冲刺中考数学压轴题训练.pdf

小郭图书自营店 2017 年中考数学压轴题训练年中考数学压轴题训练 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 1.1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 1 如图 1，已知抛物线 2 11 (1) 444 b yxbx （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交 于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ； （2） 请你探索在第一象限内是否存在点 P， 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b， 且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的 任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如 果不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到， 点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3） 题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在OQAB 的时刻 思路点拨思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子 表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答满分解答 （1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, 4 b ) （2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP 所以 S四边形PCOBSPCOSPBO 115 2428 b xb xbx 2b 解得 16 5 x 所以点 P 的坐标为(16 16 , 55 ) 小郭图书自营店 图 2 图 3 （3）由 2 111 (1)(1)() 4444 b yxbxxxb ，得 A(1, 0)，OA1 如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA 当 BAQA QAOA ，即 2 QABA OA时，BQAQOA 所以 2 ( )1 4 b b解得84 3b 所以符合题意的点 Q 为(1,23) 如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC90。 因此OCQQOA 当 BAQA QAOA 时，BQAQOA此时OQB90 所以 C、Q、B 三点共线因此 BOQA COOA ，即 1 4 bQA b 解得4QA此时 Q(1,4) 图 4 图 5 考点伸展考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比 例确定点 B 的位置 如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾 小郭图书自营店 例例 2 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 黄冈 25” ，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可 以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45观察右图，可以体 验到，CBF 保持 45，存在BFCBCE 的时刻 思路点拨思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或 者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关 于 m 的方程 满分解答满分解答 （1）将 M(2, 2)代入 1 (2)()yxxm m ，得 1 24(2)m m 解得 m4 （2）当 m4 时， 2 111 (2)(4)2 442 yxxxx 所以 C(4, 0)，E(0, 2) 所以 SBCE 11 6 26 22 BC OE （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HPEO CPCO 因此 2 34 HP 解得 3 2 HP 所以点 H 的坐标为 3 (1, ) 2 （4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F 由于BCEFBC，所以当 CEBC CBBF ，即 2 BCCE BF时，BCEFBC 设点 F 的坐标为 1 ( ,(2)()xxxm m ，由 FFEO BFCO ，得 1 (2)() 2 2 xxm m xm 解得 xm2所以 F(m2, 0) 小郭图书自营店 由 COBF CEBF ，得 2 4 4 mm BF m 所以 2 (4)4mm BF m 由 2 BCCE BF，得 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m 整理，得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F， 由于EBCCBF，所以 BEBC BCBF ，即 2 BCBE BF时，BCEBFC 在 RtBFF中，由 FFBF，得 1 (2)()2xxmx m 解得 x2m所以 F(2 ,0)m所以 BF2m2，2(22)BFm 由 2 BCBE BF，得 2 (2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、，符合题意的 m 为22 2 考点伸展考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式 求 BF 的长 小郭图书自营店 例例 3 3 直线 1 1 3 yx 分别交x轴、y轴于 A、 B 两点， AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90 后得到 COD，抛物线 yax2bxc 经过 A、C、D 三点 (1) 写出点 A、B、C、D 的坐标； (2) 求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标； (3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与 COD 相似？ 若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 闸北 25” ， 拖动点 Q 在直线 BG 上运动， 可以体验到， ABQ 的两条直角边的比为 13 共有四种情况，点 B 上、下各有两种 思路点拨思路点拨 1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角 2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标 3第（3）题判断ABQ90是解题的前提 4 ABQ 与 COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B 的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个 满分解答满分解答 （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0) （2）因为抛物线 yax2bxc 经过 A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以 930, 3, 0. abc c abc 