简化真值表和形式证明.ppt

复合命题推理有效性的判定 例：写出下列推理的形式，并分析是否 有效，简答理由。 如果物体受到摩擦，那么物体生热。物 体受到摩擦。所以，物体生热。 （一）规则判定 例：写出下列推理的形式，并分析是否 有效，简答理由。 如果我努力用功了，那么只要考试不超 出大纲范围，我就能过关。因此等于 说，如果我努力用功了并且考试不超 出大纲范围，那么我就能过关。 （二）真值表的判定作用 判定原则： 蕴涵式是永真式，当且仅当推理形式有效。 蕴涵式不是永真式，当且仅当推理形式无效 。 步骤： 第一步：把蕴涵式放入真值表 第二步：计算出蕴涵式的真值 第三步：判定 pq (pq) p q 11 1 1 1 10 0 1 0 01 0 1 1 00 0 1 0 (p q) p q pq (pq) p q 11 0 1 0 10 0 1 1 01 1 0 0 00 1 1 1 (p q) p q 判定下列推理形式是否有效： p q ， r s ， r t t p 简化真值表方法（归谬赋值法） 简化真值表方法首先假设一个推理形式无效 ，然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。 1.若赋值过程中无矛盾，则该推理形式无效 。 2.若赋值过程中有矛盾（即q q )，则该推 理形式有效。 原理归谬推理 p q, p q p p q q p 1.转换：把推理形式转换成蕴涵式。 p q， p q (pq) p q 2.假设：假设该蕴涵式为假。 (pq) p q 0 3.赋值：以蕴涵为假为条件，逐层赋 值。 注意：赋值过程中，无矛盾无效， 有矛盾有效。 1. (pq) p q 0 2. (pq) p q 1 0 0 简化真值表方法的检验过程 例1：1 (pq) p q 0 2 (pq) p q 1 0 0 3 (p q) p q 1 1 1 0 0 1 4 (pq) p q 1 1 1 1 0 0 1 5 (pq) p q 01 1 1 1 0 0 0 1 判定：无矛盾，假设成立，该推理无效。 即：当p赋值为假，q赋值为真时，蕴涵式为假。 例2：1 (pq) p q 0 2 (pq) p q 1 0 0 3 (pq) p q 1 1 1 0 0 4 (pq) p q 1 0 1 1 0 0 5 (p q) p q 1 1 0 1 1 0 0 0 6 (pq) p q 0 10 1 1 0 0 判定：产生矛盾，该推理有效。 判定“( p p q) p q”是否有效。 赋值技巧 1 变项赋值一般从结论（后件）开始。理由： 结论为假，容易赋值；结论比较简单。 2 如果结论为假的变项组合不止一种： 如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下 的组合不必再赋值，即可判定该推理形式无 效。 如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该 推理形式有效。 判定“（p q）（r s）(q s) p r”是否有效。 判定“（ p q） （ p q ） （ p q）”是否有效。 形式证明 1.根据复合命题的逻辑特性，可产生基 本的推理有效式和等值式。 2.形式证明是一个推导序列，推理的有 效性可以在一个推导序列中得到证明 。 3.形式证明的结构分为三部分：序列号 、真值形式和理由。 形式证明就是运用真值形式（人工符号 ）之间的“逻辑变形”表示必然性推理 的全过程。 例1： p q ，q r, r p 序列号 真值形式 理由 1. p q 前提 2. q r 前提 3. r 前提 4. q 2、3否后式 5. p 1、4否肯式 例2： p q , p r, q r p 逆向思维 例3： (qs),rs ,pq, (tu)r ,pu t 1. (t u) r t u r 2. p u u 3. p u p 4. p q ,p q 5. (q s) q s 6. q s ,q s 7. r s, s r 8. t u r, u r t (qs) ,rs ,pq, (tu) r ,pu t 1. (qs) 前提 2. r s 前提 3. p q 前提 4. (tu) r 前提 5. pu 前提 6. p 5分解式 7. u 5分解式 8. q 3、6肯前式 9. q s 1德摩根律 10. s 8、9否肯式 11. r 2、10否后式 12. (tu) 4、11否肯式 13. tu 12德摩根律 14. t 7、13否肯式 例4： pq, q s, r s, u (t r p) tx 1. p q 前提 2. q s 前提 3. r s 前提 4. u (t r p) 前提 5. t r p 4分解式 6. r s 3蕴涵定义律 7. s r 6假言易位律 8 . p r 1、2、7假言连锁 9 . p r 8蕴涵定义律 10 . r p 9交换律 11 . (r p) 10德摩根律 12 . t 5、11否肯式 13 . t x 12附加律 14 . t x 13蕴涵定义律 注意： 如果前提中有联言命题，那么联言命题就做 为形式证明的出发点。 形式证明的方法，不但能证明推理的有效性 ，而且还可以在已知的前提下推导出相应的 结论。 