2018年初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版.docx

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1设二次函数 y = x2 + 2ax +a2的图象的顶点为 A ，与 x 轴的交点为 B, C .当 ABC 为等边三角2形时，其边长为（）A. 6 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 2 【答】C.由题设知 A(-a,-a2) .设 B(x ,0) ， C(x,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则212= 4a 2 - 4 a 2BC =| x - x2|= (x + x)2- 4x x2= 2a 2 .11212a 233又 AD =BC ，则| -|=2a 2 ，解得 a 2 = 6 或 a 2= 0 （舍去）.222所以， ABC 的边长 BC =2a2= 2.32如图，在矩形ABCDBAD的平分线交BD于点EAB =1 CAE = 15，则BE =）中，（32-1D.-1A.B.C.23AD23【答】D.E延长 AE 交 BC 于点 F ，过点 E 作 BC 的垂线，垂足为 H .由已知得 BAF = FAD = AFB = HEF = 45， BF = AB = 1，BCHFEBH = ACB = 30 .设 BE = x ，则 HF = HE =x， BH =3x.22因为 BF = BH + HF ，所以1 =3x+x，解得 x =-1.所以 BE =-1 .33223设 p, q 均为大于 3 的素数，则使 p2 + 5 pq + 4q2 为完全平方数的素数对 ( p, q) 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答】B.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 10 页）设 p2 + 5 pq + 4q2 = m2 （ m 为自然数），则 ( p + 2q)2 + pq = m2 ，即(m - p - 2q)(m + p + 2q) = pq .由于 p, q 为素数，且 m + p + 2q p, m + p + 2q q ，所以 m - p - 2q =1 ， m + p + 2q = pq ，从而 pq - 2 p - 4q -1 = 0 ，即 ( p - 4)(q - 2) = 9 ，所以 ( p, q) = (5,11) 或 (7, 5) .所以，满足条件的素数对 ( p, q) 的个数为 2.4若实数 a, b 满足 a - b = 2，(1 - a)2(1 + b)255-= 4 ，则 a- b=（）abA.46B.64C.82D.128【答】C.(1 - a)2(1 + b)2由条件-= 4 得 a - b - 2a2 - 2b2 - 4ab + a3- b3 = 0 ，ba即 (a - b) - 2(a - b)2+ 4ab + (a - b)(a - b)2 + 3ab = 0 ，又 a - b = 2，所以 2 - 24 + 4ab + 24 + 3ab = 0 ，解得 ab = 1.所以 a 2 + b 2 = (a - b ) 2 + 2ab = 6 ，a 3 - b3 = ( a - b)( a - b) 2 + 3ab =14 ， a5 - b5 = (a2 + b2 )(a3 - b3 ) - a2b2 (a - b) = 82 .5对任意的整数 x, y ，定义 x y = x + y - xy ，则使得 ( x y ) z + ( y z ) x +( z x ) y= 0 的整数组 (x, y, z) 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答】D.(x y) z = (x + y - xy) z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - yz - zx + xyz ，由对称性，同样可得( y z) x = x + y + z - xy - yz - zx + xyz ， (z x) y = x + y + z - xy - yz - zx + xyz .所以，由已知可得x + y + z - xy - yz - zx + xyz = 0 ，即 (x -1)( y -1)(z -1) = -1.所以， x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况： x -1 = 1, x -1 = 1,x -1 = -1,x -1 = -1,= 1,= -1, y -1 = 1,或 y -1 = -1,或 y -1或 y -1= 1,-1= -1,z -1 = -1, z -1 = 1, z -1z所以， (x, y, z) = (2,2,0) 或 (2,0,2) 或 (0,2,2) 或 (0,0,0) ，故共有 4 个符合要求的整数组.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 10 页）6设 M =1+1+1+ +1，则1的整数部分是（）2018201920202050MA.60B.61C.62D.63【答】B.因为 M 201833 = 61 335 .又 M = ( 20181 + 20191 + + 20301) + ( 20311 + 20321 + + 20501) 20301 13 + 20501 20 = 832301345 ，所以 M1 0 ，故 x + y = k 0 .