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2012高考数学压轴题a 原创作者: 末日 2011.07.02对于实数, 若无穷数列ln满足以下条件:对任意的nn+,: ; :; 则称数列ln为数列,其中.(1)判断数列,是否为数列,并明理由;(2)请写出一个数列,并加以证明;(3)对任意实数,且, 证明:下列不等式对任意正整数n恒成立. (4)有兴趣的朋友可试做,看看你能证出几个. 解 答: (1) 不是数列,由题意:数列的首项.又,不符合题意.不是 是数列. , 显然, 而 , 则满足条件由条件知,只需证明 : 当n=1时,显然成立. 当时,满足条件. 因此是数列. (2) 答案不唯一,如 ; ; ; (备注:只存在唯一的等比数列是数列,即,原因请读者自行探究.) (以下仅提供前两者证明过程,其它数列请自行证明.)1.证明是数列. .由题意,满足条件下面证明满足条件 : 即证明:,显然成立.满足条件 综上可得, 是数列.2.证明是数列. .由题意,满足条件下面证明满足条件 : 即证明: ,显然成立.满足条件 综上可得, 是数列 3. 证明: i: 由题意: , 即 ii: 由题意知, (i):当时显然:, (ii):当时, 方法之一:辅助数列法取任意一个数列,不妨用表示,则对任意正整数k有: ; 综上,原不等式得证.方法之二:辅助不等式, 当 当 也可构建辅助不等式:,方法类同上备注:事实上此问不等式还能进一步
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