解得 1, 2, 3. a b c 所以抛物线的解析式为 yx22x3(x1)24，顶点 G 的坐标为(1，4) （3） 如图2， 直线BG的解析式为y3x1， 直线CD的解析式为y3x3， 因此CD/BG 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 ABCD因此 ABBG， 即ABQ90 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x1)，那么 22 (3 )10BQxxx Rt COD 的两条直角边的比为 13， 如果 Rt ABQ 与 Rt COD 相似， 存在两种情况： 当 3 BQ BA 时， 10 3 10 x 解得3x所以 1(3,10) Q， 2( 3, 8) Q 当 1 3 BQ BA 时， 101 310 x 解得 1 3 x 所以 3 1 ( ,2) 3 Q ， 4 1 (,0) 3 Q 小郭图书自营店 图 2 图 3 考点考点伸展伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG；二 是 22 (3 )10BQxxx 我们换个思路解答第（3）题： 如图 3，作 GHy 轴，QNy 轴，垂足分别为 H、N 通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90 在 Rt BGH 中， 1 sin1 10 ， 3 cos 1 10 当 3 BQ BA 时，3 10BQ 在 Rt BQN 中，sin13QNBQ ，cos 19BNBQ 当 Q 在 B 上方时， 1(3,10) Q；当 Q 在 B 下方时， 2( 3, 8) Q 当 1 3 BQ BA 时， 1 10 3 BQ 同理得到 3 1 ( ,2) 3 Q ， 4 1 (,0) 3 Q 小郭图书自营店 例例 4 4 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数(0) k yk x 在第一象限内 的图象与 BC 边交于点 D（4，m） ，与 AB 边交于点 E（2，n） ，BDE 的面积为 2 （1）求 m 与 n 的数量关系； （2）当 tanA 1 2 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式； （3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2）的条件下，如果AEO 与EFP 相似，求点 P 的坐标 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 杨浦 24” ，拖动点 A 在 x 轴上运动，可以体验到，直线 AB 保持斜率不变，n 始终等于 m 的 2 倍，双击按钮“面积 BDE2” ，可以看到，点 E 正好在 BD 的垂直平分线上，FD/x 轴拖动点 P 在射线 FD 上运动，可以体验到，AEO 与EFP 相似存在两种情况 思路点拨思路点拨 1探求 m 与 n 的数量关系，用 m 表示点 B、D、E 的坐标，是解题的突破口 2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴 3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况 满分解答满分解答 （1） 如图 1， 因为点 D （4， m） 、 E （2， n） 在反比例函数 k y x 的图象上， 所以 4, 2. mk nk 整理，得 n2m （2）如图 2，过点 E 作 EHBC，垂足为 H在 RtBEH 中，tanBEHtanA 1 2 ， EH2，所以 BH1因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1) 已知BDE 的面积为 2，所以 11 (1) 22 22 BD EHm解得 m1因此 D(4， 1)，E(2，2)，B(4，3) 因为点 D（4，1）在反比例函数 k y x 的图象上，所以 k4因此反比例函数的解析 式为 4 y x 设直线 AB 的解析式为 ykxb， 代入 B(4，3)、 E(2， 2)， 得 3 4, 2 2. kb kb 解得 1 2 k ， 1b 因此直线 AB 的函数解析式为 1 1 2 yx 小郭图书自营店 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，因为直线 1 1 2 yx与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D 的坐标为（4，1） ， 所以 FD/ x 轴，EFPEAO因此AEO 与EFP 相似存在两种情况： 如图 3，当 EAEF AOFP 时， 2 55 2FP 解得 FP1此时点 P 的坐标为（1，1） 如图 4，当 EAFP AOEF 时， 2 5 25 FP 解得 FP5此时点 P 的坐标为（5，1） 考点伸展考点伸展 本题的题设部分有条件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示” ，如果没有这个 条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况： 第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为 12 y x ， 直线 AB 为 1 7 2 yx第（3）题 FD 不再与 x 轴平行，AEO 与EFP 也不可能相似 图 5 小郭图书自营店 例例 5 5 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2） 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、 CB 以相同的速度同时向上平移， 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积 为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间 为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、 抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验 到，x2x1随 S 的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验 到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似 思路点拨思路点拨 1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注 意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位 置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物 线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴 的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方 满分解答满分解答 （1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为 2 11 84 yxx ，顶点为 M（1， 1 8 ） （2） 梯形 O1A1B1C1的面积 12 12 2(11) 3()6 2 xx Sxx ，由此得到 12 2 3 s xx由于 21 3yy，所以 22 212211 1111 3 8484 yyxxxx整理，得 2121 11 ()()3 84 xxxx 因此得到 21 72 xx S 当 S=36 时， 21 21 14, 2. xx xx 解得 1 2 6, 8. x x 此时点 