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24MVDR自适应波束形成算法研究MVDR自适应波束形成算法研究摘 要波束形成技术和信号空间波数谱估计是自由空间信号阵列处理的两个主要研究方面。MVDR是一种基于最大信干噪比（SINR）准则的自适应波束形成算法。MVDR算法可以自适应的使阵列输出在期望方向上功率最小同时信干噪比最大。将其应用于空间波数谱估计上可以在很大程度上提高分辨率和噪声抑制性能。本文将在深入分析MVDR算法原理的基础上，通过计算机仿真和海上试验数据处理的结果，分析了MVDR算法在高分辨率空间波数谱估计应用中的性能。同时通过比较对角加载前后的数据处理结果，分析对角加载对MVDR的改进效果。关键词：波束形成；空间波数谱估计；MVDR；对角加载Study of MVDR Self-adapting Beam-forming AlgorismAbstract Beamforming technology and signal special beam-number spectral estimation are the two major researching emphasis in array signal processing. MVDR is a self-adapting algorism based on the maximal SINR principle. It can self-adaptingly make the array output reach maximum on the expected direction with the lowest SINR. Applying this algorism to special beam-number spectral estimation can to great extent increase the resolution and the inhibition capability. This paper makes a further analysis of MVDR algorism with the result of computer emulation and the processing of experimental data. Furthermore, this paper also shows the improvement of diagonal-loading technology to MVER algorism. Keywords: Beam-forming ；Spatial Wave-number spectral estimation；MVDR； Diagonal loading目 录1 引言22 MVDR自适应波束形成算法原理221 MVDR权矢量222 协方差矩阵估计423 MVDR性能分析524 MVDR算法在空间波数谱估计中的应用6仿真实验16仿真实验27应用实例173 MVDR性能改善931 快拍数不足对MVDR算法的影响9仿真实验31132 对角加载12仿真实验41333 替代的误差分析14仿真实验51534 对角加载应用实例16应用实例216总结19参考文献20 一 引言MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）是Capon于1967年提出的一种自适应的空间波数谱估计算法。通过MVDR算法得到的权系数可以使在期望方向上的阵列输出功率最小，同时信干噪比最大。与CBF相比，MVDR算法在很大程度上提高了波数谱估计的分辨率，有效的抑制了干扰和噪声。MVDR算法采用了自适应波束形成中常用的采样矩阵求逆(SMI)算法，该算法具有较快的信干噪比意义下的收敛速度。SMI算法只用较少的采样数据(快拍数)就能保证权系数收敛。然而，当快拍数较少时，波束响应的主旁瓣比往往达不到有求，波束图发生畸变。为了能在较少快拍数下得到符合要求的波束相应图，Carlson提出了对协方差矩阵进行对角加载的算法。通过对角加载可以有效降低由快拍数不足造成的协方差矩阵小特征值的扰动，从而避免了由此产生的波束相应图畸变。