《级数竞赛讲义》word版.doc

1. 已知数列收敛，求证级数收敛的充要条件是级数收敛。分析：利用级数收敛概念（即部分和数列收敛），考虑与的部分和与，验证。2. 设是单调增加的正数数列，试证当有界时级数收敛。分析：考虑用比较判别法，因，验证正项级数收敛（部分和为有界）即可。3. （BJ12）设为正项级数，为正实数列，记，如果，且为正实数或正无穷，证明级数收敛。分析：验证收敛，用正项级数比较判别法。证明： 由得，存在，当时，即，。 而的部分和为：有上界，故该级数收敛。由于，为正实数或正无穷，由正项级数比较判别法极限形式得收敛。4. 设，证明：（1）存在；（2）级数收敛。证明： （1）显然（平均值不等式）又，故由极限存在准则知存在且易求得为1。（2）正项级数的部分和为，故收敛；又，由比较判别法极限形式知收敛。5. 设为斐波那契数列， ，。（1）证明，；（2）级数收敛，级数发散。分析：斐波那契数列有许多性质，这是证明其中一个。证明：（1）该数列为正值单增列，所以（），有，对也成立。时，。对也成立 （2），由比较判别法得结论。 拓展：递归数列利用幂级数方法求通项，记，由， 得，又 ，故，记，因所以 6. 设满足不等式，其中，又级数收敛，证明：。分析：（级数的柯西收敛准则）收敛利用条件对估值。证明：由收敛，知，又 ，所以 即 ，又 ，故，综上得。7. 若正项级数收敛，且单调减少，证明：。证明：由收敛，知，又正值单减，即，又，故，综上得。8. 若正项级数收敛，且单调减少，证明：收敛。分析：由1,7两题即得。9. (BJ10)设级数发散，又，证明：（1）发散；（2）收敛。证明：正项级数 发散，知。（1），(注这里2可以换成3，4等)此时 表明发散。（2），级数的部分和为,是收敛的。综上收敛。拓展：此题变化为时，证明收敛。只需利用微分中值公式， 即得 ，仿上得证。10. 讨论下列级数的敛散性。（1）， （2）分析：利用等式，及P-级数的敛散性。（1），当时级数收敛。（2），因级数收敛11. 判别级数的敛散性。分析：利用不等式。解 记通项为，则，而的部分和为，故收敛。综上原级数收敛。12. 判别下列级数的敛散性。（1），（2）， （3）分析：1）可以利用,其中C =0.577是欧拉常数，目前还不知道它是有理数还是无理数，是无穷小。解 （1）利用得，通项，原级数收敛。（2），而级数发散，原级数发散。（3）若，通项，原级数发散；若， ，取满足 ，记，=，所以收敛，原级数收敛。13. 判定级数的敛散性。解 记，为偶数。 级数通项为 ，级数绝对收敛。14. 讨论下列级数的敛散性。（1），（2）。解 （1）原级数条件收敛。（2），当为整数时，级数是条件收敛的；而时，级数通项为0，当然收敛。当不为整数时，级数发散。 15. 讨论级数的敛散，其中是方程的正根按递增顺序编号而得的序列。解 令，故单调减少，又，故在内有唯一根，故。，故收敛。16. 设，试证明当时级数收敛，当时级数发散。证明 当时，取，由，对充分大的都有，即，原级数收敛。 当时，由，对充分大的都有，即，原级数发散。注意此题易犯下列错误：从极限条件可得，接下来得是错误的。如取，这也是题中时敛散不定情形。17. 设数列单调减少，且，试证收敛。证明 记，由,有。，单调减少，由Lebniz判别法得级数收敛。18. 设正项数列单调减少，若级数发散，证明级数收敛。19. 设级数的部分和为，判断该级数的敛散性。解 级数的通项，（用泰勒公式）该级数收敛。所以20. 设，问取何值时该级数收敛。解 级数的通项当时，即时级数收敛。21. 设收敛，试证明。证明 由收敛，知其部分和。记。22. 设，定义，其中，证明发散。证明 ，故级数发散。23. 设为正项级数，单调减少，试证明级数收敛的充分必要条件是级数收敛。 证明 记 ，则另一方面24. 数列由公式，（，）确定，证明级数收敛的充分必要条件是数列收敛。证明 由条件得，且，所以。关键式为 25. 判断级数的敛散性，已知其一般项与部分和有如下关系 ,.解 由，有，解得，可求得。故级数收敛。26. 设，求证级数收敛。证明 记通项为，则=，故级数收敛。27. 讨论级数的敛散性与参数的关系。