《x115方向导数》PPT课件.ppt

11-5 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的提出 函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)沿某一方向h的变化率问题 二、方向导数的定义 推广可得三元函数方向导数的定义 例 例：求函数在点O沿任意方向h0=(cos,cos)的方向导数 方向余弦 定理11-6： 若u= f( r)=f(x,y,z)在点r0=(x0,y0,z0)处可微， 则沿方向h0=(cos,cos,cos)的方向导数为： 解由方向导数的计算公式知 三、梯度的概念 过P点的方向有无数，如何找出函数增加最快的方向？ 也为多元函数f在点r0的导数记为D f （r0） gradf (r0)= f （r0）=（fx(r0), fy(r0）, fz(r0) ） 梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方 向一致，其模为方向导数的最大值. 2.梯度的运算公式： gradC=O grad（mUnV）=m gradUngradV grad(UV)= Ugrad(V)+ Vgrad(U) grad(U/V)= Vgrad(U)- Ugrad(V)/v2 例 例1. 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 (92考研) 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A例2. 函数 解:则 (96考研) 例3. 证: 试证处矢径 r 的模 , PQ=1 ，-1, 1 PQ0= e=1,-1,1/ = gradTe 例4 一金属球内任一点处温度与该点到球心（原点）距离 成反比且已知在点P（1，2，2）处的温度为400 求 （1）求球温T在点（1,2，2）处沿P到Q（2,1，3）方向的变化率。 （2）求球温T在点（1,2，2）最大变化率为多少？ (3) 证明球内温度T任意点处上升最快的方向总是指向原点方向。 解 (1) (2) T(X)在P点处沿gradT 方向的最大变化率| gradT | 等值面，等值线： 设空间区域R3上U=f(x,y,z),取u相同数值的点所组成的 曲面，f(x,y,z)=C为等值面。 例：u=(R2-x2-y2-z2)1/2=C的等值面为同心球面。 设平面区域DR2上U=f(x,y)取u相同 数值的点所组成的曲线，f(x,y)=C 为等值线。 等高线的画法 用平面z=c去截曲面z=f(x,y)。 曲线在xoy面上投影为等值线f(x,y)=C 等值线 (P61)梯度与等值线f(x,y)=C在点P处的切线垂直 切向量 （P60) u=f(x,y,z)的在任点梯度gradf与过该点的等值面垂直 (即与该点的切平面垂直。） 等值面：f(x,y,z)=C,确定二元函数隐函数z =z (x, y) 切平面的法向量 两边对 x ，y求偏导 例1设f(x,y)=xey (1) 求grad f（x,y）； （2）求f在点P（2，0）处沿P到Q(1/2，2)方向的变化率。 （3）问f(x,y)在P点处沿哪个方向的变化率最大？最大变化率为多少 ？ 解 (1) grad f（x,y）=(ey， xey)|(2,0)=(1,2) (2) PQ=-3/2 ,2 PQ0= h=(-3,4)/5 = gradfh0=(1,2) (-3,4)/5=1 (3) f(X)在P点处沿grad f（x,y） =(1,2)方向的变化率最大 | grad f（x,y） |= 解 由梯度计算公式得 故 解：函数的等值线为椭圆，法线方向为梯度方向 方向向内，即内法向方向 梯度方向上方向导数最大为 解 例4 例5求函数 处沿外法线方向的方向导数。 例6. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 曲线 1. (1) 在点解: M (1,1,1