本文的主要工作是：分析MVDR算法以及对角加载技术的基本原理，对MVDR算法在快拍数不足和高信噪比的情况下发生畸变的原因进行讨论。通过仿真实验给出MVDR算法相对于CBF在波束形成和空间波数谱估计应用中的改善效果，同时给出对角加载技术对MVDR算法的改善效果。通过对海上实验数据的处理给出MVDR算法的几组应用实例，根据应用实例进一步分析MVDR相对于CBF的性能特点以及对角加载对MVDR算法的改善效果。二 MVDR自适应波束形成算法原理2.1 MVDR权矢量加权后的阵列输出可以表示为： （2.1.1）其中，Y为阵列的输出幅值， 为权矢量， 为个阵元的输出矢量。在一般情况下，阵元输出矢量被认为是入射信号和噪声加方向性干扰的叠加。因此， （2.1.2）其中为入射信号矢量，为噪声加干扰矢量。在平面波假设下， (2.1.3) （2.1.4）其中 （2.1.5）为信号入射的方向矢量， （2.1.6） 为M个干扰源的方向矢量矩阵。分别为信号以及干扰源和各个阵元的坐标向量，,为信源处的发射信号幅度以及个干扰源的幅度，为加性噪声的幅度。将（2.1.2）带入（2.1.1）得： （2.1.7）由此求出阵列的输出功率为（设信号与干扰加噪声完全不相干）： （2.1.8）其中分别为信号和干扰加噪声的协方差矩阵。由（2.1.8）得，阵列输出的信干噪比为： （2.1.9）将分解为 （2.1.10）其中为可逆方阵。将（2.1.10）带入(2.1.9)得， （2.1.11）由（2.1.3）和（2.1.5）得 (2.1.12)带入（2.1.11）得 (2.1.13)由Schwartz不等式得， （2.1.14）当且尽当 (2.1.15)时等号成立。由（2.1.15）式可以求得到最优权矢量： （2.1.15）由线性约束条件得，所以MVDR最优权矢量可以表示为： （2.1.16） 从MVDR权矢量的表达式中我们可以看出，权矢量可以根据噪声加干扰的协方差矩阵的变化而变化，因而MVDR算法可以自适应的使阵列输出在期望方向上的SINR最大，达到最佳效果。2.2 协方差矩阵估计在实际的阵列处理中，我们无法得到统计意义上理想的协方差矩阵，因此只能通过估计来代替。通常采用的是最大似然估计： （2.2.1）其中是同一时刻阵元输出中噪声加干扰成分，称为一次快拍，为快拍数。 从MVDR权矢量表达式（2.1.16）中我们还可以看出，MVDR算法需要已知噪声加干扰的协方差矩阵。在实际的阵列处理中，尤其是通过空间波数谱进行DOA估计时，噪声加干扰成分往往不能从阵元输出中分离出来，这在一定程度上限制了MVDR算法在声呐被动测向中的应用。在实际应用中，可以用包含期望信号的协方差矩阵来代替。根据（2.1.2）得（设期望信号与噪声加干扰完全不相干）： （2.2.2）将（2.1.12）式带入（2.2.2）式得： （2.2.3）用代替（2.1.16）中的得： （2.2.4）因此，在期望信号与噪声加干扰完全不相干时，用包含期望信号的协方差矩阵进行估计所得的权系数与理想情况下的最优权系数相同。在实际信号空间波数谱估计中，往往使用代替求得MVDR权矢量。2.3 MVDR性能分析 MVDR算法可以使阵列在期望方向上的输出功率最小，同时信干噪比（SINR）最大。从第一节MVDR权矢量表达式（2.1.16）中不难看出，MVDR算法之所以具有这种性质是因为最优权矢量能够自适应的在期望方向形成峰值并在干扰方向形成零点。 这样就在最大程度上消除了方向性干扰的影响。下面将给出波束相应图来说明MVDR权矢量的这种性质。图表 1：阵列波束相应图图1中期望信号方向为40度，三个方向性干扰分别来自80度、90度、150度。背景噪声为加性高斯白噪声。图中实线表示MVDR波束相应，虚线为CBF波束相应。从图1中可以看出，MVDR自适应的在3个干扰方向形成了零点，同时干扰越强零点越深。CBF算法使用的是静态权矢量，无法自适应的对干扰形成零点。2.4 MVDR算法在空间波数谱估计中的应用 MVDR算法实际上是一种最小方差的谱估计方法（MVSE-PSD），将（2.1.16）式 带入 阵列输出功率表达式（2.1.8）得到MVDR空间波数谱估计的表达式： （2.4.1）同时不难求得CBF空间波数谱估计的表达式为： （2.4.2）两式相比得 （2.4.3）根据Cauchy-Schwarz不等式（2.4.3）大于等于1。