A1的坐标为（6，3） （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 小郭图书自营店 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于 3 tan 4 GAF，tan 5 DQt PQD QPt ，所以 3 45 t t 解得 20 7 t 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得 的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3 小郭图书自营店 例例 6 6 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 2ymxmxn上 （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边 形 A ABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得 以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“10 宝山 24” ，拖动点 A向右平移，可以体验到，平移 5 个单位 后，四边形 A ABB 为菱形再拖动点 D 在 x 轴上运动，可以体验到，BCD 与ABC 相 似有两种情况 思路点拨思路点拨 1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法 中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC 的长 2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变 3探求ABC 与BCD 相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的 两边对应成比例，分两种情况讨论 满分解答满分解答 (1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 2ymxmxn上，所以 444, 20. mmn mmn 解得 4 3 m ，4n (2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB5因为四边形 A ABB 为菱形，所 以 A ABB AB5因为4 3 8 3 4 2 xxy 2416 1 33 x ，所以原抛物线的对 称轴 x1 向右平移 5 个单位后，对应的直线为 x4 因此平移后的抛物线的解析式为 3 16 4 3 4 2 , xy 图 2 (3) 由点 A (-2，4) 和点 B (6，0)，可得 A B4 5 小郭图书自营店 如图 2，由 AM/CN，可得 B NB C B MB A ，即 2 84 5 B C 解得5B C 所以 3 5AC 根据菱形的性质，在ABC 与BCD 中，BACCBD 如图 3，当 ABB C ACB D 时， 55 3 5B D ，解得3B D此时 OD3，点 D 的坐 标为（3，0） 如图 4，当 ABB D ACB C 时， 5 3 55 B D ，解得 5 3 B D 此时 OD 13 3 ，点 D 的 坐标为（ 13 3 ，0） 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 在本题情境下，我们还可以探求BCD 与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等 腰三角形，容易想象，存在两种情况 我们也可以讨论BCD 与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边 成比例，分两种情况计算 例例 7 7 20092009 年临沂市中考第年临沂市中考第 2626 题题 小郭图书自营店 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3） 在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D， 使得DCA 的面积最大， 求出点 D 的坐标 , 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧” ，可以显 示PAM 与OAC 相似的三个情景 双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA 的形状和面 积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时，DCA 的面积最大 思路点拨思路点拨 1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程 4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA 满分解答满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 )4)(1(xxay，代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得 2 1 a所以抛物线的解析式为 2 2 5 2 1 )4)(1( 2 1 2 xxxxy （2）设点 P 的坐标为)4)(1( 2 1 ,(xxx 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4，)4)(1( 2 1 xxPM，xAM 4 如果2 CO AO PM AM ，那么2 4 )4)(1( 2 1 x xx 解得5x不合题意 如果 2 1 CO AO PM AM ，那么 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 解得2x 此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4，)4)(1( 2 1 xxPM，4 xAM 小郭图书自营店 解方程2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得5x此时点 P 的坐标为)2, 5( 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得2x不合题意 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1，)4)(1( 2 1 xxPM，xAM 4 解方程2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得3x此时点 P 的坐标为)14, 3( 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得0x此时点 P 与点 O 重合，不合题意 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或)14, 3(或)2, 5( 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为2 2 1 xy 设点 D 的横坐标为 m)41 ( m，那么点 D 的坐标为)2 2 5 2 1 ,( 2 mmm，点 E 的 坐标为)2 2 1 ,(mm所以)2 2 1 ()2 2 5 2 1 ( 2 mmmDEmm2 2 1 2 因此4)2 2 1 ( 2 1 2 mmS DAC mm4 2 4)2( 2 m 当2m时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 第（3）题也可以这样解： 小郭图书自营店 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 CDN 和ADM 的面积 设点 D 的横坐标为（m，n）)41 ( m，那么 42)4( 2 1 )2( 2 1 4)22( 2 1 nmmnnmnS 由于2 2 5 2 1 2 mmn，所以mmS4 2 例例 8 8 20092009 年上海市闸北区中考模拟第年上海市闸北区中考模拟第 2525 题题 小郭图书自营店 如图 1，ABC 中，AB5，AC3，cosA 3 10 D 为射线 BA 上的点（点 D 不与点 B 重合） ，作 DE/BC 交射线 CA 于点 E. (1) 若 CEx，BDy，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段 BD，CE 为直径的两圆相切时，求 DE 的长度； (3) 当点 D 在 AB 边上时，BC 边上是否存在点 F，使ABC 与DEF 相似？