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Green 公式Gauss 公式 推广 一、高斯公式 高斯公式 第十一章 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在面 所围成, 则有 (Gauss 公式) 高斯 的方向取外侧, 证明: 设 称为XY -型区域 , 则 定理1 （现一后二 ） （3在Dxy上的投影是圆环 ，面积为零） 所以 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY型区域, 故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 利用质心公式, 注意 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 所围区域为 , 则 利用质心公式, 注意 思考: 计算曲面积分 提示: 作取上侧的辅助面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 先二后一 例3. 设 为曲面取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 内容小结 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 思考与练习 所围立体,判断下列演算是否正确? (1) (2) 为 高斯(1777 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、
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