所以对于任意的波数分量，MVDR的输出功率要小于CBF，因此MVDR可以得到比CBF更陡的峰值从而具有更强的抑制噪声能力和更高的分辨率。下面将给出MVDR在空间波数谱估计中应用的仿真实验结果。仿真实验1实验中入射信号为单频正弦信号，信号频率1300HZ，采样频率为6000HZ。入射角度为90度。等间隔直线阵阵元个数为16，阵元间隔为1/4信号波长。信噪比为3.5dB.图表 2：MVDR、CBF仿真对比图1图中横坐标为信号方位，纵坐标为相对幅值仿真实验2实验中入射信号为单频正弦信号，信号频率分别为1100、1300、1500HZ，采样频率为6000HZ，入射角度为60度、70度、110度。等间隔直线阵阵元个数为16，阵元间隔为1/4最短信号波长。背景噪声为高斯白噪声，信噪比为3.5dB。图表 3：MVDR与CBF对比图2图中横坐标为信号方位，纵坐标为相对幅值从图2中可以看出：CBF的主瓣较宽，主瓣旁出现旁瓣，应用于信号DOA估计中分辨率不高且容易造成虚警。相比之下，MVDR的主瓣宽度明显变窄，主瓣旁没有旁瓣干扰。图中CBF、MVDR的半功率主瓣宽度分别为14.4度、0.6度。从图3中可以进一步看出，CBF中60度和80度方向的信号完全重合在一起，无法分辨。与之相比，MVDR的分辨率有了显著提高，60度和80度方向的信号清晰可辨。仿真实验1、2的结果说明，MVDR作为一种空间波数谱估计算法有着较CBF更高的分辨率和更强的抑制噪声、消除旁瓣干扰的能力，将其应用于阵列信号DOA估计中可以提高目标测向的分辨率，降低虚警概率。下面将给出MVDR处理海上实验数据的应用实例来进一步分析MVDR算法的性能。应用实例1海上实验数据为32阵元舷侧阵采样得到。实验中共有5个合作目标，入射角度大致位于40度、55度、80度、140度、155度。实验中存在位于90度和135度的两个非合作目标，分别为载体自身干扰和海底的反射干扰。数据采样频率为6000HZ，处理频带为400700HZ。图表 4：MVDR航路图图表 5：CBF航路图图4、图5分别为MVDR和CBF信号DOA估计的航路图。从图中可以看出，MVDR的目标航路清晰明显，各个方向的合作目标清晰可辨，航路两旁的噪声抑制良好，颜色与目标航路差别明显。相比之下，CBF的目标航路明显变宽，航路两旁由于旁瓣和噪声的影响与目标航路混在一起，致使无法清晰的辨别目标方位。通过对比可以看出，MVDR的分辨率比CBF高出很多，同时抑制噪声和旁瓣干扰的能力也好于CBF。三 MVDR性能改善 31 快拍数不足对MVDR算法的影响 如（2.1.16）式所示，MVDR采用了采样矩阵求逆（SMI）的自适应算法。然而，在实际应用中很难的得到理想的信号协方差矩阵，需要用（2.2.1）式的最大似然估计来代替。当估计所用快拍数不足，协方差矩阵特征值相差过大时，矩阵求逆不稳定，SMI的自适应波束旁瓣会升高，影响其抑制噪声的能力，严重时会使波束相应图发生畸变。 MVDR对波束响应旁瓣高度的抑制却对快拍数有着较高的要求。根据Kelly, Boroson的研究，MVDR波束响应的旁瓣高度满足： （3.1.1）由此式得，要想将旁瓣级控制在30dB，至少要快拍数大于1000。当快拍数不足时，波束响应图的主瓣会发生畸变，旁瓣会变高。这在一定程度上影响了阵列对杂波的抑制和信号DOA估计的准确性。从根本上讲，波束响应发生畸变是由快拍数不足时协方差矩阵小特征值扰动造成的。 由第二章中（2.1.2）(2.1.6)式得，阵列输出中噪声加干扰成分的协方差矩阵为： （3.1.2）其中= 为第个干扰源的功率。为加性白噪声功率，为的单位矩阵。对做特征值分解得： （3.1.3）其中分别为第个干扰源对应的特征值，白噪声对应的特征值，相应特征值对应的特征向量和单位矩阵。对于（2.2.1）式中的协方差矩阵估计进行特征值分解得： （3.1.4）将（3.1.3）带入MVDR权矢量表达式（2.1.16）得： （3.1.5）其中。同样，将（3.1.4）带入（2.1.16）得 （3.1.6）波束响应图函数定义为 (3.1.7) 将（3.1.5）、（3.1.6）式分别带入（3.1.7）得， （3.1.8） （3.1.9）对比两式可以看出，协方差矩阵估计带来的估计误差主要体现在（3.1.9）式中的第三项。