若存在， 请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由 图 1 备用图 备用图 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“09 闸北 25” ，拖动点 D 可以在射线 BA 上运动双击按钮“第 （2）题” ，拖动点 D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次 双击按钮“第（3）题” ，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边” ，可以体验到， DEF 为等腰三角形 思路点拨思路点拨 1先解读背景图，ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的DEF 也是等 腰三角形 2用含有 x 的式子表示 BD、DE、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点 E 的位置 不同，DE、MN 表示的形式分两种情况 3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符 合题意 4第（3）题按照 DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我 们轻松解题 满分解答满分解答 （1）如图 2，作 BHAC，垂足为点 H在 RtABH 中，AB5，cosA 3 10 AH AB ， 所以 AH 3 2 1 2 AC所以 BH 垂直平分 AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5 因为 DE/BC，所以 ABAC DBEC ，即 53 yx 于是得到 5 3 yx， （0x ） （2）如图 3，图 4，因为 DE/BC，所以 DEAE BCAC ， MNAN BCAC ，即 |3| 53 DEx ， 1 |3| 2 53 x MN 因此 5|3| 3 x DE ，圆心距 5|6| 6 x MN 小郭图书自营店 图 2 图 3 图 4 在M 中， 115 226 M rBDyx，在N 中， 11 22 N rCEx 当两圆外切时， 51 62 xx 5|6| 6 x 解得 30 13 x 或者10x 如图 5，符合题意的解为 30 13 x ，此时 5(3)15 313 x DE 当两圆内切时， 51 62 xx 5|6| 6 x 当 x6 时，解得 30 7 x ，如图 6，此时 E 在 CA 的延长线上， 5(3)15 37 x DE ； 当 x6 时，解得10x ，如图 7，此时 E 在 CA 的延长线上， 5(3)35 33 x DE 图 5 图 6 图 7 （3）因为ABC 是等腰三角形，因此当ABC 与DEF 相似时，DEF 也是等腰三 角形 如图 8，当 D、E、F 为ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形 DEF 的腰，符合题 意， 此时 BF2.5 根据对称性， 当 F 在 BC 边上的高的垂足时， 也符合题意， 此时 BF4.1 如图 9，当 DE 为等腰三角形 DEF 的底边时，四边形 DECF 是平行四边形，此时 125 34 BF 图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图 10，如图 11，AH 是ABC 的高，D、E、F 为 ABC 的三边的中点，那么四边形 DEHF 是等腰梯形 小郭图书自营店 例例 9 9 20082008 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“08 苏州 29” ，拖动表示 a 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当 抛物线经过点E1和E3时， 直线NE1、 NE3和直线AB交于同一个点G， 此时POBPGN 当 抛物线经过点 E2和 E4时，直线 NE2、NE4和直线 AB 交于同一个点 G，可以体验到，这个点 G 在点 N 右侧较远处 思路点拨思路点拨 1求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、b 的值 2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有 符合题意的点 E，写出点 E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出 a 3当 E 在 x 轴上方时，GNP45，POBPGN，把PB PG转化为 14PO PN 4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到PB PG大于 102 满分解答满分解答 （1）1OH ， 3 3 k ， 2 3 3 b （2）由抛物线的解析式(1)(5)ya xx，得 点 M 的坐标为( 1,0)，点 N 的坐标为(5,0) 因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0） ，DN3 因为AOB 是等腰直角三角形，如果DNE 与AOB 相似，那么DNE 也是等腰直角 三角形 如图 2，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3）或 E2（2，3） 将 E1（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得 1 3 a 小郭图书自营店 此时抛物线的解析式为 2 1145 (1)(5) 3333 yxxxx 将 E2（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得 3 1 a 此时抛物线的解析式为 3 5 3 4 3 1 )5)(1( 3 1 2 xxxxy 如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E3 11 (3,1 ) 22 或 E4) 2 1 1, 2 1 3( 将 E3 11 (3,1 ) 22 代入(1)(5)ya xx，求得 2 9 a 此时抛物线的解析式为 2 22810 (1)(5) 9999 yxxxx 将 E4) 2 1 1, 2 1 3(代入(1)(5)ya xx，求得 9 2 a 此时抛物线的解析式为 9 10 9 8 9 2 )5)(1( 9 2 2 xxxxy 图 2 图 3 对于点 E 为 E1（2，3）和 E3 11 (3,1 ) 22 ，直线 NE 是相同的，ENP45 又OBP45，PP，所以POBPGN 因此2101472PNPOPGPB 对于点 E 为 E2（2，3）和 E4) 2 1 1, 2 1 3(，直线 NE 是相同的 此时点 G 在直线5x的右侧，3 3 14 PG 又3 3 4 PB，所以210 3 4 143 3 4 3 3 14 PGPB 考考点伸展点伸展 在本题情景下，怎样计算 PB 的长？ 