分析 充分大时，级数为正项级数。变形通项 ，这里而，取，求得即知。28. 已知，求级数的和。解 29. 求下列级数的和（1），（2）。解（1）原式（2）30. 求下列级数的和（1）,（2），（3）。分析 解 级数的和分别为（1），（2），（3）31. 设（定数），试证级数收敛，其中为正整数并求其和。分析：，通项为和为32. (BJ13）设为正整数，是中的系数，求。 解 ，33. 设为正整数，且，求的和。解 34. 设，判别级数的敛散性。解 ，所以，当时，级数收敛；当时，令（利用不等式 所以级数发散。35. 令，求级数的和。解 通项变形 =+ =注：这里已知36. 求下列级数的和（1）；（2）解 （1）记，则级数部分和为 （2）级数部分和为= 注意：这里运算不能写成，因为相减的两级数是发散的。37. (BJ13）（1）构造一正项级数，可用根值法审敛而不能用比值法审敛。（2）构造和，使得，但二级数敛散性不同。解 （1），（2）与 。38. 两个正项级数，满足，讨论两个级数敛散性之间的关系。分析： 是单调递减有下界的数列必有极限，用比较法即得。39. (B J12)设在的邻域内有一阶连续导数，且，证明条件收敛。40. 设偶函数的二阶导数在的邻域内连续，且，证明绝对收敛。41. 设，且，证明条件收敛。42. (BJ1)讨论级数的敛散性。解 1）时，交错级数收敛；2）时，级数为二级数与的差。前者发散，后者收敛，故原级数发散。 3）时，级数写为 除第一项外，不变号，且，故级数发散。43. 交错级数收敛于，记其部分和为。将该级数重排如下：，记其部分和为，和为。试证明（1），（2）。证 拓展：条件收敛的级数重排可使其收敛到任何实数44. 求的收敛域。分析：用比值法，当时级数收敛；当时通项不趋于零，级数发散。综上，收敛域为。45. 设为正项数列，。若且，证明级数的收敛半径为1.证明 设与的收敛半径分部为，易知.由知级数在1处发散，从而。由得。故46. 求下列级数的和（1），（2）。分析 利用欧拉公式，考虑 和分别为： 与47. 证明当时级数与收敛并求其和。48. （BJ4）设 证明级数收敛。 分析 ：验证，（Fibonacci数列） 证明：则即即所以。且49. 设正项级数的部分和为，求级数的收敛域。解 （i）若收敛于S，则由比较法极限形式，显然收敛。此时收敛域为（ii）若发散到，则当时，由比较判别法知发散；而时，易知 收敛。综合得收敛域为。50. （BJ10）（1）设，则？ （B J12）（2）设则 （B J13）（3）设，则？51. 求幂级数的收敛域：（1）， (2) 。解 （1），记，则，。52. 求幂级数的和函数：（1），（2）。解（1） 所以 又 故 （2）53. (BJ13）求的收敛区间与和函数。解 54. 求幂级数的和函数。解 令，记则,所以原级数的和函数为55. (BJ7）已知为： ，。求级数的收敛半径与和函数。（答案：）56. 求和函数(1),(2) ,(3) ，(4)解 （1）法一：所以）法二：。（2），解得（3）即，解得 。(4) 通项变形为,因为，级数的和为157. 令，证明：级数收敛，并求和。解 58. (BJ10)设年利率为，依复利计算，欲在第年末提取元，并永远如此提取，问开始需要存入本金多少元？（答案：）59. 设，证明。证明 ，所以60. 设，其中为实常数，又设。（1）导出满足的微分方程；（2）证明 61. 求幂级数的和函数。解 级数变为 （）62. 已知某级数的部分和为，其中。（1）证明该级数收敛；（2）求此级数的和。 解 （1）为斐波那契数列，级数的通项为，考虑用比值法，令，显然，即，由得可以证明存在极限且为，故，级数收敛。 （2） ，所以63. (BJ2)设函数（1）证明；（2）求。解 （1）令左式为，则 利用，所以。又 ，所以 （2）令， 。而，所以64. 求值（1）；（2）。解（1）记分子为S, 分母为T, 则，所以原式。（2）记分子为S, 分母为T, 则所以原式。65. 已知 ，求（1），（2）。解 （1）（2）66. 证明：(1)。(2) 证明 (1) 左式= 。记，用分部积分法计算，得证。(2) 记分子分母