专题四特殊与一般的思想方法.ppt

专题四 特殊与一般的思想方法 知识概要 1. 由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识 世界的基本过程之一. 数学研究也不例外，这种由特殊到一 般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过 程就是数 学研究中特殊与一般的思想. 2. 由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素 养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有 重要位置. 在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般 思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用. 如通过 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、 特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题 、 不确定问题等等. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 1. （2007岳阳）数列an中，若a1= , an= (n2,nN)则 a2007 的值为 （ ） A. 1 B. C. 1 D. 2 专题四 特殊与一般的思想方法 解析a1= , an= (n2,nN) 则当n时，a2 = = = 2， 当n时，a3= = =1， 当n时，a4= = = ，同理a5=2, a6=1, 所以数列an是一个周期数列且T3， 故a2007a3=1. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 点评本题考查归纳、猜想思想方法.要求考生结合试题 领悟“特殊与一般”的思想，首先通过特例探索，发现规律， 然后利用这类规律来解题. 对于求递推关系给出的数列某一项的问题，常见解法一是 直接求通项再用通项来求某一项，二是直接将数列按顺序写出 ，三是写出部分项发现规律用规律得出结论. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 2. （2007常州）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 对称，那么a=_. 2. a= 1解析解法1：因为函数f(x)=sin2x+acos2x的图 象关于直线x= 对称， 则f(x)=f( x)即 sin2x+acos2xsin2 +acos2 得sin2x+acos2xcos2xasin2x恒成立 所以（1a）(sin2x+cos2x)=0恒成立， 则必有1a0，所以a1. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 解法2：因为函数f(x)sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 对称，所以f(x)=f( x)取x0,则f()=f( ) 即有a1. 解法3：函数ysin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称， 则函数在x= 处取得极值，又y=2cos2x2asin2x， 所以 =2cos2( )2asin2( )0得a1. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 点评评本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数 f(x)的图象关于直线xa对称，则恒有f(x)=f(2ax)成立，但 作为填空题，可以取特值进行运算. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 3. （2007湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时 间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价 格呈连续上涨态势 ，而中期又将出现供大于求使价格连续 下跌, 现有三种价格模拟函数. f(x)=pqx；f(x)=px2+qx+1； f(x)=x(xq)2+p. （以上三式中p, q均为常数，且q1）. ()为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什 么？ ()若f(0)=4, f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数 的定义域是0,5，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1 日，以此类推）； （）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外 销，请你预测该 果品在哪几个月份内价格下跌. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 解析()应选f(x)=x(xq)2+p. 因为f(x)=pqx是单调函数； f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征； f(x)=x(xq)2+p中, f(x)=3x24qx+q2, 令f(x)=0，得x=q, x= , f(x)有两个零点.可以出现两个递增 区间和一个递减区间. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 ()由f(0)=4, f(2)=6得： 解之得 (其中q=1舍去). 函数f(x)=x(x3)2+4，即f(x)=x36x2 + 9x + 4（0x5） （）由f(x)0，解得1x3 , 函数f(x)=x36x2 + 9x + 4在区间（1，3）上单调递 减， 这种果品在5月，6月份价格下跌. 点评评本题是一个简单的数学建模问题，主要考查函数知 识在实际生活中的运用，也是特殊与一般思想在生活中的运用. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 4. （2007唐山）设函数fn(x)=1x+ nN* （）研究函数f2(x)的单调性； （）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 解析（）f2(x)=1x + (x)=1+xx2=(x )2 0 所以f2(x)在(,+)上单调递 减. （）f1(x)=1x有唯一实数解x=1. 由f2(0)=10, f2(2)=12+ 0，以及 f2(x)在(,+)单调递 减， 知f2(x)在(0, 2)有唯一实数解，从而f2(x)在(,+)有 唯一实数解.推断fn(x)在(,+)有唯一实数解 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 当n2时，由fn(x)=1x+ + nN*， 得 fn(x)=1+xx2 +x2n3x2n2 若x=1，则fn(x)=fn(1)=(2n1)0 若x=0，则fn(x)=fn(0)=10 若x1且x0时， 则fn(x)= 当x1时，x+10, x2n1+10, fn(x)0 当x1时，x+10, x2n1+10, fn(x)0 总之fn(x)0，fn(x)在(,+)单调递 减 fn(0)=1， 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 又fn(2)=(12)+ ( )+( )+( ) =1+( )22+( )24+( )22n2 =1 0 所以fn(x)在(0,2)有唯一实数解，从而fn(x)在(,+)有唯 一实数解.综上， fn(x)=0有唯一实数解. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 点评评本题主要考查函数的单调性、导数及连续函数 的图象与x轴的交点个数问题.用特殊的函数开路寻找到解题 方法即判断函数是单调的且图象与x轴有交点，然后用一般方 法来解题. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 5. （2007全国第二次大联考)已知函数y=f(x)对于任意实数x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1) 求f(0)的值； (2) 若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表达式并用 数学归纳法证明你的结论(nN*)； (3) 若f(1)1，求证：f ( )0(nN*). 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 解析 (1)令x=y=0，则f(0)=2f(0)， f(0)=0 (2)f (1)=1， f(2)=2f(1)+2=4， f(3)=f(2)+f(1)+4=9， f(4)=f(3)+f(1)+6=16， 猜想：f(n)=n2(nN*)，下面用数学归纳法证明： 当n=1时，显然成立. 假设n=k (kN*)时成立，则有f(k)=k2 当n=k+1时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k= k2+1+2k= (k+1)2，结论也成立. 故f(n)=n2 (nN*)成立 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 (3) 证明：f(1)1，f(1)=2f( )+ 1， f( ) = 0 可以证明 f 0 假设n=k(kN*)时结论 成立. 即f 0，则 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 f =2f +2 f 0 即n=k+1时也成立， f 0 (nN*) 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 点评评本题主要考查抽象函数的有关知识和数学归纳法 的运用. 对于抽象函数求值通常是对抽象函数表达式赋特殊的值 来求解，但对于常见的抽象函数表达形式可以类比熟悉的函数 进行思考，如f(x)恒有关系式f(x+y)=f(x)f(y)成立可类比指数函数 ，f(x)恒有关系式f(xy)=f(x)f(y)成立可类比对数函数等. 数学归纳法往往用于一些与自然数有关问题的解答，观 察归纳猜想证明是一个从特殊到一般的思考过程，也是 一个严格而科学的探索问题和解决问题的过程，是思考问题 的通常方法，对这种方法在高考中考查十分常见. 专题四 特殊与一般的思想方法 考题剖析 1. 特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学 思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问 题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法 去探求解题途径. 2. 对于递推数列问题，采用“归纳猜想证明”的 方法去解决问题，首先通过特例探索，发现一般规律 ，然后再用这个规律来解决其它特殊问题，这是特殊 与一般思想最常见的应用之一. 规律总结 专题四 特殊与一般的思想方法 3. 对于某些特殊的问题，如求值、比较大小等，要注意研究 其数量特征，发现一般模型，