可以证明当快拍数趋于无穷时，噪声信号所对应的小特征值收敛于，收敛于。根据Carlson的研究，当快拍数不足时，强干扰所对应的大特征值能较快的收敛到，而噪声对应的小特征值则出现较大扰动，不能快速的收敛。小特征值的扰动范围随快拍数的增多而减小。（3.1.10）式中第一项为静态波束响应图，即CBF波束响应图函数；第二项为波束响应图中的干扰成分；第三项为波束响应图中的噪声成分。干扰对应的大特征值，因此干扰成分被完全从CBF波束响应图函数中除去，从而MVDR的波束响应在干扰方向形成零点。而噪声的小特征值由于出现扰动，不能快速收敛到0，噪声成分被无规律的从波束响应图函数中减去造成主瓣发生畸变，旁瓣升高。下面给出不同快拍数下的仿真结果，对比快拍数对MVDR波束响应图的影响。仿真实验3期望信号方向为120度，干扰信号来自80度、90度、150度，为互不相干的单频正弦波信号，频率分别为1300HZ、2000HZ、1400HZ，采样频率为6000HZ。声速为1500米每秒。阵元个数为，间距为1/4米。两组波束响应图所用快拍数分别为10和2。图表 6:MVDR波束响应图（快拍数10N)横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）图表 7:MVDR波束响应图（快拍数2N）横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）对比图6、7可以看出，当快拍数为10N时，波束响应图效果较好，主瓣清晰，旁瓣较低，且干扰方向出现较深的零点。当快拍数为2N时，在干扰方向依然可以形成较深零点，然而波束响应的旁瓣较高，主瓣已发生畸变。32 对角加载 对角加载技术通过对协方差矩阵的对角线上的值进行加载，起到压缩干扰信号，提高小特征值和特征向量收敛速度的目的，从而有效提高了MVDR算法在低快拍数下的性能。对角加载后的MVDR权矢量可以表示为： （3.2.1）其中分别为加载量和单位矩阵。加载后的MVDR波束响应图函数为 （3.2.2）对于强干扰对应的大特征值，在加载量不太大时，；对于噪声对应的小特征值，。因此，对角加载对MVDR抑制强干扰的能力影响不大，但可以加快小特征的收敛速度，在一定程度上解决了快拍数不足时小特征值扰动造成的波束响应图旁瓣升高，主瓣发生畸变的问题。 目前，加载量的设定并没有统一的方法。本文将采用一种根据采样协方差矩阵确定对角加载值范围的方法。该方法由Ning .Ma，Joo .Thiam .Goh 提出，在此不给出具体的推导过程。对角加载量应满足： （3.2.3）仿真实验4期望信号方向为120度，干扰信号来自40度、80度、160度，为互不相干的单频正弦波信号，频率分别为1300HZ、2000HZ、1400HZ，采样频率为6000HZ。声速为1500米每秒。阵元个数为，间距为1/4米。快拍数2N、加载量100。图表 8:加载前效果图横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）图表 9：加载后效果图横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）对比图8、9可以看出：在加载前波束响应旁瓣过高，主瓣发生畸变。加载后干扰方向零点深度略微变浅，但主瓣变得清晰，旁瓣明显降低。33 替代的误差分析 通过2.2节的分析得知，在MVDR算法的实际应用中多是采用包含期望信号的估计协方差矩阵代替噪声加干扰估计协方差矩阵进行运算。在理想情况下，期望信号与噪声加干扰完全不相干，替换前后得到的最优权矢量完全相同，不会对算法性能产生影响。然而在快拍数不足、信噪比较高时，期望信号与干扰加噪声存在一定的相关性，这在一定程度上影响了MVDR算法的性能且信噪比越大、快拍数越少，影响越严重。很显然，通过增加快拍数可以在一定程度上消除这种相关性。除此之外，对角加载也可以消除信号间的这种相关性。根据Cox的研究，对角加载可被看作是在估计协方差矩阵中加入来自各个方向的虚拟干扰信号。这在很大程度上消除了原本由于快拍数不足造成的期望信号与干扰噪声间的相关性。下面给出仿真波束响应图进行说明。仿真实验5期望信号方向为80度，信噪比为20dB，干扰信号来自110度、150度，期望信号与干扰为互不相干的单频正弦波信号，频率分别为1300HZ、2000HZ、1400HZ，采样频率为6000HZ。