相似三角形的判定及性质(人教A版选修4-1).ppt

1.3 相似三角形的判定及性质 第一课时 相似三角形的判定 1.掌握证明两个三角形相似的方法，正确选择好的方法 2.能应用三角形相似解决有关问题. 1.3 1.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 似比(或相似的系数). 复习回顾 B A C A C B 判定两个三角形相似的简单方法 (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似. B A C A C B 如何 证明 ？ 1.3 相似三角形的判定及性质 P11 E B A C D 1.3 相似三角形的判定 在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DEBC，求证：ADEABC ADEABC DE/BC ADE=B AED=C 证明： E B A C D 1.3 相似三角形的判定 在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DEBC，求证：ADEABC A=A ADEABC DE/BC 证明： E B A C D 1.3 相似三角形的判定 在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DEBC，求证：ADEABC ADEABC DE/BC 证明： 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. A E C B D E B A C D 1.3 相似三角形的判定 CB A 已知,如图,在ABC和ABC中,A=A, B=B, 求证:ABCABC A BC DE 证明: 在ABC的边AB(或AB的延长线)上,截 取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.由 预备定理得: ADEABC ADE=B,B=B ADE=B A=A, AD=AB ADEABC ABCABC A BC CB A D E EAD=CAB ADE=ABC AED=ACB EF/DB ED/BC FBDE为ED=FB A E C B D F 作EF/DB交 CB延长线于F ADEABC 1.3 相似三角形的判定及性质 预备定理应用 A E C B D 1.如图示，DEBC DB与EC 相交于A，求证： ADEABC ADEABC DE/BC证明： ADEABC 2如图所示，ADEFBC，GHAB，则图中与 BOC相似的三角形有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 C 判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似. 简述:两角对应相等,两三角形相似 例 如图,在ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD 分析: 遇到线段的比例问题可以 考虑三角形的相似 证明:ABC是等腰三角形 A=180-2C BCD是等腰三角形 DBC=180-2C DBC=A 又C为公共角 ABCBDC 即 BC2=ACCD BC D A 如图,圆内接ABC角 平分线CD延长后交圆于一点E. 分析: 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的 相似根据线段所在三角形考虑证EBDECB 练一练 D E A BC 证明：由已知条件，可得ACE= BCE。 ACE与ABE是同弧上的圆周角， ACE= ABE BCE= ABE。 又 BED= CEB。 EBDECB 判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 A BC CB A DE 已知:如图,在ABC和ABC中,A=A, 求证: ABCABC ADEABC DE/BC ABCADE CB A DE 已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且 求证：DE/BC E 证明: 作 DE/BC,交AC于E AE=AE 因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE/BC 采用了“同一法” 的间接证明 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边. 当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在 时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的 逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为 真，这种解题方法叫做同一法 用同一法解题一般有三个步骤 先作出一个符合结论的图形，然后推证出所 作的图形符合已知条件； 根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图 形是全等的或重合的； 从而说明已知图形符合结论 例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB. 求证: DBEABC. B A C D E 分析: 好容易得出ABC=DBE 只需要再证明 即证 只要证明ABDCBE 判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两 个三角形相似. 简述:三边对应成比例,两三角形相似 A BC CB A 已知:如图,在ABC和ABC中 求证: ABCABC 证明: 在ABC的边AB(或延长线)上截取 AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E. DE ADEABC AD=AB ADEABC ABCABC 例 如图,已知D、E、F分别是ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：DEFABC F D E B A C 证明:线段EF、FD、DE都是 ABC的中位线 DEFABC 例2. 如图，ABC中， DEBA，EFBC， 求证：EDCAFE. 例题分析 解: DEAB，EFBC（已知）， CDEBEFA （两直线平行，同位角相等） AEFC. （两直线平行，同位角相等） AFEEDC. （两个角分别对应相等的 两个三角形相似） F D E B A C 直角三角形相似的判定 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直 角三角形相似. (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它 们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那 么它们相似. 例 如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点 求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE 分析: (1)只要证明RtADCRtBEC (2)只要证明RtAHERtBHD C A D B 3.找出图中所有的相似三角形 ACD CBD ABC 你能写出对应边的比例式吗? 相似 相似 平方 相似 平方 小结 相似三角形