如图 3， 作 AFAB 交 OP 于 F， 那么OBCOAF， OFOC 2 3 3 ， PF 2 23 3 ， PA 332 (23)3 1 223 PF ，所以3 1PB 小郭图书自营店 1.21.2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例例 1 20121 2012 年扬州市中考第年扬州市中考第 2727 题题 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的 对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 扬州 27” ，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小拖动点 M 在抛物线的对 称轴上运动，观察MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点 M 有 1 次机会落在 AC 的垂直平分线上；点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次 机会落在 MA 的垂直平分线上，但是有 1 次 M、A、C 三点共线 思路点拨思路点拨 1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小 2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性 满分解答满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)， 代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1 所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x22x3 （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1 当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由 BHPH BOCO ，BOCO，得 PHBH2 所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0) 考点伸展考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2 如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得6m 此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,6) 小郭图书自营店 如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5 小郭图书自营店 例例 2 20122 2012 年年临沂临沂市中考第市中考第 2626 题题 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，O 和B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P 运动到 O 与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线 请打开超级画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点 P，发现存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形 思路点拨思路点拨 1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的 距离公式列方程；然后解方程并检验 2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起 满分解答满分解答 （1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C 在 RtOBC 中，BOC30，OB4，所以 BC2，2 3OC 所以点 B 的坐标为( 2, 2 3) （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax(x4)， 代入点 B( 2, 2 3)，2 32( 6)a 解得 3 6 a 所以抛物线的解析式为 2 332 3 (4) 663 yx xxx （3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y) 当 OPOB4 时，OP216所以 4+y216解得2 3y 当 P 在(2,2 3)时，B、O、P 三点共线（如图 2） 当 BPBO4 时，BP216所以 22 4(2 3)16y解得 12 2 3yy 当 PBPO 时，PB2PO2所以 2222 4(2 3)2yy解得2 3y 综合、，点 P 的坐标为(2, 2 3)，如图 2 所示 小郭图书自营店 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三 角形 由 2 332 3 (4)(2) 663 yx xx ，得抛物线的顶点为 2 3 (2,) 3 D 因此 2 3 tan 3 DOA 所以DOA30，ODA120 小郭图书自营店 例例 3 3 20112011 年湖州市中考第年湖州市中考第 2424 题题 如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P(0,m)是线段 OC 上一动点（C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D （1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）当APD 是等腰三角形时，求 m 的值； （3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线， 垂足为 H（如图 2） 当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动请直接写出点 H 所经过 的路长（不必写解答过程） 图 1 图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 湖州 24” ，拖动点 P 在 OC 上运动，可以体验到，APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 P 由 O 向 C 运动，可以体验到，点 H 在以 OM 为直径的圆上运动双击按钮“第(2)题”可以切 换 思路点拨思路点拨 1用含 m 的代数式表示表示APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备 2探求APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解 3猜想点 H 的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt OHM 的斜边长 OM 是定值，以 OM 为直径的圆过点 H、C 满分解答满分解答 （1）因为 PC/DB，所以 1 CPPMMC BDDMMB 因此 PMDM，CPBD2m所以 AD4m于是得到点 D 的坐标为(2，4m) （2）在APD 中， 22 (4)ADm， 22 4APm， 222 (2)44(2)PDPMm 当 APAD 时， 2 (4)m 2 4m解得 3 2 m （如图 3） 当 PAPD 时， 2 4m 2 44(2)m解得 4 3 m （如图 4）或4m（不合题意， 舍去） 当 DADP 时， 2 (4)m 2 44(2)m解得 2 3 m （如图 5）或2m（不合题意， 舍去） 综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为 3 2 ， 4 3 或 2 3 小郭图书自营店 图 3 图 4 图 5 （3）点 H 所经过的路