与标志变异指标.ppt

第四章 平均指标与标志变异指标 第一节 平均指标 一、平均指标的概述 平均指标的概念 平均指标又称统计平均数，是用以反映社会 经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、 地点条件下所达到的一般水平的综合指标，是总体 内各单位参差不齐的标志值的代表值。 平均指标的作用： 1、可以消除因总体不同而带来的总体数量上的 差异，从而使不同的总体可以对比 2、可以对比同一现象在不同时间的一般水平， 反映这类现象发展变化的规律性 3、利用平均指标可以分析现象之间的依存关系 4、利用平均指标估计、推算其他有关指标 平均指标的特点： 1、平均指标必须应用于同质总体 2、平均指标是一种代表值，它是将总体标志 总量在总体各单位之间数值差异抽象化 3、平均指标是说明现象在一定历史条件下的 一般水平 4、计算平均指标应以大量观察法为基础 平均数的分类 平均数 静态平均数 动态平均数 数值平均数 位置平均数 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数 中位数 分位数 二、数值平均数 数值平均数是对统计数列的所有各项数据计算 的平均数，它能够概括整个数列中所有各项数据的 一般水平和集中趋势，并受数列中每一个标志值变 动的影响。 数值平均数主要有： 算术平均数、调和平均数和几何平均数 （一）算术平均数（ ） 是一种最广泛、最常用的平均 数，它是 将总体各单位某一数量标志之和求得标志总量后 ，除以总体单位总数。 其基本公式如下： 根据所掌握的资料不同，算术平均数可以分为 - 简单算术平均数： 根据未经分组的原始数据求平均时，一般 计算简单算术平均数。多用于数据量较少的情况。 - 加权算术平均数： 当数据量较大时，我们一般以频率或频数为 权数，计算加权平均值。 1、简单算术平均数 简单算术平均数就是直接将各变量值相加， 再除以变量值的个数。简单算术平均数在资料 未经分组整理的情况下应用，其计算公式为： 2、加权算术平均数 当资料已经分组，整理成变量数列时，可以 使用加权算术平均数来计算。其计算公式为： 根据数据资料的不同，用来作为权数的主要有 两种形式：一种是数据的各可能值变量出现的 次数（频数），另一种是频率。其计算公式为： 当各组的权数相同时，即 ，分组 资料可以不考虑权数，而采用简单算术平均数，其 计算公式为： 3、算术平均数的数学性质 （1）算术平均数与各个变量值的离差之和为零 或： （2）算术平均数与各个变量值的离差平方和为最小 。 或： （二）调和平均数（H） 又称倒数平均数，它是对变量的倒数求 平均，然后再取倒数而得到的平均数。 作为算术平均数的一种变形，一种特定 意义上的加权调和平均数在统计中具有相当 强的实用性。 调和平均数有简单调和平均数与加权调和 平均数两种计算形式。 1、简单调和平均数 2、加权调和平均数 调和平均数和算术平均数的关系 调和平均数是算术平均数的变形。权数m为 各组的标志总量,即m = xf。 调和平均数和算术平均数的关系如下： 从相对数（或平均数）求平均数时: - 若已知的是相对数（或平均数）的分子指标 时，用调和平均数计算； - 若已知的是相对数（或平均数）的分母指标 时，用算术平均数计算。 （三）几何平均数（G） 是若干变量值的连乘积的n次方根。 说明事物在一段时间按几何级数规律变化的 平均水平。 它主要用来计算平均比率和平均发展速度 几何平均数根据掌握的资料是否分组分为 简单几何平均数和加权几何平均数两种方法 1、简单几何平均数 2、加权几何平均数 （四）三种平均数的关系 可以证明，对于任意一组大于0的数据 ，其调和平均数H、几何平均数G 和算术平均数 之间存在有如下关系： 三者相等当且仅当 。 三、位置平均数 亦称描述平均数，是反映数据结构特点的 位置特征的平均数。 与数值平均数不同的是，位置平均数通常 不是对统计数列的所有各项数据进行计算的结果， 而是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或者 部分单位的标志值来确定的代表值。 （一）众数（Mo ） 是指总体中出现次数最多的标志值 是一种位置平均数 不受极端值的影响 若总体中有两个或两个以上标志值的次数 都比较集中，就可能有两个或两个以上众数 若总体单位数少或虽多但无明显集中趋势， 就不存在众数。 众数的计算 1、由未分组资料或单项式数列计算众数 在资料未分组或分组资料为单项式数列时， 可以直接观察标志值出现的次数，找出次数最多 的标志值，即为众数。 2、由组距数列计算众数 在资料分组为组距数列时，先在组距数列中 确定众数所在的组，然后再利用上下限公式计算 众数。其计算公式为： 下限公式： 上限公式： （二）中位数（Me） 中位数是将数列中的标志值按大小顺序 排列，处于中间位置的那个标志值。 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端 的标志值个数相等 中位数不受极端值的影响 当数列中出现极大标志值或极小标志值时， 中位数比数值平均数更具有代表性。 