例5 一天夜里，某百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情 况： 盗窃者或者是甲(p)，或者是乙(q)。 如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前(r)。 零点时该商店的灯灭了(s)，而甲此时尚未回家(t)。 若乙的陈述是真的(u)，则作案时间在零点之前。 只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。 问：谁是盗窃者？ 将前提符号化为：p q, p r, st, ur, su 运用形式证明推导如下： 1. p q 前提 2. p r 前提 3. s t 前提 4. u r 前提 5. s u 前提 6. s 3分解式 7. u 5、 6肯前式 8. r 4、7肯前式 9. p 2 、8否后式 10. q 1、9否肯式 例6 下面是一起杀人案的审讯记录： 侦查员：你刚才说的都是实话吗？ 受审者：是的，全是实话。 侦查员：你再重复一遍。 受审者：因为那天只有张三(p)和李四(q)到过死者 的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀 了人，他就会伪造现场(r)。要是当时我在现场 (s)，我也会被杀死(t)。除非我在现场，张三不 会伪造现场。我知道的就这些，杀人犯是张三 。 问：受审者说的是否都是真话？ 将前提符号化为：p q, p r, s t, s r, t 根据上述前提作形式证明： 1. p q 前提 2. p r 前提 3. s t 前提 4. s r 前提 5. t 前提 6. s 3、5否后式 7. r 4、6否前式 8. p 2、7否后式 9. q 1、8否肯式 从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四 ，所以受审者讲的不全是真话。 注意： 1、充分利用已知条件。 2、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。 由自然语言翻译成人工语言应注意的问题： 1. “只要p就q”不同于“只有p才q” 2. “或者p或者q”不同于“要么p要么q” 3. “甲、乙两人必须一个上场，一个不上场”不同于“甲、乙 不同时上场” 4. “甲、乙两人都不懂法律”不同于“甲、乙不都懂法律” 5. “并非如果买了股票就能发财”不同于“如果不买股票就不 能发财” 6. “除非p才q”， “除非p不q”不同于“只有p才不q” 7. “甲、乙、丙三人去两人” 8. “甲、乙都去或者甲、乙都不去” 9. “即使甲去乙也不去” 10. “你听从地不是苏格拉底，而是更多地在听从真理”不同 于“你不是在图书馆，就是在去图书馆的路上” 条件证明 p(qr) pq r p q r p （前提集合） q 假设前提 . . . r q r 若前提集合p加上假设前提q能推出r，则前提 集合p必然能推出q r。 例7 p q, rp qr 1. pq 前提 2. rp 前提 3. q 假设前提 4. p 1、3否肯式 5. r 2、4否后式 6. qr 3-5条件证明 例8 请用形式证明的方法，证明下列推理的 形式有效（不可使用简化真值表方法） p q, r s, t r, (t p) q s 证一： 1. p q 前提 2. r s 前提 3. t r 前提 4. (t p) 前提 5. t p 4德摩根律 6. t p 5蕴涵定义律 7. r t 3蕴涵逆蕴涵交换律 8. p q 1蕴涵定义律 9. r q 6、7、8假言连锁 10. q r 9假言易位 11. r s 2蕴涵定义律 12. q s 10、11假言连锁 注意: 如果给定的前提中没有联言命题,那么把析取 式转换成蕴涵式,再利用假言连锁进行推理 。 证二： 1. p q 前提 2. r s 前提 3. t r 前提 4. (t p) 前提 5. q 假设前提 6. p 1、5否肯式 7. t p 4德摩根律 8. t 6、7否肯式 9. r 3、8否前式 10. s 2、9否肯式 11. q s 510条件证明 间接证明（归谬证明） p （前提集合） q 假设前提 . . . r r q 若前提集合p加上假设前提q能推出r r，那么 就必然证明假设前提q为假，从而间接证明了推 理的结论q。 例9 p q , q r s , r pt t 1. p q 前提 2. q r s 前提 3. r p t 前提 4. t 假设前提 5. (r p) 3、4否后式 6. r p 5德摩根律 7. p 6分解式 8. q 1、7否后式 9. r s 2、8肯前式 10. r 9 分解式 11. r 6分解式 12. r r 10、11合成式 13. t 4-12间接证明 说明：间接证明是条件证明的特例 p （前提集合） q 假设前提 r r r r q 间接证明 p （前提集合） q 假设前提 r r r q 附加律 q q q 条件证明 q q q 重言律 把间接证明转化成条件证明： 小结：通常情况下，结论为蕴涵式的 用条件证明，结论为简单命题或负命 题用间接证明。 注意：运用等值置换与运用推理有效式的区 别 运用推理有效式时，只能把它们运用