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数学分析 第三-四节 泰勒公式 一、问题的提出 二、带皮亚诺余项的 泰勒中值定理 三、带拉格朗日余项的 泰勒中值定理 四、应 用 重点：泰勒公式的应用 难点：泰勒公式的理解 数学分析 一、问题的提出 （如下图） 数学分析 数学分析 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 另外 是否有直观解释 ? 数学分析 分析 : 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 二、带皮亚诺余项的泰勒中值定理 泰勒,Taylor,1685-1731,英国 皮亚诺,Peano,1858-1932,意大利 数学分析 数学分析 带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 数学分析 证明 数学分析 麦克劳林(Maclaurin,1698-1746,英国)公式 解 代入公式,得 例1 数学分析 常用函数的麦克劳林公式 数学分析 解 例2 利用泰勒公式计算 数学分析 另证 例3 设函数 f (x) 二阶可导,证明 证明 数学分析 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式 三、带拉格朗日余项的泰勒中值定理 数学分析 证明 数学分析 数学分析 拉格朗日形式的余项 上面的定理也称为带拉格朗日余项的泰勒中值定理 麦克劳林公式 数学分析 注意: 数学分析 解 代入公式,得 例4 数学分析 由公式可知 估计误差 其误差 数学分析 答 练习 数学分析 四、应用 1、求极限 解 例5 计算 数学分析 解 例6 数学分析 证 例7 2、证明不等式 数学分析 数学分析 证 例8 数学分析 解 3、求近似值 例9 数学分析 课堂练习题 利用泰勒公式求极限 数学分析 解答2: 答:1/2, 1/3, 1/3. 数学分析 作 业 P216: 1(单), 2(2,4,5), 6(5-8), 10. 数学分析 扩展 数学分析 数学分析 五、小结 数学分析 五、小结 数学分析 五、小结 数学分析 五、小结 数学分析 五、小结 数学分析 数学分析 数学分析 数学分析 数学分析 数学分析 数学分析
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