声速为1500米每秒。阵元个数为，间距为1/4米。快拍数为1000和24000。对角加载量为100。图表 10：包含期望信号的MVDR波束响应图（快拍数1000）横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）图表 11：不包含期望信号波束响应图（快拍数1000）横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）图表 12：包含期望信号的波束响应（快拍数24000）横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）图表 13：对角加载后波束响应图（快拍数1000）横坐标为信号方位，纵坐标为波束响应强度（dB）对比图10、11可以看出，同样快拍数下包含期望信号的波束响应图的效果较差，旁瓣很高将主瓣淹没。对比图11、12可以看出，当快拍数提高后，包含信号的波束响应图效果有了很大改善。这说明快拍数不足的情况下，期望信号与噪声干扰存在明显的相干性，通过增大快拍数可以消除这种相关性，从而改善波束响应的性能。对比图11、13可以看出，对角加载后的波束响应得到了明显的改善，主瓣清晰，旁瓣抑制较好。34 对角加载应用实例 应用实例2该实验历史数据来源于2005年1月23日潜艇十二支队，实验目标为护卫舰和交通船各一艘，潜艇停靠在港内浮码头上，航路设计使两艘水面舰艇的方位航迹交叉。实验用32通道录音机（2台16通道录音机）记录262声纳(圆阵)32个基阵阵元的输出信号。262声纳基阵直径为1.528米。录音机采样率48kHz。处理数据通过计算机从录音机中倒出，导出数据格式对应每秒的数据为16*48000矩阵格式。实验示意图：码头浮码头护卫舰辅机工作状态交通艇分别用CBF、MVDR、对角加载后的MVDR算法对实验数据进行处理。信号处理频带为2000HZ4000HZ，声速取1500米每秒，采用快拍数为50，对角加载量为2倍的协方差矩阵对角元素标准差。图表 14：CBF航路图图表 15：MVDR航路图图表 16：对角加载后航路图对比图15、16可以看出，在低快拍数和高信噪比的影响下，没有对角加载的MVDR图像完全畸变，目标航路无法分辨。对角加载后交通艇和护卫舰的目标航路清晰，可以清晰的分辨出来。对比图14、16可以看出，CBF的航路较宽，在两目标临近交汇处完全重合在一起，无法分辨。对角加载后MVDR图像的航路明显变窄，分辨率得到有效提高。图表 17：166秒时刻CBF指向图图表 18：166秒时刻MVDR指向图对比图17、18可以看出，在166秒时CBF已无法分辨交通艇和护卫舰的目标信号而对角加载后的MVDR依然可以分辨两个目标。因此，对角加载后MVDR依然保持着较CBF更高的分辨率。总结 本文深入分析了MVDR自适应波束形成算法的原理及其自身存在的问题，同时分析了对角加载作为一种MVDR改善算法的原理，并结合仿真和应用实例结果加以说明。MVDR是一种满足最优信干噪比准则和线性约束的自适应算法。MVDR可以使在期望方向上的阵列输出功率最小，信干噪比最大。将其作为一种功率谱估计的方法应用于阵列信号DOA估计中可以得到较常规方法(CBF)更高的分辨率和阵增益。然而MVDR算法本身也存在一定的局限性。当所用快拍数不足时，小特征值不能快速收敛从而使波束响应图发生畸变，在高信噪比下，这种影响尤为明显。低快拍数下协方差矩阵求逆时小特征值扰动明显致使波束响应旁瓣升高，主瓣发生畸变。同时，由于在实际应用中使用包含期望信号的协方差矩阵估计进行运算，在高信噪比、低快拍数的情况下，期望信号与噪声加干扰存在明显的相干性。这在很大程度上影响了MVDR算法的性能。虽然对角加载在一定程度上削弱了MVDR算法抑制干扰噪声的能力，降低了分辨率和阵增益，但其可以有效消除低快拍数下小特征值扰动带来的不良影响。因此，对角加载提高了MVDR算法在低快拍数、高信噪比下的稳定性。从仿真实验和应用实例可以看出，通过设置适当的加载值可以在保持MVDR较CBF高分辨率的前提下有效提高MVDR算法的稳定性，从而降低了MVDR算法应用于信号DOA估计时对快拍数的要求，改善了其应用效果。参考文献1 张旭东 陆明泉