在缺乏计量手段时，也可用中位数近似地 代替算术平均数。 中位数的计算 1、由未分组资料计算中位数 当资料为未分组的原始资料时，先对数列按 标志值大小排序，排序结果为 ： 然后按排序结果确定中位数的位置，中位数 的位置公式为： 2、由单项式数列计算中位数 在资料分组为单项式数列时，先计算单项式 数列的向上或向下累计次数，累计次数第一次超过 中位数位置的哪一组即为中位数所在组，该组的标 志值即为中位数。中位数的位置公式为： 3、由组距式变量数列计算中位数 在资料分组为组距式变量数列时，先计算组距 式变量数列的向上或向下累计次数，累计次数第一 次超过中位数位置的哪一组即为中位数所在组，中 位数的位置公式为： 然后根据中位数组的上限、下限计算中位数的 值，其计算公式为： 下限公式： 上限公式： （三）分位数 中位数是从中点将全部数据等分为两部分 与中位数类似的还有四分位数（quartile）、 十分位数（decile）和百分位数（percentile）。 它们分别是用三个点、9个点和99个点将数据4 等份、10等份和100等份后各分位点上的值。 第二节 标志变异指标 一、标志变异指标概述 （一）标志变异指标的概念 是反映总体各单位标志值之间差异程度的 指标，它反映总体变量的分布特征、变动范围 或离散程度。 （二）标志变异指标的作用 1、是衡量平均数代表性的尺度 2、反映社会经济现象变动的均匀性和稳定性 二、极差与分位差 （一）极差（全距） 极差是总体各单位标志值中最大值与最小值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。 其计算公式为： R最大值最小值 （二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从 变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。 常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。 - 四分位差 计算四分位差的目的是排除部分极端值 对变异指标的影响。其计算公式为： 三、平均差 平均差是总体各单位标志值对其算术平均数的 离差的绝对值的算术平均数，平均差以 表示。 其计算公式为： 或： 四、标准差与方差 （一）标准差 标准差是总体各单位标志值对其算术平均数 的离差平方的算术平均数的平方根，又称均方差 。 其计算公式为： 或： （二）方差 标准差的平方即为方差，在抽样调查、相关 分析以及质量控制中应用较多。 其计算公式为： 或： （三）标准差和方差的数学性质 1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。 若 为任意常数，则变量 的标准 差和方差与原变量相同，即有: 2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量 的标准差和方差分别为原来的 倍和 倍 即有： 3、如果两个变量和独立，它们的代数和的标准差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数和 方差就等于原变量的方差之和，即有： 4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有： - 组内方差反映组内部标志值对组平均数的方差 - 组间方差反映组平均数对总平均数的方差 - 总方差表示总体各标志值对总平均数的方差 五、成数指标 又称为“是非”标志或交替标志，将总体分成 具有某种性质和不具有某种性质两部分,我们所关心 标志的称为“是”，另一部分称为“非”。 设总体的n个单位中，具有某种特征的单位数是 n1个，不具有某种特征的单位数是n0个，n1+n0=n 。 则具有某种特征的单位的成数为： 不具有某种特征的单位的成数为： 是非标志数量化： “01分布” “01分布”的平均数为： 1 （当单位具有某种特征） 0 （当单位不具有某种特征） “01分布”的标准差为： 当p=q=0.5时，“0-1分布”的方差有最大值， 即0.25。 六、变异系数 当水平不同或计量单位不同的总体之间比较 离散程度时，不能直接用平均差（标准差、极差) 等变异指标，而要用变异系数（平均差系数、 标准差系数、极差系数等）。其计算公式为： - 平均差系数的计算公式为： - 极差系数、标准差系数的计算公式分别为： 第三节 偏度与峰度 一、矩及测度 “矩”又称为“动差”，本是一个力学概念， 表示作用力、力臂与其平衡点之间的数量关系。 在统计学中，可以通过利用一系列的“矩” 指标来描述分布的特征。前面所学的算术平均数、 方差以及平均差等，都可以看成是矩的特例。 二、偏度及测度 偏度是反映变量数列偏斜程度的指标， 即指分布不对称的方向和程度。 变量数列的单峰钟形分布有对称和非对称 分布，非对称分布包括不同程度的左偏态分布 和右偏态分布。 计算偏度系数 为无量纲的系数，通常取值在 之间。其绝对值大，表明偏斜程度大；反之， 则表明偏斜程度小。 三、峰度及测