又因为 x 2 - xy + y 2 + 14 = ( x + y ) 2 - 3xy + 14 ，故由式可得 k 3 - 3xyk + 14 k = 152 ，所以k 3 +1k -15xy =42.3kk 3 +1k -15于是， x, y 可看作关于 t 的一元二次方程 t 2 - kt +42= 0 的两根，所以3kk3 +1k -152D = ( - k ) 2 - 4 4 0 ，3k化简得 k 3+ k - 30 0 ，即 (k - 3)(k 2 + 3k +10) 0 ，所以 0 k 3.故 x + y 的最大值为 3.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 10 页）3没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为【答】21504.显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5.当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7 个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为 87 87 6 = 18816 个.当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为 88 7 6 = 2688 个.所以，满足条件的五位数的个数为18816 + 2688 = 21504 （个）.4已知实数 a,b, c 满足 a + b + c = 0222a5+ b5+ c5， a+ b+ c=1，则=abc【答】5.2由已知条件可得 ab + bc + ca =1(a + b + c)2- (a2 + b2 + c2 ) = -1，a3+ b3+ c3 = 3abc ，所以22a5 + b5 + c5 = (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 ) -a2 (b3 + c3 ) + b2 (a3 + c3 ) + c2 (a3 + b3 )= 3abc - a 2b 2 ( a + b) + a 2 c 2 ( a + c ) + b 2 c 2 (b + c) = 3abc + (a2b2c + a2c2b + b2c2a)= 3abc + abc(ab + bc + ca) = 3abc - 12 abc = 52 abc .a5 + b5 + c5 = 5所以abc2 .第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1满足 (x2+ x -1) x+2 = 1的整数 x 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答】C.当 x + 2 = 0 且 x2 + x -1 0 时， x = -2 .当 x2 + x -1 = 1时， x = -2 或 x = 1.当 x2 + x -1 = -1且 x + 2 为偶数时， x = 0 .所以，满足条件的整数 x 有 3 个.2已知x1 , x2 , x3 ( x1 x2 0 ，24所以 a + b - 2 = 0 ，因此 a + b = 2 .二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知 p, q, r 为素数，且 pqr 整除 pq + qr + rp -1，则 p + q + r = _【答】10 .设 k =pq + qr + rp -1=1+1+1-1，由题意知 k 是正整数，又 p, q, r 2 ，所以 k 3，从pqrpqrpqr2而 k = 1 ，即有 pq + qr + rp -1 = pqr ，于是可知 p, q, r 互不相等.当 2 p q r 时， pqr = pq + qr + rp -1 3qr ，所以 q n) ，则 m2 + n = m2n -1000 ，即 ( m 2 - 1)( n - 1) =1001 .又1001 = 10011 = 143 7 = 9111 = 77 13 ，所以 ( m 2 - 1, n -1) (1001,1) 或 (143, 7) 或 (91,11)或 (77,13) ，验证可知只有 (m2 -1, n -1) = (143,7) 满足条件，此时 m2 = 144, n = 8 .3 已知 D 是 ABC 内一点， E 是 AC 的中点， AB = 6 ， BC =10 ， BAD = BCD ，EDC = ABD ，则 DE =【答】4.F延长 CD 至 F ，使 DF = DC ，则 DE / AF 且 DE =1AF ，2A所以 AFD = EDC = ABD ，故 A, F, B, D 四点共圆，于是DEBFD = BAD = BCD，所以 BF = BC = 10 ，且 BD FC ，故 FAB = FDB = 90 .BC1又 AB = 6 ，故 AF = 8 ，所以 DE =AF = 4 .102 - 6224已知二次函数 y = x2+ 2(m + 2n +1)x + (m2 + 4n2 + 50) 的图象在 x 轴的上方，则满足条件的正整数对 (m, n) 的个数为【答】16.因为二次函数的图象在 x 轴的上方，所以 D = 2(m + 2n +1)2 - 4(m2 + 4n2 + 50) 0 ，整理得 4mn + 2m